Đ THI CH N H C SINH GI I C P TR NGỀ Ọ Ọ Ỏ Ấ ƯỜ
Môn thi: Toán – L p 11ớ
Th i gian làm bàiờ: 120 phút (không k th i gian giao đ)ể ờ ề
Câu I. (4,0 điêm)
Cho hàm s ố
32
3
x
y x x m= - + +
có đ th là ồ ị
( )
C
. Tìm t t c các giá tr c a ấ ả ị ủ
m
đ ti p tuy n c a ể ế ế ủ
đ th ồ ị
( )
C
t i đi m ạ ể
M
có
3
M
x=
ch n hai tr c t a đ m t tam giác có di n tích b ng ắ ụ ọ ộ ộ ệ ằ
2
.
Câu II. (6,0 điêm)
1) Gi i ph ng trìnhả ươ
2 sin 2 sin cos 1
4
x x x
p
� �
￷
￷￷
- = + -
￷￷
￷￷
￷
� �
2) Tìm s nguyên d ng l ố ươ ẻ
n
sao cho
3) Tính gi i h n ớ ạ
2
1
2022(2023 ) 2022
lim 1
x
x
Ix
￷
- -
=-
Câu III. (4,0 điêm)
1) Gi i ph ng trình:ả ươ
2
2 3 1 3 16 2 2 5 3x x x x x+ + + = - + + +
2) Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ
3 3 2
3
3 6 3 4 0
3 4 1 2 2 4 8 2 5
x y x x y
x x y x y
￷
￷- + + - + =
￷
￷
￷
￷+ + + - = + +
￷
￷
￷
( )
,x y ￷R
Câu IV. (4,0 điêm)
1) Trong m t ph ng t a đ ặ ẳ ọ ộ
Oxy
, cho hình vuông
ABCD
có đnh ỉ
C
thu c đng th ngộ ườ ẳ
: 2 6 0d x y+ - =
, đi m ể
( )
1;1M
thu c c nh ộ ạ
BD
bi t r ng chình chi u vuông góc c a đi m ế ằ ế ủ ể
M
trên c nhạ
,AB AD
đu n m trên đng th ng ề ằ ườ ẳ
: 1 0x y+ - =D
. Tìm t a đ đnh ọ ộ ỉ
C
.
2) Cho hình vuông
ABCD
c nh ạ
a
. G i ọ
O
là giao đi m c a hai đng chéo. Trên n a đng th ngể ủ ườ ử ưở ẳ
Ox
vuông góc v i m t ph ng ch a hình vuông, ta l y đi m ớ ặ ẳ ứ ấ ể
S
sao cho góc
?
0
60SCB =
. Tính kho ng cáchả
gi a hai đng th ng ữ ườ ẳ
BC
và
SD
.
Câu V. (2,0 điêm) Cho
, , ,a b c d
là các s th c tho mãn ố ự ả
2 2 2 2
25;c 16a b d+ = + =
và
20ac bd+ ￷
. Tìm
giá tr l n nh t c a bi u th c: ị ớ ấ ủ ể ứ
P a d= +
.
---------------H tế----------------
Thí sinh không đc s d ng tài li u. Cán b coi thi không gi i thích gì thêm.ượ ử ụ ệ ộ ả
H và tên thí sinh:……….………..…….................…….….….; S báo danh:……….....……….ọ ố
H NG D N CH MƯỚ Ẫ Ấ
THI CH N H C SINH GI I C P TR NGỌ Ọ Ỏ Ấ ƯỜ
Môn: Toán – L p 11ớ
Câu L i gi i s l cờ ả ơ ượ Điể
m
1(4,0 đi m)ể
Ta có
2
y' x 2x 1
= − +
Theo gi thi t ta có ả ế
M(3;3 m)
+
(C), ph ng trình ti p tuy n c a đ th ươ ế ế ủ ồ ị
(C)
t i ạ
M
là:
y y'(3)(x 3) 3 m
= − + +
y 4(x 3) 3 m y 4x 9 m (Δ)
= − + + = − +� �
2,0
G i ọ
9 m
AΔOx A ;0
4
−
� �
=�� � �
� �
;
( )
0; 9B Oy B m= ∆ −��
Di n tích tam giác OAB: ệ
OAB
1 1 9 m
S OA.OB m 9
2 2 4
−
= = −
=
2
(m 9)
8
−
Theo gi thi t: ả ế
22
OAB
m 13
(m 9)
S 2 2 (m 9) 16 m 5
8
=
−
= = − =� � � =
V y ậ
m 5;m 13.= =
2,0
2.1 (2 đi m)ể
2 sin 2 sin cos 1
4
x x x
p
� �
￷
￷￷
- = + -
￷￷
￷￷
￷
� �
. (1)
(1)
sin 2 cos2 sin cos 1x x x x
− = + −
sin 2 sin cos 2 cos 1x x x x
− = + −�
2
2sin cos sin 2cos cos 1x x x x x− = + −�
0,5
sin (2cos 1) (2cosx 1)(cosx 1)x x
− = − +�
(2cos 1)(sinx cos 1) 0x x
− − − =�
1
cos ( )
2
sin cos 1( )
x a
x x b
=
− =
1,0
( ) 2
3
a x k
ππ
= +� �
2
4 4
(b) 2 sin 1 3
42
4 4
x k
x
x k
π π π
π
π π π
−=+
� �
− =� �
� �
� � − = +
2
2
2
x k
x k
ππ
π π
= +
= +
0,5
2.2 (2 đi m)ể.
Ta có
( )
0 1 2 2 3 3
1 ...
nn n
n n n n n
x C C x C x C x C x+ = + + + + +
L y đo hàm 2 v ta đc:ấ ạ ế ượ
( )
11 2 3 2 1
1 2 3 ...
nn n
n n n n
n x C C x C x C x
--
+ = + + + +
1,0
Cho
( )
1
1 1 2 3 2
2 ( 1) 2 2 3 2 ... 2
n
n n
n n n n
x n C C C nC
-
-
= - - = - + - + -�
Vì
n
l nên ta có: ẻ
1 2 3 2 1
2 2 3 2 ... 2 2022
n n
n n n n
n C C C n C
-
= - + - + =
V y ậ
2022n=
1,0
2.3 (2 đi m)ể
+
()
2
1
2022 2023 2022
lim 1
x
x
Ix
− −
=−
( )
( )
()
2
12
2022 1
lim 1 2023 2022
x
x
x x
−
=− − +
1,0
( )
2
1
2022 1
lim 2023 2022
x
x
x
− +
=− +
2 2022 1
2 2022
−
= = −
V y ậ
1I= −
1,0
3.1 (2 đi m)ể
ĐKXĐ:
1x￷ -
Đt ặ
2 3 1t x x= + + +
, đk:
0t>
2 2
3 4 2 2 5 3t x x x= + + + +�
2 2
3 2 2 5 3 4x x x t+ + + = -�
PT tr thành: ở
2
4 16t t= - -
2
4
20 0 5
t
t t t
￷= -
￷
- - =� � ￷=
￷
￷
5t=�
1,0
V i ớ
5 2 3 1 5t x x= + + + =�
2
3 4 2 2 5 3 25x x x+ + + + =�
2
2 2 5 3 21 3x x x+ + = -�
2 2
21 3 0
4(2 5 3) 441 126 9
x
x x x x
￷
￷- ￷
￷
￷
￷￷
￷+ + = - +
￷
￷
￷
2
7
146 429 0
x
x x
￷
￷￷
￷
￷
￷￷
￷- + =
￷
￷
￷
7
143 3
x
x x
￷
￷￷
￷
￷￷
￷= =�
￷
￷
3x=�
V y ph ng trình có nghi m là ậ ươ ệ
3x=
1,0
3.2 (2 đi m)ể Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ
3 3 2
3
3 6 3 4 0 (1)
3 4 1 2 2 4 8 2 5 (2)
x y x x y
x x y x y
￷
￷- + + - + =
￷
￷
￷
￷+ + + - = + +
￷
￷
￷
( )
,x y ￷R
Đi u ki n ề ệ
1/ 4
2 4 8 0
x
x y
￷
￷￷ -
￷
￷
￷+ - ￷
￷
￷
0,5
Ph ng trình (1) t ng đng v i ươ ươ ươ ớ
3 3
( 1) 3( 1) 3x x y y+ + + = +
2 2
(x 1 y) ( 1) ( 1)y y 3 0x x
� �
+ − + + + + + =�� �
(*)
Vì
2 2
( 1) ( 1)y y 3 0, ,x x x y+ + + + + > ∀
nên
(*) 1 0 1x y y x+ − = = +� �
0,5
Thay vào ph ng trình (2) c a h ta đcươ ủ ệ ượ
3
3 4x 1 2 6x 4 3x 7+ + − = +
( )
3
2 2
2 2
3
3
2
2 2
3
3
3 4x 1 2x 5 2 6x 4 (x 2) 0
4(x 2) (x 2) (x 10) 0
3 4x 1 2x 5 4 (6x 4) 2(x 2) 6x 4 (x 2)
(x 2) 0 x 2(tm) y 3(tm)
4 (x 10) 0(**)
3 2x 8 x 12 4 (6x 4) 2(x 2) 6x 4 (x 2)
� � � �
+ − + + − − + =�� � � �
− − − − +
+ =�+ + + − + + − + +
− = = =� �
− − +
+ =
+ + + − + + − + +
Nh n xét: V i ậ ớ
1/ 4x −
,v trái c a ph ng trình (**) luôn âm , nên (**) vô nghi mế ủ ươ ệ
V y h ph ng trình có nghi m ( 2;3)ậ ệ ươ ệ
1,0
4.1 (2 đi m)ể
C
D
B
A
M
K
N
H
I
G i H và ọK là hình chi u vuông góc c a M trên AB vàế ủ
AD; G i N là giao đi m c a KM và BC, g i I là giaoọ ể ủ ọ
đi m c a CM và HK. Ta có ể ủ
DKM∆
vuông t i K vàạ
￷
0
45MDK =
KM = KD=NC.
L i có ạ
MH MN
=
(do MHBN là hình vuông) suy ra
￷
￷
KMH CNM HKM MCN∆ = ∆ =�
. Mà
￷
￷
NMC IMK=
nên
￷
￷
￷
￷
0
90IMK HKM NMC NCM+ = + =
CI HK⊥�
.
1,0
Đng th ng CI qua M(1;1) và vuông góc v i đng th ng d nên có ph ng trình:ườ ẳ ớ ườ ẳ ươ
( 1) ( 1) 0 0x y x y− − + − = − =�
. Do đi m C thu c đng th ng CI và đng th ng ể ộ ườ ẳ ườ ẳ
∆
nên
t a đ đi m C là nghi m h pt ọ ộ ể ệ ệ
0 2
2 6 0 2
x y x
x y y
− = =
� �
� �
+ − = =
� �
V y C(2;2).ậ
1,0
4.2 (2 đi m)ể
60
H
I
O
A
B
D
C
S
J
G i I, H là trung đi m c a BC và SD.ọ ể ủ
Ta có SO là tr c hình vuông và ụ
￷
0
60SCB
=
SA=SB=SC=SD=CB=a và BC//mp(SCD) nên
( , ) ( , (SAD))d BC SD d I mp=
Ta l i có ạ
( )AD SIH⊥
( ) ( )SIH SAD⊥�
theo giao tuy nế
SH. Trong m t ph ng (SIH) d ngặ ẳ ự
( )IJ SH IJ SAD⊥ ⊥�
( ,( ))d I SAD IJ=�
1,0
Tam giác SIH có:
2
.
. 6
23
3
2
a
a
SO HI a
IJ SH a
= = =
V y ậ
6
( , ) 3
a
d BC SD =
1,0
5 (2 đi m)ể Cho
, , ,a b c d
là các s th c tho mãn ố ự ả
2 2 2 2
25;c 16a b d+ = + =
và
20ac bd+ ￷
. Tìm giá trị
l n nh t c a bi u th c: ớ ấ ủ ể ứ
P a d= +
.
T ừ
2 2 2 2
25;c 16a b d+ = + = ￷
t n t i hai góc ồ ạ
;
α β
sao cho
5sin ; 5cos
4cos ; 4sin
a b
c d
α α
β β
= =
= =
Khi đó bi u th c ể ứ
20ac bd+ ￷
có d ng ạ
sin cos cos sin 1
a b a b
+ ￷
hay
( )
sin 1
a b
+ ￷
,
nên
( )
sin 1
a b
+ =
do đó
2 ,
2k k
p
b a p
= - + ￷ ?
. V y ậ
sin cos
b a
=
1,0
Ta có
5sin 4sin 5sin 4cos 41P
α β α α
= + = +
max
41P
=�
1,0
V y giá tr l n nh t c a ậ ị ớ ấ ủ P là
41
1. H ng d n ch m này ch trình bày s l c m t cách gi i. Bài làm c a h c sinh ph i chi ti t, l p lu n ướ ẫ ấ ỉ ơ ượ ộ ả ủ ọ ả ế ậ ậ
ch t ch , tính toán chính xác m i đc tính đi m t i đa.ặ ẽ ớ ượ ể ố
2. V i các cách gi i đúng nh ng khác đáp án, t ch m trao đi và th ng nh t đi m chi ti t nh ng không ớ ả ư ổ ấ ổ ố ấ ể ế ư
đc v t quá s đi m dành cho bài ho c ph n đó. M i v n đ phát sinh trong quá trình ch m ph i ượ ượ ố ể ặ ầ ọ ấ ề ấ ả
đc trao đi trong t ch m và ch cho đi m theo s th ng nh t c a c t .ượ ổ ổ ấ ỉ ể ự ố ấ ủ ả ổ
3. Đi m toàn bài là t ng s đi m c a các ph n đã ch m, không làm tròn đi mể ổ ố ể ủ ầ ấ ể