Đề thi chọn HSG lớp 9 môn Toán năm học 2017 - 2018 - Sở GD&ĐT Đà Nẵng

ĐỀ THI CHỌN HSG TP ĐÀ NẴNG<br /> NĂM HỌC 2017-2018<br /> Câu 1:<br /> <br /> (1 điểm)<br /> Tính A <br /> <br /> 1  11<br /> 2<br /> <br /> 2  11<br /> 18  5 11<br /> <br /> Câu 2: (1,5 điểm)<br />  x2<br /> x<br /> 1  x 1<br /> với x  0 ; x #1<br /> <br /> <br />  :<br /> x<br /> x<br /> <br /> 1<br /> x<br /> <br /> 1<br /> <br /> x<br /> 1<br /> <br /> x<br /> 2<br /> x<br /> <br /> <br /> 2<br /> Rút gọn A và chứng minh A  .<br /> 3<br /> <br /> Cho biểu thức A  <br /> <br /> Câu 3: (1,5 điểm)<br /> <br /> Cho đường thẳng d m có phương trình: y  mx  2m 1 ( m là tham số)<br /> a) Chứng minh rằng: Khi m thay đổi thì đường thẳng d m luôn đi qua 1<br /> điểm H cố định. Tìm tọa độ của điểm H<br /> b) Tìm giá trị của m sao cho khoảng cách từ điểm A(1;2) đến d m lớn<br /> nhất.<br /> Câu 4: (2 điểm)<br /> a) Tìm tất cả các số của x thỏa mãn x  4 x  2  2  x  6 x  2  7  7<br /> <br /> x2  2x  y<br /> <br /> b) Tìm tất cả  x, y, z  thỏa mãn <br /> y2  2 y  z<br /> <br /> x  y  z 1 x 1  0<br /> <br /> Câu 5: ( 1 điểm)<br /> <br /> Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu giảm chiều rộng đi 1m và tăng chiều<br /> dài thêm 2m thì diện tích không đổi; ngoài ra nếu giảm chiều dài đi 4m<br /> đồng thời tăng chiều rộng thêm 3m ta được hình vuông. Tính diện tích<br /> thửa ruộng ban đầu.<br /> Câu 6: (1 điểm)<br /> Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC  4 , ABC  1500 . Gọi E ;<br /> F lần lượt là chân đường cao hạ từ C đến AB và AD. Tính độ dài đoạn<br /> EF.<br /> Câu 7: ( 1 điểm)<br /> Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp  O  . Tiếp tuyến tại B của đường tròn<br /> <br />  O  cắt đường thẳng qua C và song song với AB tại D.<br /> a) Chứng minh rằng: BC 2  AB.CD<br /> b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ; E là giao điểm của CG và BD.<br /> Tiếp tuyến tại C của  O  cắ BG tại F. Chứng minh rằng: EAG  FAG<br /> <br /> LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TP ĐÀ NẴNG<br /> NĂM HỌC 2017-2018<br /> Câu 1:<br /> <br /> (1 điểm)<br /> Tính A <br /> <br /> 1  11<br /> 2<br /> <br /> 2  11<br /> 18  5 11<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> A<br /> <br /> 1  11 2  11<br /> 2 18  5 11<br /> 1  11<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 4  11<br /> 49<br /> 2  11<br /> 18  5 11<br /> <br /> A<br /> <br /> 9  11  5  11<br /> 2<br /> 7<br /> <br /> <br /> <br /> (1,5 điểm)<br /> <br /> Câu 2:<br /> <br />  x2<br /> <br /> x<br /> <br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> x 1<br /> <br /> Cho biểu thức A  <br /> với x  0 ; x #1<br /> <br /> <br />  :<br />  x x 1 x 1  x 1  x  2 x<br /> 2<br /> 3<br /> <br /> Rút gọn A và chứng minh A  .<br /> <br /> + Rút gọn A<br /> <br />  x2<br /> x<br /> 1  x 1<br /> A  <br /> <br /> <br />  :<br />  x x 1 x 1  x 1  x  2 x<br /> <br /> <br /> A<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> x  1<br /> 1 x  1  x <br /> <br /> :<br /> <br /> <br /> x   x  1 x  1  x   x  1 x  1  x  <br /> <br /> <br /> x2<br /> <br /> x<br /> <br /> <br /> <br /> x 1 x  1 <br /> <br /> A<br /> <br /> <br /> <br /> A<br /> <br /> <br /> <br /> Với x  0 ; x #1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> . 2 x<br /> x  1 x  1  x  x  1<br /> <br /> 2 x<br /> x 1<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br />  x 1 x <br /> <br /> 2<br /> 3<br /> <br /> + Chứng minh A  .<br /> 2<br /> 3<br /> <br /> Xét hiệu A  <br /> <br /> 2 x<br /> <br />  x 1 x <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> 3<br /> <br /> x 1<br /> 2 x<br /> <br /> A<br /> <br /> 6 x  2x  2 x  2<br /> <br /> <br /> <br /> 3 x 1 x<br /> <br />  A<br /> <br /> Câu 3:<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> x 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> 3 x 1 x<br /> <br /> <br /> <br />  0 với x  0 ; x #1<br /> <br /> 2<br /> 2<br /> 0  A<br /> 3<br /> 3<br /> <br /> (1,5 điểm)<br /> Cho đường thẳng d m có phương trình: y  mx  2m 1 ( m là tham số)<br /> a) Chứng minh rằng: Khi m thay đổi thì đường thẳng d m luôn đi qua 1<br /> điểm H cố định. Tìm tọa độ của điểm H<br /> b) Tìm giá trị của m sao cho khoảng cách từ điểm A(1;2) đến d m lớn<br /> nhất.<br /> a) Chứng minh rằng: Khi m thay đổi tì đường thẳng d m luôn đi qua 1<br /> điểm H cố định. Tìm tọa độ của điểm H.<br /> Gọi H ( x0 ; y0 ) là điểm cố định luôn đi qua d m với mọi m.<br /> H ( x0 ; y0 )  dm với mọi m<br /> <br /> Ta có: y0  mx0  2m  1  y0  1   x0  2 m<br />  x  2  0  x0  2<br />  0<br /> <br /> . Vậy H (2; 1)<br />  y0  1  0<br />  y0  1<br /> <br /> b) Khoảng cách từ điểm A(1;2) đến d m<br /> h A,dm  <br /> <br /> m  2  2m  1<br /> <br /> <br /> <br /> 3 m 1<br /> <br /> 3 2<br /> m2  1<br /> m 1<br /> 2<br /> Do (  m  1  2  m2  1  2  2 )<br /> m 1<br /> m 1<br /> 2<br /> <br /> Dấu “ = ” xảy ra khi m  1<br /> Khoảng cách từ điểm A(1;2) đến d m lớn nhất là 3 2 khi m  1<br /> Câu 4: ( 2 điểm)<br /> <br /> a) Tìm tất cả các số của x thỏa mãn<br /> <br /> x4 x2 2  x6 x2 7  7<br /> <br /> <br /> x2  2x  y<br /> <br /> y2  2 y  z<br /> b) Tìm tất cả  x, y, z  thỏa mãn <br /> <br /> x  y  z 1 x 1  0<br /> <br /> a) ĐK x  2<br /> x4 x2 2  x6 x2 7  7<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> x2 2  x2 3 7<br /> <br /> x2 2<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> x2 3<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> 7<br /> <br />  x2 2 x2 3 7<br /> <br />  2  x  2  x  2  3  7<br /> 2 x  2  6<br /> <br />  5  7(loai )<br /> <br />  x  11 ( t/m)<br /> <br /> b)<br /> <br /> x 2  2 x  y (1)<br /> <br /> ( I)<br /> y 2  2 y  z (2)<br /> <br /> <br />  x  y  z  1  x  1  0(3)<br /> <br /> Thay (1) và (2) vào (3) ta có:<br /> x  x2  2 x  y 2  2 y  1  x 1  0<br /> <br />   x  1   y  1   x  1  x  1  0<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> Vế trái  0 ; Vế phải = 0 nên dấu bằng xảy ra khi:<br />  x 1  0<br />  x 1<br /> <br /> <br />  y 1  0<br />  y  1<br /> <br /> Suy ra z  1<br /> Vậy ( x, y, z)  (1, 1, 1)<br /> Câu 5:<br /> ( 1 điểm)<br /> Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu giảm chiều rộng đi 1m và tăng chiều<br /> dài thêm 2m thì diện tích không đổi; ngoài ra nếu giảm chiều dài đi 4m<br /> đồng thời tăng chiều rộng thêm 3m ta được hình vuông. Tính diện tích<br /> thửa ruộng ban đầu.<br /> Gọi chiều rộng và chiều dài của thửa ruộng hình chữ nhật là x ; y<br /> với ( x  1 ; y  4 )<br /> Nếu giảm chiều rộng đi 1m và tăng chiều dài thêm 2m thì diện tích<br /> không đổi nên ta có pt<br />  x 1 . y  2  xy (1)<br /> Nếu giảm chiều dài đi 4m đồng thời tăng chiều rộng thêm 3m ta được<br /> hình vuông nên ta có pt<br /> x  3  y  4  x  y  7 (2)<br /> Thế (2) vào (1) ta có:<br /> <br />  y  8 . y  2  y.  y  7 <br />  y  16 ; x  9<br /> <br /> Vậy diện tích thửa ruộng ban đầu là: 16.9=144 ( m2 )<br /> Câu 6: ( 1 điểm)<br /> <br /> Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC  4 , ABC  1500 . Gọi E ;<br /> F lần lượt là chân đường cao hạ từ C đến AB và AD. Tính độ dài đoạn<br /> EF.<br /> <br /> Ta có: Tứ giác AECF nội tiếp vì ( AEC  CFA  900 )<br /> Nên: EAC  CFE ( Cùng chắn cung EC )<br /> FAC  FEC ( Cùng chắn cung FC)<br /> <br /> DAC  BCA ( so le trong)<br /> <br /> Suy ra:<br /> <br /> BAC<br /> <br /> CFE (g.g)<br /> <br /> BC AC<br /> CE. AC<br /> 1<br /> <br />  FE <br />  AC.sin 300  4.  2<br /> CE FE<br /> BC<br /> 2<br /> <br /> Câu 7:<br /> <br /> ( 1 điểm)<br /> Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp  O  . Tiếp tuyến tại B của đường tròn<br /> <br />  O  cắt đường thẳng qua C và song song với AB tại D.<br /> a) Chứng minh rằng: BC  AB.CD<br /> b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ; E là giao điểm của CG và BD.<br /> Tiếp tuyến tại C của  O  cắ BG tại F. Chứng minh rằng: EAG  FAG<br /> 2<br /> <br />