ĐỀ THI CHỌN HSG TP ĐÀ NẴNG
NĂM HỌC 2017-2018
Câu 1: (1 điểm)
Tính
1 11 2
2 11 18 5 11
A


Câu 2: (1,5 điểm)
Cho biểu thức
2 1 1
:
1 1 1 2
x x x
Ax x x x x x





với
0x
;
#1x
Rút gọn A và chứng minh
2
3
A
.
Câu 3: (1,5 điểm)
Cho đường thẳng
m
d
có phương trình:
21y mx m
( m là tham số)
a) Chứng minh rằng: Khi m thay đổi thì đường thẳng
m
d
luôn đi qua 1
điểm H cố định. Tìm tọa độ của điểm H
b) Tìm giá trị của m sao cho khoảng cách từ điểm A(1;2) đến
m
d
lớn
nhất.
Câu 4: (2 điểm)
a) Tìm tất cả các số của
thỏa mãn
4 2 2 6 2 7 7x x x x
b) Tìm tất cả
,,x y z
thỏa mãn
2
2
2
2
1 1 0
x x y
y y z
x y z x


Câu 5: ( 1 điểm)
Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu giảm chiều rộng đi 1m và tăng chiều
dài thêm 2m thì diện tích không đổi; ngoài ra nếu giảm chiều dài đi 4m
đồng thời tăng chiều rộng thêm 3m ta được hình vuông. Tính diện tích
thửa ruộng ban đầu.
Câu 6: (1 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo
4AC
,
0
150ABC
. Gọi
E
;
F
lần lượt là chân đường cao hạ từ C đến AB và AD. Tính độ dài đoạn
EF.
Câu 7: ( 1 điểm)
Cho tam giác
ABC
nhọn, nội tiếp
O
. Tiếp tuyến tại B của đường tròn
O
cắt đường thẳng qua C và song song với AB tại D.
a) Chứng minh rằng:
2.BC AB CD
b) Gọi G là trọng tâm tam giác
ABC
; E là giao điểm của CG và BD.
Tiếp tuyến tại C của
O
cắ BG tại F. Chứng minh rằng:
EAG FAG
LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TP ĐÀ NẴNG
NĂM HỌC 2017-2018
Câu 1: (1 điểm)
Tính
1 11 2
2 11 18 5 11
A


1 11 2
2 11 18 5 11
A


1 11 2 11 2 18 5 11
4 11 49

9 11 5 11 2
7
A

Câu 2: (1,5 điểm)
Cho biểu thức
2 1 1
:
1 1 1 2
x x x
Ax x x x x x





với
0x
;
#1x
Rút gọn A và chứng minh
2
3
A
.
+ Rút gọn A
2 1 1
:
1 1 1 2
x x x
Ax x x x x x





Với
0x
;
#1x
1 1 1
21
:2
1 1 1 1 1 1
x x x x
xx
Ax
x x x x x x x x x





2
12
.1
11
xx
Ax
x x x





2
1
x
A
xx

+ Chứng minh
2
3
A
.
Xét hiệu
2
3
A
22
3
1
x
xx

2
21
6 2 2 2
3 1 3 1
x
x x x
A
x x x x


0
với
0x
;
#1x
20
3
A
2
3
A
Câu 3: (1,5 điểm)
Cho đường thẳng
m
d
có phương trình:
21y mx m
( m là tham số)
a) Chứng minh rằng: Khi m thay đổi thì đường thẳng
m
d
luôn đi qua 1
điểm H cố định. Tìm tọa độ của điểm H
b) Tìm giá trị của m sao cho khoảng cách từ điểm A(1;2) đến
m
d
lớn
nhất.
a) Chứng minh rằng: Khi m thay đổi tì đường thẳng
m
d
luôn đi qua 1
điểm H cố định. Tìm tọa độ của điểm H.
Gọi
00
( ; )H x y
là điểm cố định luôn đi qua
m
d
với mọi m.
00
( ; ) m
H x y d
với mọi m
Ta có:
0 0 0 0
2 1 1 2y mx m y x m
00
00
2 0 2
1 0 1
xx
yy




. Vậy
( 2; 1)H
b) Khoảng cách từ điểm A(1;2) đến
m
d
,22
2 2 1 3 1 32
11
m
Ad
m m m
h
mm

Do (
22
2
1
1 2 1 2
1
m
mm
m
)
Dấu “ = ” xảy ra khi
1m
Khoảng cách từ điểm A(1;2) đến
m
d
lớn nhất là
32
khi
1m
Câu 4: ( 2 điểm)
a) Tìm tất cả các số của
thỏa mãn
4 2 2 6 2 7 7x x x x
b) Tìm tất cả
,,x y z
thỏa mãn
2
2
2
2
1 1 0
x x y
y y z
x y z x


a) ĐK
2x
4 2 2 6 2 7 7x x x x
22
2 2 2 3 7xx
2 2 2 3 7xx
2 2 2 3 7
2 2 2 3 7
xx
xx
2 2 6
5 7( )
x
loai

11x
( t/m)
b)
2
2
2 (1)
2 (2)
1 1 0(3)
x x y
y y z
x y z x


( I)
Thay (1) và (2) vào (3) ta có:
22
2 2 1 1 0x x x y y x
22
1 1 1 1 0x y x x
Vế trái
0
; Vế phải = 0 nên dấu bằng xảy ra khi:
1 0 1
1 0 1
xx
yy



Suy ra
1z
Vậy
( , , ) (1, 1, 1)x y z
Câu 5: ( 1 điểm)
Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu giảm chiều rộng đi 1m và tăng chiều
dài thêm 2m thì diện tích không đổi; ngoài ra nếu giảm chiều dài đi 4m
đồng thời tăng chiều rộng thêm 3m ta được hình vuông. Tính diện tích
thửa ruộng ban đầu.
Gọi chiều rộng và chiều dài của thửa ruộng hình chữ nhật là
;
y
với (
1x
;
4y
)
Nếu giảm chiều rộng đi 1m và tăng chiều dài thêm 2m thì diện tích
không đổi nên ta có pt
1 . 2x y xy
(1)
Nếu giảm chiều dài đi 4m đồng thời tăng chiều rộng thêm 3m ta được
hình vuông nên ta có pt
34xy
7xy
(2)
Thế (2) vào (1) ta có:
8 . 2 . 7y y y y
16y
;
9x
Vậy diện tích thửa ruộng ban đầu là: 16.9=144 (
2
m
)
Câu 6: ( 1 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo
4AC
,
0
150ABC
. Gọi
E
;
F
lần lượt là chân đường cao hạ từ C đến AB và AD. Tính độ dài đoạn
EF.
Ta có: Tứ giác AECF nội tiếp vì (
0
90AEC CFA
)
Nên:
EAC CFE
( Cùng chắn cung EC )
FAC FEC
( Cùng chắn cung FC)
DAC BCA
( so le trong)
Suy ra:
BAC
CFE
(g.g)
0
.1
.sin 30 4. 2
2
BC AC CE AC
FE AC
CE FE BC
Câu 7: ( 1 điểm)
Cho tam giác
ABC
nhọn, nội tiếp
O
. Tiếp tuyến tại B của đường tròn
O
cắt đường thẳng qua C và song song với AB tại D.
a) Chứng minh rằng:
2.BC AB CD
b) Gọi G là trọng tâm tam giác
ABC
; E là giao điểm của CG và BD.
Tiếp tuyến tại C của
O
cắ BG tại F. Chứng minh rằng:
EAG FAG