PHÒNG GD&ĐT BẮC NINH ĐỀ THI CHỌN HSG TRƯỜNG THCS ĐÁP CẦU NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn : Toán 7 Thời gian làm bài : 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) Câu 1:( 3đ )

a) Tìm số có 3 chữ số, biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ theo

1:2:3

b) Tìm x, y, z biết: x 2

1

y

z

3

x

2

y

3

z

14

và

 2

 3

 4

Câu 2:( 3đ )

50

20

3

12

54.

2.

a) Chứng minh rằng:

chia hết cho

b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M =

5536 2  có giá trị nhỏ nhất. x 5 x

5

36

2 x

) (

) < 0

AMC ˆ

NAM ˆ

Câu 3:( 1đ ) Tìm x  z thỏa mãn điều kiện sau: ( 2 x yAx ˆ = 900 có At là phân giác. Trên tia At lấy điểm B. Kẻ BC Câu 4:( 2,5đ ) Cho vuông góc với Ax ( C thuộc Ax ), kẻ BD vuông góc với Ay ( D thuộc Ay ). Trên đoạn BC lấy điểm M. Từ M kẻ 1 tia tạo với MA một góc bằng , tia này cắt đoạn thẳng BD tại N. Tính Câu 5:( 0,5đ ) Chứng minh rằng : Nếu độ dài các cạnh của tam giác liên hệ với nhau bởi bất đẳng thức a2 + b2 > 5c2 thì c là độ dài cạnh nhỏ nhất của tam giác.

...............................................Hết............................................

9  27

0  cba , , cba 

HƯỚNG DẪN CHẤM

9

(

6)

;6

;3

9

b

a

c

( 0,25đ ) hoặc 18 hoặc 27

3

2

1

x

z

( 0,25đ )

t

 4 ; 2

( 0,25đ ) b) Đặt

 t

4 

3

z

14

)3

( 0,25đ )

20

3

20

50

Câu 1:( 3 đ ) a) Gọi a, b, c là các chữ số của số có ba chữ số phải tìm. và ba chữ số a, b, c không thể đồng thời bằng 0 nên Vì ( 0,25đ ) 1 Mặt khác số phải tìm là bội của 18 Nên cba Theo giả thiết ta có:  a b c cba 2 6 1 3 ( 0,25đ ) cba  Do đó : a + b + c= 18 ( 0,25đ ) Suy ra ( 0,25đ ) Vì số phải tìm chia hết cho 18 nên chữ số hàng đơn vị phải là số chẵn Vậy số phải tìm là 396; 936.   y 2 3 t 2  ;1 x   t 3  y 3 14 2 x y    z 3(21 2 t t t 4(3)2    1 t Từ đó tìm được: x = 3; y = 5; z = 7 ( 0,25đ ) ( 0,25đ ) ( 0,5đ )

Câu 2:( 3 đ ) 50 3 a) 54. 2.

3 )2.3.( 60 20

2. 3

13

110

55

55

13

20

3

55

54.

12

2.

36

50 ( 0,25đ ) ( 0,25đ ) ( 0,25đ ) ( 0,25đ ) ( 0,25đ ) ( 0,25đ )

12 36(

 2

2 )2.3( 100 50 2.2.3.2.3 110 2.2.3 13 55 2.4.9 55 2. 13 )36( 55 nên 5 x

b) M ( 0,25đ )

 36)2.  2 5 x x

 lớn nhất

5 x

0

M nhỏ nhất ( 0,25đ )

0x

 Xét thì (1) (0,25đ )



0

x

0

0x

5 x 5 x

 Xét thì

5 x Mà x nguyên, dương nên

1x

( 0,25đ ) lớn nhất  x nhỏ nhất

 5

5 1

Khi đó: (2) ( 0,25đ )

5 x

So sánh (1) và (2) thì có giá trị lớn nhất bằng 5



3

x

1

M

min

2

2

2

2 x

36

( 0,25đ )

x

)36



0

x

5

2

2

2

x

 5

x

36

x 2 x

5  0  36 0 

 

5 36

  

  

36

trái dấu ( 0,25đ ) Vậy Câu 3:( 1 đ ) x ( )(5 và 2 Mà nên ( 0,25đ )

x 2 x

2  2x bằng 9; 16; 25 x bằng 3 ; 4 ; 5

( 0,25đ ) ( 0,25đ )

x

5  x Do đó Câu 4:( 2,5 đ )

t

C B

E

M

N

N

ACB 

AC 

ADB

AD

AE 

MN

MCA 

MEA

D A y

ˆ

ˆ

EAN 

DAN

(ch,gn)

ˆ

ˆ

(ch,cgv)

045

Hình vẽ đúng, chính xác (0,25đ ) ( 0,5đ ) Chứng minh được (ch, gn) ( 0,25đ ) Kẻ ( 0,25đ ) Chứng minh được ( 0,25đ )   MAEMAC ( 0,25đ ) Chứng minh được (0,25đ )   NADNAE ( 0,5đ ) Chứng minh được ˆ NAM

Câu 5: ( 0,5đ ) ( Dùng PP phản chứng để chứng minh ) Giả sử c không phải là cạnh nhỏ nhất, chẳng hạn a  c, khi đó a2  c2 và b2 < ( a + c )2  4c2 . Do đó a2 + b2 < 5c2 , trái với giả thiết . Vậy suy ra đfcm

= = = =//= = = = (Thí sinh giải cách khác, nếu đúng nhóm chấm phân biểu điểm tương tự.)

PHÒNG GD&ĐT BẮC NINH ĐỀ THI CHỌN HSG TRƯỜNG THCS ĐÁP CẦU NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn : Toán 7 Thời gian làm bài : 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) Câu 1:( 3đ )

a) Tìm số có 3 chữ số, biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ theo

1:2:3

b) Tìm x, y, z biết: x 2

1

y

z

3

x

2

y

3

z

14

và

 2

 3

 4

Câu 2:( 3đ )

50

20

3

12

54.

2.

a) Chứng minh rằng:

chia hết cho

b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M =

5536 2  có giá trị nhỏ nhất. x 5 x

5

36

2 x

) (

) < 0

AMC ˆ

NAM ˆ

Câu 3:( 1đ ) Tìm x  z thỏa mãn điều kiện sau: ( 2 x yAx ˆ = 900 có At là phân giác. Trên tia At lấy điểm B. Kẻ BC Câu 4:( 2,5đ ) Cho vuông góc với Ax ( C thuộc Ax ), kẻ BD vuông góc với Ay ( D thuộc Ay ). Trên đoạn BC lấy điểm M. Từ M kẻ 1 tia tạo với MA một góc bằng , tia này cắt đoạn thẳng BD tại N. Tính Câu 5:( 0,5đ ) Chứng minh rằng : Nếu độ dài các cạnh của tam giác liên hệ với nhau bởi bất đẳng thức a2 + b2 > 5c2 thì c là độ dài cạnh nhỏ nhất của tam giác.

...............................................Hết............................................

9  27

0  cba , , cba 

HƯỚNG DẪN CHẤM

9

(

6)

;6

;3

a

b

9

c

( 0,25đ ) hoặc 18 hoặc 27

1

3

2

x

z

( 0,25đ )

t

 4 ; 2

( 0,25đ ) b) Đặt

 t

4 

3

z

14

)3

( 0,25đ )

20

3

20

50

Câu 1:( 3 đ ) a) Gọi a, b, c là các chữ số của số có ba chữ số phải tìm. và ba chữ số a, b, c không thể đồng thời bằng 0 nên Vì ( 0,25đ ) 1 Mặt khác số phải tìm là bội của 18 Nên cba Theo giả thiết ta có:  a b c cba 2 6 1 3 ( 0,25đ ) cba  Do đó : a + b + c= 18 ( 0,25đ ) Suy ra ( 0,25đ ) Vì số phải tìm chia hết cho 18 nên chữ số hàng đơn vị phải là số chẵn Vậy số phải tìm là 396; 936.   y 2 3 t 2  ;1 x   t 3  y 3 14 2 x y    z 3(21 2 t t t 4(3)2    1 t Từ đó tìm được: x = 3; y = 5; z = 7 ( 0,25đ ) ( 0,25đ ) ( 0,5đ )

Câu 2:( 3 đ ) 50 3 a) 54. 2.

3 )2.3.( 60 20

2. 3

13

110

55

55

13

20

3

55

54.

12

2.

36

50 ( 0,25đ ) ( 0,25đ ) ( 0,25đ ) ( 0,25đ ) ( 0,25đ ) ( 0,25đ )

12 36(

 2

2 )2.3( 100 50 2.2.3.2.3 110 2.2.3 13 55 2.4.9 55 2. 13 )36( 55 nên 5 x

b) M ( 0,25đ )

 36)2.  2 5 x x

 lớn nhất

5 x

0

M nhỏ nhất ( 0,25đ )

0x

 Xét thì (1) (0,25đ )



0

x

0

0x

5 x 5 x

 Xét thì

5 x Mà x nguyên, dương nên

1x

( 0,25đ ) lớn nhất  x nhỏ nhất

 5

5 1

Khi đó: (2) ( 0,25đ )

5 x

So sánh (1) và (2) thì có giá trị lớn nhất bằng 5



3

x

1

M

min

2

2

2

2 x

36

( 0,25đ )

x

)36



0

x

5

2

2

2

x

 5

x

36

x 2 x

5  0  36 0 

 

5 36

  

  

36

trái dấu ( 0,25đ ) Vậy Câu 3:( 1 đ ) x ( )(5 và 2 Mà nên ( 0,25đ )

x 2 x

2  2x bằng 9; 16; 25 x bằng 3 ; 4 ; 5

( 0,25đ ) ( 0,25đ )

x

5  x Do đó Câu 4:( 2,5 đ )

t

C B

E

M

N

N

ACB 

AC 

ADB

AD

AE 

MN

MCA 

MEA

D A y

ˆ

ˆ

EAN 

DAN

(ch,gn)

ˆ

ˆ

(ch,cgv)

045

Hình vẽ đúng, chính xác (0,25đ ) ( 0,5đ ) Chứng minh được (ch, gn) ( 0,25đ ) Kẻ ( 0,25đ ) Chứng minh được ( 0,25đ )   MAEMAC ( 0,25đ ) Chứng minh được (0,25đ )   NADNAE ( 0,5đ ) Chứng minh được ˆ NAM

Câu 5: ( 0,5đ ) ( Dùng PP phản chứng để chứng minh ) Giả sử c không phải là cạnh nhỏ nhất, chẳng hạn a  c, khi đó a2  c2 và b2 < ( a + c )2  4c2 . Do đó a2 + b2 < 5c2 , trái với giả thiết . Vậy suy ra đfcm

= = = =//= = = = (Thí sinh giải cách khác, nếu đúng nhóm chấm phân biểu điểm tương tự.)