së gi¸o dôc ®µo t¹o B ¾ c giang
§Ò chÝnh thøc
§Ò thi tuyÓn sinh líp 10 §Ò thi tuyÓn sinh líp 10 trtrêng T H P T chuyªn êng T H P T chuyªn N¨ m häc 20062007 M« n thi: To¸n (® Ò chuyªn) Thêi gian lµm bµi: 150 phót
2 + (2m + 1)x + m - 1 = 0 , m lµ tha m sè.
ng trình (m+1)x
=
ng trình đã cho có nghi m. ể ươ ệ Bài 1 (2,0 đi m)ể Cho ph ươ a) Tìm m đ ph
1 và x2 th a mãn ỏ
b) Tìm m đ ph
+ x
2006
2 x 1
2 2
ng trình có 2 nghi m x . ể ươ ệ
+
Bài 2 (2,0 đi m)ể
a) Rút g n bi u th c
=A
2007
2
2006
2006
- - . ứ ể ọ
2006
2007 2 2007 +
2
t c các c p s nguyên a và b sao cho ặ ố ủ là nghi m c a ệ
2 + ax + b = 0.
b) Tìm t ph ươ
ấ ả ng trình x
3
3
Bài 3 (1,5 đi m)ể
+
=
-
x
y
xy
tho¶ m∙n:
Tìm t t c các s th c d ng x và y . ấ ả ố ự ươ
1 27
Bài 4 (3,5 đi m)ể
ằ
M kh¸c ườ ng
ườ ạ ẳ
ạ ng th ng AB t i C. ẳ
Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC). Đi m M n m trên c nh BC ( ể B vµ C ). Đ ng tròn ( I ) đi qua M và ti p xúc v i đ i B, đ ớ ườ ế ng th ng AC t tròn ( J ) đi qua M và ti p xúc v i đ ạ ng tròn ( I ) và tâm J c a đ ng tròn ( J ). ế ị
i đi m th hai N. Ch ng minh t giác ủ ườ ứ ườ ứ ể ạ ứ ớ ườ a) Nêu cách xác đ nh tâm I c a đ ủ ườ b) Các đ ắ
BNCA n i ti p đ ng tròn .
c) Ch ng minh r ng khi M di đ ng trên đo n BC thì t ng các bán kính c a hai
ng tròn ( I ) và ( J ) c t nhau t ộ ế ườ ằ ộ ổ
ng tròn ( I ) và ( J ) không đ i và đ ổ ạ ườ ủ ộ ng th ng MN luôn đi qua m t ẳ
đ đi m c đ nh. ứ ườ ể ố ị
T× m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc : P = a 3 + b 3 biÕt a + b = a 2 + b 2 –
ab .
H Õt
Hä vµ tªn thÝ sinh: … … … … … … … … … … … S è
b¸o danh: … … … … …
Gi¸m thÞ sè 1 (hä tªn vµ kÝ):… … … … … … … … … … … … … … … … … . .
Gi¸m thÞ sè 2 (hä tªn vµ kÝ):… … … … … … … … … … … … … … … … … . .
Bài 5 (1,0 đi m)ể
së gi¸o dôc ®µo t¹o b ¾c giang
§¸p ¸n thang ®iÓ m §¸p ¸n thang ®iÓ m ® Ò thi tuyÓn sinh líp 10 TH P T chuyªn ® Ò thi tuyÓn sinh líp 10 TH P T chuyªn N¨ m häc 20062007
§Ò chÝnh thøc
M« n: To¸n (®Ò chuyªn)
(§¸p ¸n – Thang ®iÓ m gå m 03 trang)
Bµi
ý
Néi dung
§iÓ m
1
2,00
0,25
a. + Víi m = 1, ph ¬ng tr×nh cã nghiÖ m x = 2.
0,5
+ Víi m ≠ 1, ph ¬ng tr×nh cã nghiÖ m <=> D = (2m + 1)2 – 4(m+1)(m – 1) ≥ 0 <=> 4 m + 5 ≥ 0 <=> m ≥ 5- 4
0,25
+ K Õt luËn: m ≥
lµ c¸c gi¸ trÞ cÇn t×m.
5- 4
b.
+
-=
x
x
1
2
+ 1m2 + 1m
+ Víi m ≥
, theo hÖ thøc Vi Ðt:
-
5- 4
=
xx 1
2
0,25
1m + 1m
2
0,25
+ Ta cã x1
2 + x2
2 = (x1+ x2)2 – 2x 1x2 =
- (cid:246) (cid:230) - (cid:247) (cid:231) ł Ł
+ 1m2 + 1m
)1m(2 + 1m
2 = 2006 ta ® îc 2004 m 2 + 4008 m + 2003 = 0
+ Theo bµi ra x1
2 + x2
- -
2004
501
=
m
<=>
-
2004
501
=
m
2 2004 + 2 2004
0,25
0,25
+ K Õt luËn: hai gi¸ trÞ cña m t×m ® îc ë trªn ® Ò u tho¶ m∙n.
2,00
2
2
2
+
0,25
- -
(
2006
)1
(
2006
)1
a. A =
-
2006
-+ 1
2006
1
A =
0,25
0,25
=+
= A
2006
-+ 1
2006
21
0,25
K Õt luËn: VËy A = 2.
=
+
ả ử
là nghi mệ
x
2007
2
2006
+Gi ph
s a và b là 2 s nguyên sao cho ố 2 + ax + b = 0. ng trình x
ươ
b.
2
+
+
+
+Ta có
(
2007
2
2006
)
a
(
2007
2
2006
)
=+ b
0
0,25
+BiÕn ® æi vµ rót gän ta ® îc:
2
+
+
+
+
+
(*)
.4(
2007
a )2
2006
(
2007
.4
2006
a .
2007
= 0)
b
0,25
. Vì a và b là các s nguyên nên
ố
*Nh Ë n xÐt 2006 là s vô t ỷ 4.2007 + 2a và 20072 + 4.2006 +a.2007 + b là các s nguyên.
ố ố
0,25
2
+
+
2007
b
-=
*N u 4.2007 + 2a
0 thì
ế
ố ữ là s h u
2006
+ +
.4 .4
2006 2007
. 2007 a a 2
- 2.2007 = - 4014
.ỷ t Đi u này vô lý nên 4.2007 + 2a = 0 hay a = ề Thay vào h th c (*) ta có b = 2005
ệ ứ
D th y a =
ễ ấ
- 4014 và b = 4 020 025 th a mãn đi u ki n đ bài. ỏ
ệ
ề
2 = 4 020 025. ề
0,25
„
1,50
3
3
3
3
3
3
+
=
+
+
=
x
y
xy
x
y
z
3
xyz
0
1 27
- (cid:219) - Đ t z = . Ta có: ặ
1 3
0,25
2
2
2
+
+
(
x
++ y
xz )(
y
z
xy
yz
zx
= 0)
0,25
ơ
2
2
2
2
2
+
+
=
+
+
- - - (cid:219)
x(2
y
z
xy
yz
)zx
0
xy
y
x
2
2
2
+
=
yz +
- - - - - - : Vì x, y, z đ u l n h n 0 nên ề ớ (cid:219)= 2 0 z zx
y(
0
)z
0,50
x( )y +Vì (x - y)2 ‡
0, (y - z)2 ‡
)x z( 0, (z - x)2 ‡
2
2
2
+
+
===
- - - (cid:219)
(
x
y
)
(
y
z
)
(
z
x
)
(cid:219)= 0
x
y
z
0 nªn 1 3
0,25
+K Õt luËn: vËy x = y =
- - -
1 3
0,25
3,50
4
A
M
O
B
C
I
J
N
K
d2
d1
0,50
0,50
a. VÏ ® êng th¼ng d 1 ^ A B t¹i B, ® êng trung trùc cña B M c¾t d 1 t¹i I. VÏ ® êng th¼ng d 2 ^ A C t¹i C, ® êng trung trùc cña C M c¾t d 2 t¹i J.
b. X Ðt trong ® êng trßn ( I ) cã gãc AB M = gãc B N M = 45 0
0,25
T ¬ng tù ta cã gãc C N M = gãc A C M = 45 0
0,25
Tõ ®ã suy ra gãc B N C = gãc B N M + gãc C N M = 90 0
0,25
0,25
Suy ra gãc B A C + gãc B N C = 180 0 => tø gi¸c AB N C néi tiÕp c. G äi K lµ giao ®iÓ m cña BI vµ CJ. Häc sinh chØ ra tø gi¸c AB K C
lµ h×nh vu«ng.
0,25
Ch Ø ra MJ // B K, MI // C K råi suy ra tø gi¸c MIKJ lµ h×nh b×nh hµnh.
0,25
Suy ra MI = KJ vµ M J = CJ => MI + MJ = C K = AB kh«ng ® æi
0,25
0,50
Gäi A 1 lµ giao ®iÓ m thø hai cña ® êng th¼ng M N víi ® êng trßn (O) ngo¹i tiÕp tø gi¸c AB N C, theo chøng minh trªn ta cã gãc B N A 1 = gãc C N A 1 = 45 0, suy ra A 1 lµ ®iÓ m chÝnh gi÷a cña cung B C.
0,25
Ch Ø ra A còng lµ ®iÓ m chÝnh gi÷a cña cung B C cña ® êng trßn (O) suy ra A 1 trïng víi A vµ kÕt luËn.
5
1,00
Ta cã: a 3 + b 3 = (a + b) ( a 2 + b 2 – ab) = ( a + b)2.
0,25
Tõ gt a + b = a 2 + b 2 – ab <=> a + b = (a + b)2 – 3ab
2
+
a(
+
(a + b)2 -
"
a(
2)b
V× ab ≤
nªn a + b ‡
b,a
0,25
3 4
)b 4
<=> (a + b)2 – 4ab ≤ 0 <=> 0 ≤ a + b ≤ 4
0,25
Suy ra P = ( a + b)2 ≤ 16. D Ê u “=” x¶y ra <=> a = b = 2 tho¶ m∙n gt
VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña P b»ng 16 khi vµ chØ khi a = b = 2.
0,25
Chó ý: *Trªn ® © y lµ híng dÉn c¬ b¶n, bµi lµm cña häc sinh ph¶i tr×nh bµy chi tiÕt. Häc sinh gi¶i b»ng nhiÒu c¸ch kh¸c nhau ® ón g vÉn cho ®iÓ m tèi ®a. Häc sinh lµm ® óng ® Õ n ® © u cho ®iÓ m ® Õ n ®ã. (N Õ u qu¸ tr×nh lËp luËn vµ biÕn ® æi bíc tríc sai th× bíc sau ® óng còng kh«ng cho ®iÓ m).
* N Õ u häc sinh dïng bÊt ® ¼ n g thøc C«si cho 3 sè kh«ng © m
m µ kh«ng chøng minh th× trõ 0,25 ®iÓ m ë bµi ®ã .
A 1
