PHÒNG GD&ĐT QUẢNG BÌNH
KỲ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2018-2019
TRƯỜNG THCS LÊ LỢI
(Đề gồm 01 trang)
ĐỀ THI MÔN: Toán - Lớp 7
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ BÀI
Câu 1. (4.0 điểm):
a/ Tính: A =
2
13 8 19 23
1 . 0,5 .3 1 :1
15 15 60 24
b/ Thực hiện phép tính:
12 5 6 2 10 3 2 2
6 3
9 3
2 4 5
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49
A
2 .3 8 .3
Câu 2. (4.0 điểm):
a/ Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn:
1 1 1
7
x y
b/ Tìm các số a,b,c sao cho: 2a = 3b, 5b = 7c và 3a + 5c - 7b = 30
Câu 3. (4.0 điểm):
a/ Tìm số nguyên a để
2a +9 5a +17 3a
+ -
a +3 a +3 a +3
là số nguyên.
b/ Cho P(x) = x99 - 100x98 + 100x97 – 100x96 + ... + 100x -1. Tính P(99) = ?
Câu 4. (6.0 điểm): Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên tia đối của tia
CA lấy điểm D sao cho CD = AB. Gọi P, Q là trung điểm của AD, BC, và I là
giao điểm các đường vuông góc với AD và BC tại P và Q.
a/ Chứng minh ∆AIB = ∆DIC
b/ Chứng minh AI là tia phân giác của góc BAC.
c/ Kẻ IE vuông góc với AB, chứng minh AD
2
1
AE .
Câu 5. (2.0 điểm): Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n
2, thì tổng
2
2
3 8 15 1
.....
4 9 16
n
S
n
Không thể là một số nguyên.
------------------Hết-------------------
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; Số báo danh:. . . . . . . . . . .
ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÒNG GD&ĐT QUẢNG BÌNH
KỲ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2018-2019
TRƯỜNG THCS LÊ LỢI
( Gồm 03 trang)
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
MÔN: TOÁN 7
Câu Ý Nội dung Điểm
C©u1
4® a) 2,0 đ
+ Biến đổi: A =
2
13 8 19 23
1 . 0,5 .3 1 :1
15 15 60 24
A =
24
47
:)
60
79
15
8
(3.
4
1
.
15
28
=
47
24
.
60
7932
5
7
=
47
24
.
60
47
5
7
=
7 2
5 5
= 1
1,0
0,5
0,5
b.
(2®)
12 5 6 2 10 3 2 2 12 5 12 4 10 3 4 4
6 3
12 6 12 5 9 3 9 3 3
9 3
2 4 5
4 3 6
12 4
12 5 9 3 3
4 3 6
12 4 6
12 5 9 3 5
5
2 .3 4.9 5 .7 25.49 2 .3 2 .3 5 .7 5.7
2 .3 2 .3 5.7 5.2.7
125.7 5.14
2.3 8.3
5.7. 5 7
2 .3. 3 1
2 .3. 3 1 5.7. 1 2
5.7. 5 7
2 .3.2 1 5 7
2 .3.4 5.7.9 6 5.9
5
A
6
5
.3 2(5 7) 2429
2.5.9 6250
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu 2
( 4đ)
a
(2đ)
Vì x,y nguyên dương nên ta có
1 1 1
7
x y
xy -7x- 7y =0
x(y – 7) - 7(y-7) = 49
( y- 7 ).( x-7) =49
Nên y – 7 ; x - 7
Ư(49)
Mà Ư(49)
1; 7; 49
Nên
x-7 -1 -7 -49 1 7 49
0,25 đ
0,25đ
0,25đ
0,25
0,5đ
ĐỀ CHÍNH THỨC
y-7 -49 -7 -1 49 7 1
x 6 0 -42 8 14 56
y -42 0 6 56 14 8
Vì x > 0 nên (x,y)
)8;56();14;14(;56;8(
0,5
b.
(2đ)
Từ 2a = 3b =>
14
21
ba (1)
5b = 7c =>
10
14
cb (2)
Từ (1) ,(2) =>
50
5
98
7
63
3
10
14
21
cbacba
Âp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có
A= 42 ; b= 28 ; c = 20
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
Câu 3
(4đ)
a.
(2đ)
Ta có:
3
3
3
175
3
92
a
a
a
a
a
a=
3
14124
3
264
a
a
a
a
=
3
14
4
3
)3(4
a
a
alà số nguyên.
Khi đó a+3 là ước của 14
Mà Ư(14) =
14;14;7;7;2;2;1;1
Lập bảng tìm a.
Vì a
Z
=> a
11;4;1;2;4;5;10;17
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b
(2đ)
Vì x= 99 nên x – 99 = 0
Ta có:
P(x) = x99 – 100x98 + 100x97 – 100x96 + ... + 100x -1.
= x99- 99x98 – x98 + 99x97 +x97 – 99x96 – x96 +...- 99x +x -1
= x98( x- 99) – x97( x- 99) + x96 ( x – 99) +....- x( x -99) + ( x-1)
= x98.0 – x97.0 + x96.0 - .....- x.0 + x – 1
=> P(99) = 99 -1 = 98
0,5đ
1đ
0,5đ
Câu 4
(6 đ)
I
P
A
C
D
B
E
0,5
a
2đ
Ta có QI là đường trung trực của BC
IB = IC
IP là đường trung trực của AD
IA = ID
Lại có AB = CD (gt)
Do đó
∆AIB = ∆DIC (c.c.c)
0,5
0,5
0,5
0,5
b
2đ
CM:
PAI =
PDI(c.g.c)
DAI =
D
Mà ∆AIB = ∆DIC (câu a)
BAI =
D
Do đó
DAI =
BAI.
Vậy AI là tia phân giác của góc BAC
0,5
0,5
0,5
0.5
c
Ta có ∆AIE = ∆AIP (cạnh huyền- góc nhọn)
=> AE = AP
Mà AP = ½ AD (vì P là trung điểm AD)
Suy ra AD
2
1
AE
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 5
(2đ)
Từ 2
2
3 8 15 1
.....
4 9 16
n
S
n
Ta có 2 2 2 2
2 2 2 2
2 1 3 1 4 1 1
.....
2 3 4
n
S
n
( Dãy này có n-1 số hạng)
2 2 2 2
1 1 1 1
1 ( .....
234
S n
n
)
Suy ra S < n – 1 (*)
Lại có
2 2 2 2
1 1 1 1
.....
2 3 4
n
1 1 1 1 1
..... 1
1.2 2.3 3.4 ( 1).
n n n
Từ đó suy ra S 1 1
1 (1 ) 2 2
n n n
n n
(*)
Từ (*) và (**) ta có n – 2<S<n-1
Do n là số tự nhiên n
2
nên n-2 và n-1 là 2 số tự nhiên liên tiếp
=> S không thể là một số nguyên
0,25 đ
0,25đ
0, 25 đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
Q