Trang 1
SỞ GD&ĐT KON TUM
TRƯỜNG THPT CHUYÊN NTT
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I
NĂM HỌC 2021-2022
Môn: TOÁN CHUYÊN Lớp: 11
Ngày kiểm tra: 18/12/2021
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
(Đề gồm có 07 câu, 01 trang)
Đề bài
Câu 1 (3.0 điểm). Tính các giới hạn sau:
a)
2 5
lim
4 3
n
n
; b)
1 2.3
lim
3 2
n n
; c) 2
3
1 2
lim
9
x
x
x
;
Câu 2 (3.0 điểm). Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) 4 3
5 2 1
4 3 10
y x x x
; b)
2
2 3
1
x x
y
x
; c) 2
3
y x x
;
Câu 3 (1.0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ
Ox
y
, cho đường tròn
( )
C
có phương trình
2 2
1 2 6
x y
và điểm
( 4;5)
A
. Xác định phương trình đường tròn
( ')
C
là ảnh của
( )
C
qua phép tịnh tiến theo
AO
.
Câu 4 (1.5 điểm). Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông tâm
O
cạnh
2
a
.
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và
2
SA a
.
a) Chứng minh
CD
vuông góc với mặt phẳng
( )
SAD
và tính theo
a
diện tích tam giác
SCD
.
b) Xác định và tính góc giữa đường thẳng
SC
với mặt phẳng
( )
ABCD
.
Câu 5 (0.5 điểm). Cho hàm số
1
( )
2
x
y f x
x
có đồ thị
( )
C
. Viết phương trình tiếp tuyến của
đồ thị
( )
C
tại giao điểm của đồ thị
( )
C
với trục hoành.
Câu 6 (0.5 điểm). Học kì 1 năm học 2021-2022 lớp 11 Toán có tổng cộng 11 học sinh đạt giải
trong các cuộc thi, trong đó: 3 học sinh đạt giải nhất, 5 học sinh đạt giải nhì và 3 học sinh đạt giải
ba. Giáo viên chủ nhiệm chọn ngẫu nhiên 2 học sinh. Hỏi giáo viên chủ nhiệm có bao nhiêu cách
chọn để 2 học sinh đó có ít nhất một em đạt giải nhất.
Câu 7 (0.5 điểm). Cho dãy số
n
u
xác định bởi công thức truy hồi
1
1
1
2
1
2
n
n
u
u
u
, với
1
n
. Biết
dãy số
n
u
có giới hạn hữu hạn khi
n

. Tìm giới hạn đó.
----------------- HẾT -----------------
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2
SỞ GD&ĐT KON TUM
TRƯỜNG THPT CHUYÊN NTT ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I
NĂM HỌC 2021-2022
Môn: TOÁN CHUYÊN
Lớp: 11
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN CHUYÊN, LỚP: 11
(Bản hướng dẫn gồm 04 trang )
I. HƯỚNG DẪN CHUNG.
- Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng
phần như Hướng dẫn quy định. Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong
Hướng dẫn phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong
Tổ chấm.
- Tổng điểm của mỗi phần không làm tròn; tổng điểm của toàn bài được làm tròn đến 01 chữ số
thập phân.
II. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Câu
ý Đáp án Điểm
1
3.0
Đ
Câu 1 (3.0 điểm). Tính các giới hạn sau:
a)
3 2
lim 3
n n
; b) 1
1 4
lim
4 3
n
n n
; c) 2
2
2
lim
5 3
x
x
x
;
a) 1.0
2 5
lim
4 3
n
n
5
2
lim
3
4
n
n
n
n
0.5
5
2
lim
3
4
n
n
0.25
1
2
0.25
b)
1.0
1 2.3
lim
3 2
n
n n
1
3 2
3
lim
2
3 1
3
n
n
n
n
n
0.5
1
2
3
lim
2
1
3
n
n
0.25
2
0.25
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 3
c) 1.0
2
3
1 2
lim
9
x
x
x
2
3
1 2 1 2
lim
9 1 2
x
x x
x x
3
3
lim
3 3 1 2
x
x
x x x
0.5
3
1
lim
3 1 2
xx x
0.25
1
24
0.25
2
(3.0
Đ)
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) 4 3
5 2 1
4 3 10
y x x x
; b)
2
2 3
1
x x
y
x
;
c) 2
3
y x x
;
a) 1.0
4 3 3 2
5 2 1 5 2
' ' .4. .3. 1
4 3 10 4 3
y x x x x x
0.5
3 2
5 2 1
x x
0.5
b)
1.0
2
2 3 2
1
1 1
x x
y x
x x
2
2
' 1
1
yx
0.5
2
2
2 1
1
x x
x
0.5
c) 1.0
2 2
' '. 3 . 3 '
y x x x x
2
2
2
3 '
1. 3 .
2 3
x
x x x
0.5
2
2
2
3
3
x
xx
0.25
2
2
2 3
3
x
x
0.25
3
(1.0
Đ)
Câu 3 (1.0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có
phương trình
2 2
1 2 6
x y
và điểm
( 4;5)
A
. Xác định
phương trình đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo
AO
.
AO
=(4;5) 0.25
Trang 4
Đường tròn (C) có tâm I(1;2) bán kính R =
6
I’(x;y) là ảnh của I qua phép tịnh tiến
AO
'
II
=
AO
1 4
2 5
x
y
5
7
x
y
I’(5;7) 0.25
Đường tròn (C’) có tâm là I’ và bán kính là R’ =
6
. 0.25
(C’) có phương trình
2 2
5 7 6
x y
. 0.25
4
1.5đ
a
(1,0)
O
A
D
B
C
S
H
Chỉ ra CD
SA (vì SA
(ABCD))
CD AD (vì ABCD là hình vuông)
CD
(SA
D
)
0.5
Suy ra CD
SD hay tam giác SCD vuông tại D.
SD = 2 2
6
SA AD a
.
0.25
Kết luận 2
1
. 6
2
SCD
S SD CD a .
0.25
b
(0,5)
Lập luận SA
(ABCD)
AC là hình chiếu.
Chỉ ra góc cần tìm là góc nhọn
SCA
.
0.25
Tính được AC =
2 2
a
.
Suy ra
1
tan
2
SA
SCA
AC
hay
0
26 34'
SCA
.
Suy ra
1
tan
2
SA
SCA
AC
hay
0
26 34'
SCA
.
0.25
5
0.5
đ
Cho hàm số
1
( )
2
x
y f x
x
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến
c
ủa đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C) v
à tr
ục ho
ành.
Gọi M là giao điểm của đồ thị (C) và trục hoành. Suy ra
1;0
M
2
3
'( )
2
f x x
1
'( 1)
3
f
0.25
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại
1;0
M
là:
' 1 1 0
1 1
3 3
y f x
y x
0.25
6 Câu 6 (0.5 điểm). Học kì 1 năm học 2021-2022 lớp 11toan có tổng
Trang 5
1.0đ
cộng 11 học sinh đạt giải trong các cuộc thi, trong đó: có 3 học sinh
giải nhất, 5 học sinh đạt giải nhì và 3 học sinh đạt giải ba. Giáo viên
chủ nhiệm chọn ngẫu nhiên 2 học sinh. Hỏi giáo viên chủ nhiệm có
bao nhiêu cách chọn để 2 học sinh đó có ít nhất một em đạt giải nhất.
Th1: cả 2 học sinh được chọn đều là giải nhất có 3 cách chọn 0.25
Th2: gồm 1 học sinh giải nhất và 1 học sinh không phải giải nhất có: 3.8=24
cách
V
ậy có 27 cách
0.25
7
0.5đ
Câu 7 (0.5 điểm). Cho dãy số
n
u
xác định bởi công thức truy hồi
1
1
1
2
1
2
n
n
u
u
u
, với
1
n
. Biết
n
u
có giới hạn hữu hạn khi
n

.
Tìm giới hạn đó.
Ta có 1 2 3 4
1 2 3 4
, , ,
2 3 4 5
u u u u
Dự đoán
*
,
1
n
n
u n
n
(2)
Chứng minh dự đoán trên bằng quy nạp:
- Với n = 1, 1
1
2
u
(đúng)
- Giả sử đẳng thức (2) đúng với
, 1
n k k
nghĩa là
1
k
k
u
k
.
- Cần chứng minh (2) đúng với n= k +1,tức là 1
1
2
k
k
u
k
Thật vậy: 1
1 1 1
2 2
2
1
kk
k
uk
u k
k
.
Vậy
*
,
1
n
n
u n
n
Nếu học sinh bỏ qua phần chứng minh quy nạp mà giải đúng các bước
còn lại thì điểm tối đa là 0,25đ toàn bài
0.25
Từ đó ta có: lim lim lim
1
11
n
n n
unn
n
1
lim 1
1
1n
0.25
----------------- HẾT -----------------