1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NAM ĐỊNH
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ II
NĂM HỌC 2020 – 2021
Môn: Toán – lớp 9 THCS
(Thời gian làm bài: 120 phút)
Đề khảo sát gồm 02 trang.
Họ và tên học sinh:………………………………………
Số báo danh:………….……………………..……………
Phần I: Trắc nghiệm (2,0 điểm). Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng trước
phương án đó vào bài làm.
Câu 1. Điều kiện để biểu thức
2021
3
x
có nghĩa là
A.
3.
x
B.
3.
x
C.
x
D.
3.
x
Câu 2. Giá trị của biểu thức 3
2 36 27
bằng
A.
3.
B.
9.
C.
9.
D.
15.
Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng
3 – 5 ( 3)
y m x m
song song với đường
thẳng
2 1
y x
khi và chỉ khi
A.
1.
m
B.
1.
m
C.
1.
m
D.
m
Câu 4. Giá trị của m để hàm số
2
2 2
y m x m
nghịch biến với mọi giá trị của
0
x
là
A.
2.
m
B.
2.
m
C.
2.
m
D.
2.
m
Câu 5. Đường thẳng có phương trình
2 5
y x
đi qua điểm A có tung độ bằng 3. Hoành độ của
điểm A là
A.
1.
B.
1.
C.
11.
D.
4.
Câu 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, biết
4
BC
và
0
30
ABC
. Độ dài của cạnh AC bằng
A.
4 3.
B.
4
.
3
C.
2 3.
D.
2.
Câu 7. Cho hai đường tròn
;3
O cm
và
';5
O cm
có
' 8
OO cm
. Số tiếp tuyến chung của hai
đường tròn là
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 8. Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh 8cm là
A.
4 2
cm. B.
8 2
cm. C.
4
cm. D.
8
cm.
Phần II: Tự luận (8,0 điểm)
Bài 1. (1,5 điểm)
1) Chứng minh đẳng thức:
6 24 10 4 6 2.
2) Rút gọn biểu thức:
1 2 2
P :
1 2( )
x x x
x x x x
(với
0
x
và
1
x
).
Bài 2. (1,5 điểm). Cho phương trình 2
( 3) 2 2 0
x m x m
(với
m
là tham số).
1) Giải phương trình khi
5
m
.
2) Tìm
m
để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
3) Gọi
1 2
,
x x
là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị của
m
để 2
2 1
2
x x
.
Bài 3. (1,0 điểm). Giải hệ phương trình sau: 2 2
2 1 0
2 13
x y
x y x y
Đ
Ề
CH
Í
NH TH
Ứ
C
2
Bài 4. (3,0 điểm)
1) Cho tam giác ABC vuông tại A, độ dài cạnh AC
bằng 6cm và góc ACB bằng 30
o
, đường tròn (B) tiếp
xúc với cạnh AC tại A. Tính diện tích phần tam giác
ABC nằm ngoài hình tròn (B) (phần tô đậm trong hình
vẽ bên; kết quả làm tròn đến số thập phân thứ nhất).
2) Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), vẽ các tiếp tuyến AB, AC (B, C là các tiếp điểm). Trên
cung lớn BC lấy điểm E tuỳ ý (E không thuộc đường thẳng AO), đường thẳng AE cắt đường tròn (O)
tại D (D khác E). Kẻ OI vuông góc với DE (I thuộc DE).
a) Chứng minh
AO BC
và tứ giác ABIO nội tiếp.
b) Đường thẳng đi qua D và vuông góc với OB cắt BC, BE theo thứ tự ở H, K. Chứng minh
HI song song với KE.
Bài 5. (1,0 điểm)
1) Tìm các số nguyên dương y sao cho ứng với mỗi y có không quá 1225 số nguyên x thỏa mãn
(4 3)( ) 0.x x y
2) Cho x và y là các số thực không âm thỏa mãn
2 2
2( ) 4 3x y xy x y
. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
2 2
2 4 .P x y x y
-------------HẾT--------------
1
Phần I- Trắc nghiệm (2,0 điểm)
Mỗi ý đúng được 0,25 điểm
Câu Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8
Đáp án B C A A D D C A
Phần II – Tự luận ( 8,0 điểm)
Bài
N
ộ
i dung
Đi
ể
m
Bài 1
(1,5 đ)
1) Chứng minh đẳng thức:
6 24 10 4 6 2
2) Rút gọn biểu thức: 2
2 2
P :
2( )
x x x x x
x x x x
(với
0
x
và
1
x
)
1) Có
2
6 24 10 4 6 6 2 6 6 2
0,5
6 6 2 6 6 2 2
0,25
2) Với x > 0 và x
1 ta có 1 2( ) 1
P
1 2( 1) 1 1
x x x x x x x x
x x x x x x
0,25
3
1
1
1
1
x x
x x
x
x
0,25
1
1
1
1 1
x x
x x
x
x x x
1
x
x
.
0,25
Bài 2
(1,5 đ)
Cho phương trình 2
( 3) 2 2 0
x m x m
(với
m
là tham số)
1) Giải phương trình khi
5
m
.
2) Tìm
m
để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
3) Gọi
1 2
,
x x
là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm tất cả giá trị của
m
để 2
2 1
2
x x
.
1) Khi
5
m
phương trình đã cho trở thành 2
2 8 0
x x
Có '
1 1.( 8) 9 0
0,25
Do đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt là 1 2
1 9 4; 1 9 2.
x x
0,25
2) Có 2
6 9 8 8
m m m
2
2
2 1 1
m m m
0,25
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
2
0 1 0 1
m m
0,25
3) Có
2
1
m
, khi đó phương trình có nghiệm là
2; 1
x x m
0,25
Nếu 1 2
2; 1
x x m
thay vào 2
2 1
2
x x
ta có
2 2
( 1) 2 2 ( 1) 1 0 1
m m m m
Nếu 1 2
1; 2
x m x
thay vào 2
2 1
2
x x
ta có
4 ( 1) 2 3
m m
Vậy m=1, m=3. 0,25
Giải hệ phương trình sau: 2 2
2 1 0
2 13
x y
x y x y
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NAM ĐỊNH
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ II
NĂM HỌC 2020 – 2021
Môn: TOÁN - lớp 9 THCS
Hướng dẫn chấm gồm 03 trang
2
Bài 3
(1,0 đ)
Có
2 1 0 1 2x y x y
, thay vào phương trình
2 2
2 13x y x y
ta có
2 2
(1 2 ) 1 2 2 13y y y y
0,25
2 2 2
1 4 4 1 4 13 3 8 11 0(1)y y y y y y
0,25
Có
3 8 11 0a b c
nên phương trình (1) có 2 nghiệm là
1 2
11
1, 3
y y
0,25
Với
1
1y
thì
1
3.x
Với
2
11
3
y
thì
2
19
3
x
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là
19 11
( ; ) (3; 1),( ; ) ;
3 3
x y x y
0,25
Bài 4
(3,0 đ)
1) Cho tam giác ABC vuông tại A, độ dài cạnh AC bằng 6cm và góc ACB bằng
30
o
, đường tròn
(B) tiếp xúc với cạnh AC tại A. Tính diện tích phần tam giác ABC nằm ngoài hình tròn (B)
(phần tô đậm trong hình vẽ bên; kết quả làm tròn đến số thập phân thứ nhất).
2) Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), vẽ các tiếp tuyến AB, AC (B, C là các tiếp điểm). Trên
cung lớn BC lấy điểm E tuỳ ý (E không thuộc đường thẳng AO), đường thẳng AE cắt đường tròn
(O) tại D (D khác E). Kẻ OI vuông góc với DE (I thuộc DE).
a) Chứng minh
AO BC
và các điểm A, B, I, O cùng thuộc một đường tròn..
b) Đường thẳng đi qua D và vuông góc với OB cắt BC, BE theo thứ tự ở H, K. Chứng minh
HI song song với KE.
1)Vì
ABC
vuông t
ạ
i A nên
03
.tan 6.tan 30 6. 2 3( )
3
AB AC C cm
0,25
Vì
ABC
vuông t
ạ
i A nên
2
1 1
. .2 3.6 6 3( )
2 2
ABC
S AB AC cm
0,25
Vì
ABC
vuông t
ạ
i A
nên
0
90B C
mà
0
30C
nên
0
60B
Diện tích hình quạt tròn BAM là
2 2 2
1
(2 3) 60 2 ( )
360 360
R n
S cm
0,25
Diện tích cần tính là
2
1
6 3 2 4,1( )
ABC
S S S cm
0,25
H
D
O
A
B
C
E
K
I
3
2a) Xét đường tròn (O) có AB, AC là 2 tiếp tuyến cắt nhau nên AB = AC 0,25
Chứng minh được OB = OC. Từ đó có OA là trung trực của đoạn thẳng BC
AO BC
0.25
Chứng minh được
0
90
ABO AIO 0,25
Do đó các điểm A, B, I, O có điểm B, I cùng nhìn đoạn AO một góc
0
90
nên A, B, I, O cùng thuộc
đường tròn đường kính AO. (đpcm) 0,25
2b) Chứng minh được A, B, I, O, C cùng thuộc một đường tròn
tứ giác ABIC nội tiếp 0,25
BAI BCI
(2 góc nội tiếp cùng chắn cung BI)(1)
Chứng minh được AB // DK (cùng vuông góc với BO) để suy ra
BAI HDI
(2 góc đồng vị)(2). 0,25
Từ (1) và (2)
BCI HDI
. Từ đó chứng minh được tứ giác CDHI nội tiếp. 0,25
HID BCD
(2 góc nội tiếp cùng chắn cung DH) mà
BCD BED
(2 góc nội tiếp cùng chắn
cung BD của đường tròn (O)) nên
HID BED
mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên HI // KE. (đpcm) 0,25
Bài 5
(1,0 đ)
1) Tìm các số nguyên dương y sao cho ứng với mỗi y có không quá 1225 số nguyên x thỏa mãn
(4 3)( ) 0.
x x y
2) Cho x và y là các số thực không âm thỏa mãn 2 2
2( ) 4 3
x y xy x y
. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức 2 2
2 4 .
P x y x y
1) ĐKXĐ:
0
x
Nếu
2
3
4 3 0
1
4
0
1
xx
x y x y
(vô lý)
Nếu
2
2
3
4 3 0 3
44
0
xx
x y
x y x y
suy ra 2
2
y
(vì x là số nguyên)
0,25
Nếu 2
1226
y thì có nhiều hơn 1225 số nguyên x thỏa mãn (mâu thuẫn với đề bài)
Nếu 2
2 1226
y
2 1226
y , vì y là số nguyên dương nên
2,3,4,..,35
y
0,25
2) Với x và y là các số thực không âm có
2 2 2
2( ) 4 3 2( ) ( ) 3 0
3
( 1) 2( ) 3 0 2( ) 3 0
2
x y xy x y x y x y
x y x y x y x y
0,25
Chứng minh
2 2 2
1
( )
2
a b a b
với mọi a, b.
Do đó 2 2 2 2
1 1
( 1) ( 2) 5 ( 1 2) 5 ( 3) 5
2 2
P x y x y x y
2
1 3 41
( 3) 5 .
2 2 8
P Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là
41
8
khi
5 1
, .
4 4
x y 0,25
Chú ý: Các cách giải khác nếu đúng thì cho điểm tương đương.