Trang 1/7
ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG TỈNH
Môn: TOÁN
(Hướng dẫn chấm có 07 trang)
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
Câu
Đáp án
Câu
Đáp án
1
A
9
B
2
A
10
A
3
A
11
A
4
B
12
B
5
D
13
A
6
D
14
C
7
D
15
B
8
B
16
D
II. PHẦN TỰ LUẬN
Lưu ý khi chấm bài
- Hướng dẫn chấm (HDC) dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm, giám khảo cần
bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic.
- Thí sinh làm bài theo cách khác với HDC mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng
với thang điểm của HDC.
- Điểm bài thi là tổng điểm các bài không làm tròn số.
Bài 1 (3,0 điểm):
1). Tìm tất cả các căp số nguyên dương
,xy
thỏa mãn:
22
3 2 1 662.x y xy
2). Cho các số nguyên dương
, , ,a b m n
thỏa mãn:
;1ab
và
22
1 .
m n mn
ab
Chứng minh rằng:
22a b a b
là số nguyên.
Ý
Đáp án
Điểm
1). Tìm tất cả các căp số nguyên dương
,xy
thỏa mãn:
22
3 2 1 662.x y xy
1. (1,5 điểm)
Xét phương trình:
22
3 2 1 662.x y xy
2
2
2
3 2 2 664.
3 4 664
3 4 664
x y xy xy
x y xy
x y xy
0,25
Đặt
2
; , 4 *S x y P xy S P
, ta được PT :
2
3 4 664 1SP
Vì
24SP
nên
2 2 2
3 664 332.S S S
0,25
Lại có:
0P
nên
22
664
3 664 .
3
SS
Suy ra:
2
664 332.
3S
0,25
Từ (1) suy ra:
S
chẵn nên
16;18 .S
0,25
Trang 2/7
Ý
Đáp án
Điểm
Với
16 26, / * .S P t m
Khi đó
,xy
là 2 nghiệm của phương trình:
28 38
16 26 0
8 38
X
XX
X
(loại do
,xy
nguyên dương).
0,25
Với
18 77SP
, thỏa mãn (*). Khi đó
,xy
là 2 nghiệm của phương
trình:
27
18 77 0 11
X
XX X
(t/m).
Vậy có 2 cặp số nguyên dương
,xy
thỏa mãn là:
7;11
và
11;7 .
0,25
2). Cho các số nguyên dương
, , ,a b m n
thỏa mãn:
;1ab
và
22
1 .
m n mn
ab
Chứng minh rằng:
22a b a b
là số nguyên.
2. (1,5 điểm)
Gọi
, , , , 1; , , .d m n m dx n dy x y d x y
Thay vào
1
, ta được:
22 2b x y axy
0,25
Từ (2) suy ra:
22
axy x y
mà
,1xy
nên
22
.a x y
0,25
Và
22
b x y a
và
;1ab
nên
22
x y a
0,25
Vậy ta phải có:
22,x y a
kéo theo
.b xy
0,25
Suy ra:
2
2 ; , .a b x y x y
Suy ra:
2.ab
0,25
Lại có:
2
2 2 .a b x y a b
Do đó:
22a b a b
là số nguyên.
0.25
Bài 2 (4,0 điểm).
1). Cho
, , ,a b x y
là các số thực thỏa mãn:
44
22
1
1
xy
a b a b
xy
. Chứng minh
10 10
5
55
2.
xy
ab ab
2). Giải phương trình:
22
1 5 2 3 5 4 5x x x x x
3). Giải hệ phương trình:
3
2
3
2 2 1 .
2 3. 5 6
x x y x y y y
x y y x
Ý
Đáp án
Điểm
1). Cho
, , ,a b x y
là các số thực thỏa mãn:
44
22
1
1
xy
a b a b
xy
. Chứng minh
10 10
5
55
2.
xy
ab ab
1. (1,0 điểm)
Từ giả thiết, ta có:
2
22
4 4 4 2 2 4
2.
xy
x y x x y y
a b a b a b
0,25
44
4 2 2 4
2
xy
a b a b x x y y
ab
4 4 4 4 4 2 2 4
2
ba
x x y y x x y y
ab
0,25
