TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 Điện thoại: 0946798489
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM
MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ - CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN MẶT CẦU – KHỐI CẦU
Câu 1. Cho một bán cầu đựng đầy nước với bán kính
2R
. Người ta bỏ vào đó một quả cầu có bán kính
bằng
2R
. Tính lượng nước còn lại trong bán cầu ban đầu.
A.
112
24 3 3
V
. B.
16
3
V
. C.
8
3
V
. D.
24 3 40V .
Câu 2. Cho khối cầu
S
tâm
I
, bán kính
R
không đổi. Một khối trụ thay đổi có chiều cao
h
và bán
kính đáy
r
nội tiếp khối cầu. Tính chiều cao
h
theo
R
sao cho thể tích khối trụ lớn nhất.
A.
2
2
R
h
. B.
2 3
3
R
h
. C.
2h R
. D.
3
3
R
h
.
Câu 3. (HSG Bắc Ninh 2019) Một cơ sở sản suất đồ gia dụng được đặt hàng làm các chiếc hộp kín hình
trụ bằng nhôm đề đựng rượu có thể tích là
3
28V a
0a
. Để tiết kiệm sản suất và mang lại
lợi nhuận cao nhất thì cơ sở sẽ sản suất những chiếc hộp hình trụ có bán kính là
R
sao cho diện
tích nhôm cần dùng là ít nhất. Tìm
R
A.
3
7R a B.
3
2 7R a C.
3
2 14R a
D.
3
14R a
Câu 4. (Mã 104 2017) Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng
9
, tính
thể tích
V
của khối chóp có thể tích lớn nhất.
A.
576 2V
B. 144 6V C.
144V
D.
576V
Câu 5. (Sở Vĩnh Phúc 2019) Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng
9
, khối chóp có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu ?
A.
576 2
. B.
144
. C.
576
. D. 144 6 .
Câu 6. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Trong không gian
Oxyz
, lấy điểm
C
trên tia
Oz
sao cho
1OC
.
Trên hai tia
,Ox Oy
lần lượt lấy hai điểm
,A B
thay đổi sao cho
OA OB OC
. Tìm giá trị nhỏ
nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
.O ABC
?
A.
6
4
B. 6 C.
6
3
D.
6
2
MẶT CẦU - KHỐI CẦU
Chuyên đề 23
Blog: Nguyễn Bảo Vương:
https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Câu 7. (KTNL GV THPT Lý Thái Tổ 2019) Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình
hành, các cạnh bên của hình chóp bằng
6
cm
,
4
AB cm
. Khi thể tích khối chóp .
S ABCD
đạt
giá trị lớn nhất, tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp .
S ABCD
.
A.
2
12
cm
. B.
2
4
cm
. C.
2
9
cm
. D.
2
36
cm
.
Câu 8. Cho mặt cầu
có bán kính
5
R
. Khối tứ diện
ABCD
có tất cả các đỉnh thay đổi và cùng
thuộc mặt cầu
( )S
sao cho tam giác
ABC
vuông cân tại
B
và
DA DB DC
. Biết thể tích lớn
nhất của khối tứ diện
ABCD
là
a
b
(
a
,
b
là các số nguyên dương và
a
b
là phân số tối giản),
tính
a b
.
A.
1173
a b
. B.
4081
a b
. C.
128
a b
. D.
5035
a b
.
Câu 9. Trong không gian cho tam giác
ABC
có
0
2 , , 120
AB R AC R CAB
. Gọi
M
là điểm thay đổi
thuộc mặt cầu tâm
B
, bán kính
R
. Giá trị nhỏ nhất của 2
MA MC
là
A.
4R
. B.
6R
. C.
19
R
. D.
2 7
R
.
Câu 10. Cho mặt cầu
S
có bán kính bằng
3
m
, đường kính
AB
. Qua
A
và
B
dựng các tia
1 2
,At Bt
tiếp xúc với mặt cầu và vuông góc với nhau.
M
và
N
là hai điểm lần lượt di chuyển trên
1 2
,At Bt
sao cho
MN
cũng tiếp xúc với
S
. Biết rằng khối tứ diện
ABMN
có thể tích
3
V m
không đổi.
V
thuộc khoảng nào sau đây?
A.
17; 21
. B.
15;17
. C.
25;28
. D.
23;25
.
Câu 11. Trên mặt phẳng
P
cho góc
60
xOy
. Đoạn
SO a
và vuông góc với mặt phẳng
. Các
điểm
;M N
chuyển động trên
,Ox Oy
sao cho ta luôn có:
OM ON a
. Tính diện tích của mặt
cầu
S
có bán kính nhỏ nhất ngoại tiếp tứ diện
SOMN
.
A.
2
4
3
a
. B.
2
3
a
. C.
2
8
3
a
. D.
2
16
3
a
.
Câu 12. Cho tứ diện
ABCD
có hình chiếu của
A
lên mặt phẳng
BCD
là
H
nằm trong tam giác
BCD
.
Biết rằng
H
cũng là tâm của một mặt cầu bán kính
và tiếp xúc các cạnh
, ,
AB AC AD
. Dựng
hình bình hành
AHBS
. Tính giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S BCD
A.
3
. B.
3 3
. C.
3
2
. D.
3 3
2
.
Câu 13. (SGD Điện Biên - 2019) Một vật thể đựng đầy nước hình lập phương không có nắp. Khi thả một
khối cầu kim loại đặc vào trong hình lập phương thì thấy khối cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của
hình lập phương đó. Tính bán kính của khối cầu, biết thể tích nước còn lại trong hình lập phương
là 10. Giả sử các mặt của hình lập phương có độ dày không đáng kể
A.
3
15
12 2
. B.
3
9
24 4
. C.
3
15
24 4
. D.
3
9
12 2
.
Câu 14. (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên 2019) Một cái thùng đựng đầy nước được tạo thành từ
việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón.
Miệng thùng là đường tròn có bán kính bằng ba lần bán kính mặt đáy của thùng. Người ta thả vào
đó một khối cầu có đường kính bằng
3
2
chiều cao của thùng nước và đo được thể tích nước tràn ra
ngoài là
3
54 3
dm
. Biết rằng khối cầu tiếp xúc với mặt trong của thùng và đúng một nửa của
khối cầu đã chìm trong nước (hình vẽ). Thể tích nước còn lại trong thùng có giá trị nào sau đây?
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
A.
3
46 3
5dm
. B.
3
18 3 dm
. C.
3
46 3
3dm
. D.
3
18 dm
.
Câu 15. (THPT Mai Anh Tuấn_Thanh Hóa - 2019) Cho tứ diện
OABC
có
, ,OA a OB b OC c
và
đôi một vuông góc với nhau. Gọi
r
là bán kính mặt cầu tiếp xúc với cả bốn mặt của tứ diện. Giả
sử
,a b a c
. Giá trị nhỏ nhất của
a
r
là
A. 1 3. B. 2 3. C. 3 . D. 3 3.
Câu 16. Cho hai mặt cầu
1
S
và
2
S
đồng tâm
O
, có bán kình lần lượt là
1
2R và
2
10R
. Xét tứ
diện
ABCD
có hai đỉnh
,A B
nằm trên
1
S
và hai đỉnh
,C D
nằm trên
2
S
. Thể tích lớn nhất
của khối tứ diện
ABCD
bằng
A.
3 2
. B.
7 2
. C.
4 2
. D.
6 2
.
Câu 17. Cho tứ diện đều
ABCD
có mặt cầu nội tiếp là
1
S
và mặt cầu ngoại tiếp là
2
S
, hình lập
phương ngoại tiếp
2
S
và nội tiếp trong mặt cầu
3
S
. Gọi
1
r,
2
r,
3
r lần lượt là bán kính các mặt
cầu
1
S
,
2
S
,
3
S
. Khẳng định nào sau đây đúng?
(Mặt cầu nội tiếp tứ diện là mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của tứ diện, mặt cầu nội tiếp hình
lập phương là mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình lập phương).
A.
1
2
1
3
r
r
và
2
3
1
3 3
r
r
. B.
1
2
2
3
r
r
và
2
3
1
3
r
r
. C.
1
2
1
3
r
r
và
2
3
1
3
r
r
. D.
1
2
2
3
r
r
và
2
3
1
2
r
r
.
Câu 18. (THPT Lương Văn Tụy - Ninh Bình - 2018) Cho hình chóp
.S ABCD
có
90ABC ADC ,
cạnh bên
SA
vuông góc với
ABCD
, góc tạo bởi
SC
và đáy
ABCD
bằng
60
,
CD a
và tam
giác
ADC
có diện tích bằng
2
3
2
a
. Diện tích mặt cầu
mc
S ngoại tiếp hình chóp
.S ABCD
là
A.
2
16
mc
S a
. B.
2
4
mc
S a
. C.
2
32
mc
S a
. D.
2
8
mc
S a
.
Câu 19. (Yên Phong 1 - 2018) Cho mặt cầu tâm O bán kính 2a, mặt phẳng (α) cố định cách O một đoạn
là a, (α) cắt mặt cầu theo đường tròn (T). Trên (T) lấy điểm A cố định, một đường thẳng qua A
vuông góc với (α) cắt mặt cầu tại điểm B khác
A
. Trong (α) một góc vuông xAy quay quanh A và
cắt (T) tại 2 điểm phân biệt C, D không trùng với
.A
Khi đó chọn khẳng định đúng:
A. Diện tích tam giác BCD đạt giá trị nhỏ nhất là
2
21a
B. Diện tích tam giác BCD đạt giá trị lớn nhất là
2
21a
C. Diện tích tam giác BCD đạt giá trị nhỏ nhất là
2
2 21a
D. Do (α) không đi qua O nên không tồn tại giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của diện tích tam giác
Câu 20. (THPT Hải An - Hải Phòng - 2018) Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có
bán kính bằng
9
, tính thể tích
V
của khối chóp có thể tích lớn nhất.
Blog: Nguyễn Bảo Vương:
https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
A.
144V
. B.
576 2V
. C.
576V
. D. 144 6V.
Câu 21. (THPT Yên Khánh A - 2018) Cho hình chóp tứ giác đều chiều cao là
h
nội tiếp trong một mặt
cầu bán kính
R
. Tìm
h
theo
R
để thể tích khối chóp là lớn nhất.
A. 3h R. B.
2h R
. C.
4
3
R
V
. D.
3
2
R
V
.
Câu 22. (Sở Vĩnh Phúc - 2021) Cho mặt cầu
S
có bán kính không đổi là
R
. Một hình chóp lục giác
đều
.S ABCDEF
nội tiếp mặt cầu
S
. Tìm giá trị lớn nhất
max
V của thể tích khối chóp
. .S ABCDEF
A.
3
max
3 3
8
R
V
. B.
3
max
8 3
9
R
V
. C.
3
max
16 3
27
R
V
. D.
3
max
8 3
27
R
V
Câu 23. (Liên trường Quỳnh Lưu - Hoàng Mai - Nghệ An - 2021) Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên
SAB
là tam giác cân tại
S
và nằm trong mặt phẳng vuông
góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích
V
của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho biết
o
120ASB ?
A.
13 78
27
. B.
5 15
54
. C.
5
3
. D.
4 3
27
.
Câu 24. (THPT Mai Anh Tuấn - Thanh Hóa - 2021) Cho hình lăng trụ đều
. ' ' 'ABC A B C
, biết góc giữa
hai mặt phẳng
'A BC
và
ABC
bằng
0
45
, diện tích tam giác
'A BC
bằng
2
6a
. Tính diện
tích xung quanh của hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ
. ' ' 'ABC A B C
.
A.
2
2a
. B.
2
8 3
3
a
. C.
2
4a
. D.
2
4 3
3
a
.
Câu 25. Ông An cần làm một đồ trang trí như hình vẽ. Phần dưới là một phần của khối cầu bán kính
20 cm
làm bằng gỗ đặc, bán kính của đường tròn phần chỏm cầu bằng
10 cm
. Phần phía trên làm
bằng lớp vỏ kính trong suốt. Biết giá tiền của
2
1m kính như trên là 1.500.000 đồng, giá triền của
3
1m gỗ là 100.000.000 đồng. Hỏi số tiền (làm tròn đến hàng nghìn) mà ông An mua vật liệu để
làm đồ trang trí là bao nhiêu.
A.
1.000.000
. B.
1.100.000
. C.
1.010.000
. D.
1.005.000
Câu 26. (Sở Bắc Ninh-2021) Cho hình chóp tam giác đều
.S ABC
có cạnh đáy bằng 3 và cạnh bên
bằng
x
, với
1x
. Gọi
V
là thể tích khối cầu xác định bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.S ABC
.
Giá trị nhỏ nhất của
V
thuộc khoảng nào sau đây?
A.
7;3
. B.
0;1
. C.
1;5
. D.
5;7
.
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
THẦY, CÔ GIÁO CẦN MUA FILE WORD THÌ LIÊN HỆ
Fanpage: Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Hoặc Facebook: Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong
SĐT: 0946.798.489 hoặc zalo 0946.798.489
Tải nhiều tài liệu hơn tại: https://www.nbv.edu.vn/