SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI
TRƯỜNG THPT TRẦN QUỐC TUẤN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2011 – 2012
MÔN: TOÁN - KHỐI 10
Thời gian làm bài: 180 phút
Bài 1: (5 điểm)
1) Giải phương trình:
3
33
112
x
xx−+ +=
2) Giải hệ phương trình:
22 22
222
42 16105xxxyyyy
xyz xyz
⎧++ − + ++ − + =
⎪
⎨++=++
⎪
⎩
Bài 2: (5 điểm)
1) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
211yx x x=++++−
2) Tùy theo giá trị của a tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
() 1 1
f
xx x xa=++−+−
Bài 3: (5 điểm)
Cho phương trình: x2 -3x+1= 42
1mx x
+
+
1) Giải phương trình khi m = 3
3
−
2) Tìm m để phương trình có số lẻ nghiệm thực.
Bài 4: (5 điểm)
Cho đường tròn (O) cố định và một đường thẳng (d) không cắt (O). Từ điểm A di động
trên (d) ta dựng hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (O) ( B, C là tiếp điểm). Chứng
minh rằng đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định khi A thay đổi trên (d).
------------------------HẾT-----------------------------
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI HSG CẤP TRƯỜNG
ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN – KHỐI 10
Bài 1(5 điểm)
1) (2,5 điểm)
Lập phương hai vế phương trình ta được:
32 3
3
32 2
3
23 1.2 2
(2 3 2 1 2 ) 0
xx xx
xxx
+− =
⇔+ −− =
• x = 0 1đ
• 322
3
232 12 0xx+−−=
32 2
3
223
32 1 2( 1)
54( 1) 8( 1)
1
27
12
xx
xx
x
x
⇔−=−
⇔−=−
=±
⎡
⎢
⇔⎢=± +
⎢
⎣
1,5đ
2) (2,5đ)
Đặt
( ;2); ( ;1); (3 ;1)
5
ax byxc y
abc
==−=−
⇒++=
rr r
rrr 1đ
Từ phương trình (1) suy ra: abc abc++=++
rrr rrr
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ;;abc
r
rr
cùng hướng
Ù
3
32
9
21 1
4
x
xyx y
y
⎧=
⎪
−−⎪
==⇔
⎨
⎪=
⎪
⎩
1đ
Thay vào (2) ta được z = 9
10
−
Hệ có nghiệm 39 10
(,, )
24 4
− 0,5đ
Bài2(5 đ)
1)
Lập bảng biến thiên 1đ
Vẽ đồ thị 1đ
2) Chứng minh được: Với a bc≤≤ thì mìnf(x) = f(b) 1đ
Vậy với 1a≤− thì mìn(x) = f(-1) = 1- a
Với 11a−≤ ≤ thì mìn(x) = f(a) = 2
Với 1≤a thì mìnf(x) = f(1) = 2a 2đ
Bài 3 (5 đ)
Ta có x4 + x2 + 1= (x2 +1)2 – x2 = (x2+x+1)(x2- x + 1)
Và x2 – 3x +1 = 2(x2 – x + 1) – ( x2 +x + 1) 1đ
Đặt t = 2
2
1
1
x
x
x
x
−+
++ với 33
3t≤≤ ta được phương trình:
2t2 – mt -1 = 0 (1) 1đ
1) Với m = 3
3
− ta có phương trình: 2t2 +3
3t-1 = 0
3
2
3
3
t
t
⎡=−
⎢
⎢
⎢=
⎢
⎣
t= 3
3 thì x=1 1đ
3) Do phương trình (1) có hai nghiệm khác dấu (ac<0) nên t1<0<t2
Từ t = 2
2
1
1
x
x
x
x
−+
++ Ù (t2- 1) x2 + (t + 1)x +t – 1 = 0 (**)
Phương trình đã cho có số lé nghiệm khi pt (**) có một nghiệm t>0 1đ
• t = 1 => m = 1 pt có một nghiệm x= 0
• t2 – 1≠ 0 thì 0
t
Δ= =>
33
33
53
33
tm
tm
⎡=⇒=−
⎢
⎢
⎢=⇒=
⎢
⎣
Vậy m=1; 353
;
33
mm=− = 1đ
Bài4
Chọn hệ trục như hình vẽ. O (0;0) là trung điểm BC; A(0;a), B(-c;0) C(c;0),
D(- ;)
22
ca; E( ;)
62
ca Vậy:
(; )AB c a=− −
uuur.Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp nên gọi I(0;y) nên
22
.0 2
ac
ID AB y a
−
=⇒ =
uuuruuur. Vậy
I(0;
22
2
ac
a
−)
Ta có:
23
(; )à ( ; )
62 2 2
cc c a
IE v DC
a
==−
uur uuur
Suy ra:
2
3
...0
62 2 2
ccca
IE DC a
=− =
uur uuur
Suy ra IE vuông góc với DC
Bài 5 (5đ)
Gọi D là hình chiếu vuông góc cuarO trên (d); E, F lần lượt là giao điểm của BC với OA
và OD. 1đ
Tam giác vuông ODA ~ OEF nên:
OD.OF = OE.OA 1đ
Mặt khác tam giác vuông OBA có BE là đường cao nên:
OE.OA = OB2 = R2 1đ
Suy ra OD.OF = R2 không đổi. 1đ
Mà O, D cố định R không đổi nên F cố định. Vậy BC luôn đi qua F cố định.
1đ
d A
B
C
O
E
D
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI
TRƯỜNG THPT TRẦN QUỐC TUẤN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2011 – 2012
MÔN: TOÁN - KHỐI 11
Thời gian làm bài: 180 phút
Bài 1: (6,0 điểm)
Giải các phương trình sau:
1/ (sin 2 sinx 4)cos 2 0
2sinx 3
xx−+ −
=
+
2/ 23
416 12
x
xx−=−
Bài 2: (2,5 điểm)
Cho ba số thực dương x, y, z thoả 1112011
xyz
++= . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
111
222
P
x
yz x yz xy z
=++
++ + + ++
Bài 3: (5điểm)
1/Xác định m sao cho phương trình sau có nghiệm thực:
22(2)(2)
x
xxxm−+ +− − + =
2/Giải hệ phương trình :
22
22
3
114
xyxy
yx
⎧+−=
⎪
⎨
+
++=
⎪
⎩
Bài 4: (5 điểm)
1/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn ( C): x2+ y2 +4x -6y – 3 = 0. Viết
phương trình đường tròn ( C’) đối xứng với đường tròn ( C) qua đường thẳng d: x -2y+ 3 = 0.
2/Cho đường tròn ( O1; R1) tiếp xúc trong với đường tròn (O ; R ) tại điểm A cho trước.
Tiếp tuyến bất kỳ của ( O1; R1) tại M cắt (O ; R ) tại 2 điểm C và D. Chứng minh rằng:
฀
฀
DAM MAC=
Bài 5: (1,5 điểm)
Cho 20 điểm trên mặt phẳng, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Xét tập hợp
các đường thẳng đi qua 2 điểm cuả 20 điểm đã cho. Số giao điểm khác 20 điểm đã cho do các
đường thẳng này tạo thành nhiều nhất là bao nhiêu?
----------------HẾT----------------
ĐỀ CHÍNH THỨC