PHÒNG GD& ĐT THANH OAI Đ THI CH N H C SINH GI I L P 9 NĂM H C 2015-Ề Ọ Ọ Ỏ Ớ Ọ
2016
TR NG THCS Đ ĐNGƯỜ Ỗ Ộ MÔN : TOÁN
Th i gian: 150 phút (không k th i gian giao đ)ờ ể ờ ề
Câu 1: (6 đi m)ể
1.(4đ) Cho bi u th c: ể ứ
2
1 1 1a a a a a a a
Ma a a a a a
+ − − + −
= + +
− −
v i ớ
0; 1a a
>
a) Rút g n M.ọ
b) V i nh ng giá tr nào c a a thì bi u th c ớ ữ ị ủ ể ứ
6
NM
=
nh n giá tr nguyên.ậ ị
2.( 2đ) Tính giá tr c a bi u th c ị ủ ể ứ
1 1xy xy
Ex y x y
+ −
= −
+ −
v iớ
4 8. 2 2 2 . 2 2 2x= + + + − +
;
3 8 2 12 20
3 18 2 27 45
y− +
=− +
Câu 2: (4 đi m)ể
1.(2đ) Giai ph ng trinh: ươ
( ) ( )
4 2 . 4 2 2x x x+ − − + =
2.(2đ) V i a; b là các s th c d ng th a mãn ớ ố ự ươ ỏ
21
1 1
a b
a b
+ =
+ +
.
Tìm giá tr l n nh t c a P = abị ớ ấ ủ 2
Câu 3 : (4 đi m)ể
1.(2đ) Tìm các s nguyên (x,y) th a mãn: 5xố ỏ 2 + 13y2 + 6xy = 4(3x – y)
2.(2đ) Cho a, b, c la cac sô l n h n 1. Ch ng minh bât đăng th c sau: ơ ơ ư ư
Câu 4 : (5 đi m)ể
Cho điêm M năm trên n a đng tron tâm ư ươ O đng kinh ươ AB = 2R (M không
trung v i ơA va B). Trong n a măt phăng ch a n a đng tron co b la đng ư ư ư ươ ơ ươ
thăng AB, ke tiêp tuyên Ax. Đng thăng ươ BM căt Ax tai I; tia phân giac cua
căt n a đng tron ư ươ O tai E, căt IB tai F; đng thăngươ BE căt AI tai H, căt AM tai
K.
a) Ch ng minh 4 điêm ư F, E, K, M cung năm trên môt đng tron. ươ
b) Ch ng minh ư
HF BI
⊥
.
c) Xac đinh vi tri cua M trên n a đng tron ư ươ O đê chu vi
AMB
∆
đat gia tri
l n nhât va tim gia tri đo theo ơ R?
Câu 5 (1.0 điêm). Tim cac sô t nhiên ư x, y biêt răng:
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 2 2 3 2 4 5 11879
x x x x y
+ + + + − =
.
-------H t -----ế
PHÒNG GD& ĐT THANH OAI
TR NG THCS Đ ĐNGƯỜ Ỗ Ộ H NG D N CH M Đ THI CH N H C SINH GI I L P ƯỚ Ẫ Ấ Ề Ọ Ọ Ỏ Ớ
9
NĂM H C 2015-2016Ọ
MÔN : TOÁN
Đáp án và h ng d n ch mướ ẫ ấ Điêm
Câu1 6đ
1
(4đ)
a
ĐKXĐ
0; 1a a
>
(*)
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1 1 1 1
1
1
1
a a a a a a
a
Ma a a
a a
− + + − − +
+
= + − −
−
V y ậ
2 1a a
Ma
+ +
=
v i ớ
0; 1a a
>
(*)
0,25
2,25
b
Ta có
2 1 1 2
a a a
Ma a
+ + +
= = +
Do
0; 1a a
>
nên
( )
22
1 0 1 2 2 4
a
a a a M a
− > + > > + =� �
6 3
02
NM
< = <�
do đó N nguyên thì N = 1
( ) ( )
( )
2
2
2
2 3
2 3
61 2 3 ( *)
1 2 2 3 2 3
a
a
aa TM
a a aa
= +
= +
= − =� � � �
+ + = −
= −
V y N nguyên khi ậ
( ) ( )
{ }
2 2
2 3 ; 2 3a+ −�
0.25đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
2
(2đ)Ta có:
4 8. 2 2 2 . 2 2 2x= + + + − +
( ) ( )
4 2 2 . 4 2 2 2 2 2 2 2 2.2 2x= + − − = + − = =
( )
( )
4 3 2 2 3 5
3 8 2 12 20 2
3
3 18 2 27 45 9 3 2 2 3 5
y− +
− +
= = =
− + − +
0,75
0,75
4 4
1 1 9
3 3
8 4 8
3 3
E
+ −
= − =�
0,5
Câu 2 4đ
1
(2đ)
ĐK:
4 4x
−
. PT đã cho t ng đng v i:ươ ươ ớ
( )
. 4 2 2
4 2
xx x
x− + =
+ +
* x = 0 là nghi mệ
* Gi i ả
( )
4 2 2. 4 2x x− + = + +
Đt ặ
4u x= +
;
4v x= −
ta thu đc ượ
( )
2
2
2 2
2 14
2 2 ;2 96
2 2 8 4
5 5 5 25
82(loai)
v u u v
u u x x
u v u
= +
= =
+ + = + = = −� � � �
� �
+ =
= −
(TM)
Vây pt đã cho co 2 nghiêm:
,
2
96
25
x= −
0.5đ
0.25đ
0.5đ
0.25đ
2
(2đ)
Theo BĐT Cô – si cho hai s d ng ta có:ố ươ
( ) ( )
11 2
1 1 1 1 1 1
b a b ab
b b a b a b
= − = +
+ + + + + +
Suy ra :
( ) ( )
2
1 4 1 4
.
1 1 1 1 1
ab ab
b a b a b
� � =
� �
+ + + + +
� �
Mà
2
2
1 2 1 2 4 1
1 .
1 1 1 1 1 1 8
a b b ab ab
a a b b b b
� �
= −
� �
+ + + + + +
� �
D u b ng x y ra ấ ằ ả
1
2
a b= =�
. V y Pậmax =
1
8
t i ạ
1
2
a b= =
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Câu 3 4 đ
1
(2đ)
PT t ng đng ươ ươ
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 2 3 2 1 10x y x y+ + − + + =
Mà 10 ch có th bi u di n d i d ng t ng 3 bình ph ng :ỉ ể ể ễ ướ ạ ổ ươ
10 = 02 + 12 + 32 và 2x – 3; 2y + 1 là s l nên:ố ẻ
( )
( )
2
2
3 0
2 3 1
2 1 9
x y
x
y
+ =
− =
+ =
(*) ho c ặ
( )
( )
2
2
3 0
2 3 9
2 1 1
x y
x
y
+ =
− =
+ =
(**)
Xét h (*) t Ph ng trình đu ệ ừ ươ ầ
( )
( )
2
3 2 3 3 1x y y= − − − =� �
0,5
0,25
0,25
0,25
PT vô nghi mệ
Xét h (**) ệ
0
2 3 3
2 1 1 3
3 0 1
x y
x
yx
x y y
= =
− =
+ = =
+ = = −
Đáp s : x = y = 0; x = 3, y = -1ố
0,25
0,25
0,25
2
(2đ)
Đăt P =
P =
P =
P =
Do ap dung bât đăng th c Cô-si cho 2 s d ng ta co ư ố ươ :
P
Vây P (đpcm)
Dâu đăng th c xay ra khi a = b = c = 2. ư
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
Câu 4 5đ
Hinh ve x
I
F
M
H E K
A O B
a
Ta co M, E năm trên n a đng tron đng kinh AB nên ư ươ ươ
ﾷ
0
90FMK =
va
ﾷ
0
90FEK =
.0.5
Vây 4 điêm F, E, K, M cung năm trên đng tron đng kinh FK ươ ươ 0.25
b Ta co
HAK∆
cân tai A nên AH = AK (1) 0.25
K la tr c tâm cua ư
AFB∆
nên ta co
FK AB⊥
suy ra FK // AH (2) 0.25
Do đo
ﾷ
ﾷ
FAH AFK=
ma
ﾷ
ﾷ
FAH FAK=
(gt) cho nên
ﾷ
ﾷ
AFK FAK=
0.25
Suy ra AK = KF, kêt h p v i (1) ta đc ơ ơ ươ AH = KF (3) 0.25
T (2) va (3) ta co ưAKFH la hinh binh hanh nên HF // AK. Ma
AK IB⊥
suy ra
HF IB⊥
.
0.25
c
Chu vi cua
AMB
AMB C MA MB AB
∆
∆ = = + +
l n nhât khi chi khi ơ MA +
MB l n nhât (vi AB không đôi). ơ
0.25
Ap dung bât đăng th c ư
( )
( )
22 2
2a b a b+ +
dâu "=" xay ra
a b=�
,
ta co
( )
22 2 2
2( ) 2MA MB MA MB AB+ + =
0.25
Nên MA + MB đat gia tri l n nhât băng ơ
2AB
khi va chi khi
MA = MB hay M năm chinh gi a cung ưAB.0.25
Vây khi M năm chinh gi a cung ưAB thi
AMB
C
∆
đat gia tri l n nhât. Khi ơ
đo
2 (1 2) 2 (1 2)
AMB
C MA MB AB AB AB AB R
∆
= + + = + = + = +
0.25
Câu 5 1đ
Đăt
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 2 2 3 2 4
x x x x
A= + + + +
, ta co
2 .
xA
la tich cua 5 sô t ư
nhiên liên tiêp nên
2 .
xA
chia hêt cho 5. Nh ng ư
2x
không chia hêt cho 5,
do đo A chia hêt cho 5.
0.25
Nêu
1y
, ta co
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 2 2 3 2 4 5
x x x x y
+ + + + −
chia hêt cho 5 ma
11879 không chia hêt cho 5 nên
1y
không thoa man, suy ra y = 0. 0.25
Khi đo , ta co
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 2 2 3 2 4 5 11879
x x x x y
+ + + + − =
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 2 2 3 2 4 1 11879
x x x x
+ + + + − =�
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 2 2 3 2 4 11880
x x x x
+ + + + =�
0.25
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 2 2 3 2 4 9.10.11.12 3
x x x x x+ + + + = =� �
.
Vây
3; 0x y= =
la hai gia tri cân tim. 0.25
Chu y: HS co thê giai theo cach khac, nêu đung vân cho điêm tôi đa.