PHÒNG GD&ĐT THANH OAI Đ THI H C SINH GI I NĂM H C 2015 - Ề Ọ Ỏ Ọ
2016
TR NG THCS LIÊN CHÂUƯỜ MÔN: TOÁN – L P 9.Ớ
Th i gian: 150 phútờ
Bài 1(6đ): 1. Cho bi u th c: ể ứ
2 5 1 1
1 ( ) :
4 1
1 2 1 2 4 4 1
x x
Ax
x x x x
−
= − − −
−
+ − + +
a/ Rút g n Aọ
b/ Tìm giá tr nguyên c a x đ A đt giá tr nguyênị ủ ể ạ ị
2, Tính giá tr c a bi u th c B = xị ủ ể ứ 3 - 3x + 2000 v i x = ớ
3223
+
3223
.
Bài 2. ( 3 đi mể)
Câu 1. ( 1,5 đi m) ểCho 3 sô x, y, z thoa man đông th i: ơ
3x - 2y - 2
2012y+
+1 =0
3y - 2z - 2
2013z−
+ 1 = 0
3z - 2x - 2
2x−
- 2 = 0;
Tinh gia tri cua biêu th c P = ( x - 4) ư
2011
+ ( y + 2012)
2012
+ ( z - 2013)
2013
.
Câu 2. (1,5 đi m) Cho b n s th c ể ố ố ự
dcba ,,,
tho mãn đng th i:ả ồ ờ
7
dcba
và
. H i ỏ
a
có th nh n giá tr l nể ậ ị ớ
nh t là bao nhiêu?ấ
Bài 3: (3đ)
a) Cho ba s d ng ố ươ
, ,x y z
tho mãn ả
1 1 1 1.
x y z
+ + =
Ch ng minh r ng:ứ ằ
.x yz y zx z xy xyz x y z
+ + + + + + + +
b)Tim sô t nhiên n sao cho ư
2
6A n n
= + +
la sô chinh ph ng ươ
Bài 4 ( 7 đi m)ể
Câu 1 (3 đi mể) T đi m K b t kì trên đng tròn tâm O đng kính AB = ừ ể ấ ườ ườ
2R. V KH vuông góc v i ti p tuy n Bx c a đng tròn. Gi s góc KAB ẽ ớ ế ế ủ ườ ả ử
b ng ằ
đ ( 0 < ộ
< 90 ).
a, Tính KA, KB, KH theo R và
.
b, Tính KH theo R và 2
.
c, Ch ng minh r ng: cos 2ứ ằ
= 1 – 2sin2
cos 2
= 2 cos2
- 1
Câu 2 (4 đi mể) Cho đng tròn tâm O bán kính R, A là đi m c đnh trên ườ ể ố ị
đng tròn. V ti p tuy n Ax, l y đi m M b t kì trên Ax, v ti p tuy n th ườ ẽ ế ế ấ ể ấ ẽ ế ế ứ
hai MB v i đng tròn (B là ti p đi m). G i I là trung đi m c a MA, BI c t ớ ườ ế ể ọ ể ủ ắ
đng tròn K, tia MK c t đng tròn C. Ch ng minh r ng:ườ ở ắ ườ ở ứ ằ
a, Tam giác MIK đng d ng v i tam giác BIM.ồ ạ ớ
b, BC song song v i MA.ớ
c, Khi đi m M di đng trên Ax thì tr c tâm H c a tam giác MAB ể ộ ự ủ
thu c đng tròn c đnh.ộ ườ ố ị
Câu 5 (1,0 đi m): ể Cho
n
1
A = (2n +1) 2n 1
−
v i nớ
*
ﾥ
.
Ch ng minh r ng: ứ ằ
1 2 3 n
A + A + A + ... + A < 1
.
ĐÁP ÁN VÀ H NG D N CH M - MÔN TOÁN L P 9ƯỚ Ẫ Ấ Ớ
Bài 1
1a)
(2,5đ)
.
a/(2đ)Cho bi u th c ể ứ
A= 1-
2 5 1 1
:
4 1
1 2 1 2 4 4 1
x x
x
x x x x
� � −
− −
� �
� �
−
+ − + +
� �
ĐK: x
1
0; ; 1
4
x x
A= 1-
( ) ( )
2
2 5 1 1
:
2 1 2 1
2 1 (2 1) 2 1
x x
x x
x x x
� � −
� �
− +
� �
+ −
+ − +
� �
A=1-
2
4 2 5 2 1 (2 1)
.
(2 1)(2 1) 1
x x x x
x x x
− − + + +
+ − −
A=1-
1 2 1 2 1 2
. 1
2 1 1 2 1 1 2
x x x
x x x x
− + +
= − =
− − − −
0,25
0,75
0,75
0,75
1b)
(1,5đ)
Ta có :
b/(2đ) Tìm x
Z
đ A nguyên.ể
21 2
1 2
A Z Z x
x−� � � � �
−
(2)Ư
Do
0; 1; 0x x x Z x
=� � � �
V y x=0 thì A có giá tr nguyên.ậ ị
0,75
0,75
2.(2đ)
Áp d ng công th c: (a+b)ụ ứ 3=a3+b3+3ab(a+b),
Đt a=ặ
3223
, b=
3223
Ta có
⇒ x= a+b ⇒ x3= (a+b)3= a3 + b3 +3ab(a+b)
=> x3 = 6 + 3x ⇒ x3- 3x = 6Suy ra B = 2006
0,5
0,5
0,25
0,25
0,5
Bài 2 (3đi m)ể
Câu 1. (1.5 đi m). ể
b) 3x - 2y - 2
2012y+
+1 =0 (1)
3y - 2z - 2
2013z−
+ 1 = 0 (2)
3z - 2x - 2
2x−
- 2 = 0 (3)
Công vê v i vê cua (1), (2), va (3) ta đc: ơ ươ
x + y + z - 2
2012y+
- 2
2013z−
- 2
2x−
= 0 0,50
( x - 2 - 2
2x−
+ 1) + ( y + 2012 - 2
2012y+
+ 1)
+ ( z - 2013 - 2
2013z−
+ 1) = 0 0,50
(
2x−
- 1 )
2
+ (
2012y+
- 1)
2
+ (
2013z−
- 1)
2
= 0
2x−
- 1 = 0
x = 3
2012y+
- 1 = 0
y = - 2011
2013z−
- 1 = 0
z = 2014 0,25
Vây P = ( 3 - 4)
2011
+ ( - 2011 + 2012)
2012
+ ( 2014 - 2013)
2013
P = -1 + 1 +1 = 1. 0,25
Câu (1.5 đi m)ể
T a +b+c+d = 7 ừ
b+c+d = 7 – a 0,25đ
(b+c+d)2 = b2 + c2 + d2 + 2bc +2cd + 2bd
mà (b – c )2
0
; (c - d )2
0
;(d - b )2
0
;
b2 + c2
2bc; c2 + d2
2cd; d2 + b2
2bd;
0,25đ
T đó (b+c+d)ừ2
3(b2 + c2 + d2)0,25đ
(7 - a)2
3(13 – a2)
(a – 1)(a-
2
5
)
0 0,25đ
Tìm đc 1 ượ
a
2
5
0,25đ
do đó a có th nh n giá tr l n nh t là ể ậ ị ớ ấ
2
5
0,25đ
Bài 3(3đi m)ể
a)
(1.5đ)
B t đng th c đã cho t ng đng v iấ ẳ ứ ươ ươ ớ
1 ,a bc b ca c ab ab bc ca+ + + + + + + +
v i ớ
1 1 1
, , , 1.a b c a b c
x y z
= = = + + =
Tacó :
( )a bc a a b c bc
+ = + + +
2 2
( ) 2 .a a b c bc a a bc bc a bc
= + + + + + = +
T ng t : ươ ự
; .b ca b ca c ab c ab+ + + +
T đó ta có đpcm. D u b ng x y ra khi ừ ấ ằ ả
3.x y z= = =
0,5
0,5
0,5
b)
1.5đ
2
6A n n
= + +
la sô chinh ph ng nên A co dang ươ
2 2 *
2 2 2 2
6 ( )
4 4 24 4 (2 ) (2 1) 23
2 2 1 23
(2 2 1)(2 2 1) 23 2 2 1 1
A n n k k N
n n k k n
k n
k n k n k n
= + + =
+ + = − + =� �
+ + =
+ + − − =� � − − =
(Vi 23 la sô nguyên tô va 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1)
2 2 1 23 6
2 2 1 1 5
k n k
k n n
+ + = =
� �
� �
� �
− − = =
� �
Vây v i n = 5 thi A la sô chinh ph ng ơ ươ
0,5
0,5
0,25
0,25
Bài 4 (7 đi m)ể
Câu 1 (3 đi m)ể
x
H
K
C
O
B
A
a, (1 đi m)ể
L p lu n đ có ậ ậ ể
AKB = 900 (0,25đ);
KAB =
KBH (0,25đ);
Xét
AKB vuông t i H cóạ
KA = AB cos
= 2R cos
(0,25đ);
KB = AB sin
= 2R sin
(0,25đ);
Xét
KHB vuông t i H cóạ
KH = KB sin
(0,25đ) = 2R sin2
(0,25đ);
b, (0.75 đi m)ể
V KO; KC ẽ
AB xét
KCO vuông t i C có OC = OK cos2ạ
(0,25đ);
L p lu n có KH = CB (0,25đ) = R - Rcos2ậ ậ
= R(1 - cos2
) (0,25đ);
c, (1,25 đi m)ể
Theo câu a có KH = 2R sin2
theo câu b có KH = R(1 - cos2
) (0,25đ);
nên 2R sin2
= R(1 - cos2
) (0,25đ) do đó cos2
= 1 - 2sin2
(0,25đ);
M t khác áp d ng đnh lí Pitago vào tam giác AKB vuông t i K ch ng minh ặ ụ ị ạ ứ
đc ượ
sin2
+ cos2
= 1 nên sin2
= 1 - cos2
(0,25đ);
T đó có cos2ừ
= 1 – 2(1 – cos2
) = 2 cos2
- 1 (0,5đ);
Câu 2 (4 đi m)ể
C
K
I
O
B
x
M
A
a, (2 đi m)ể
Ch ng minh đc ứ ượ
IAK đng d ng v i ồ ạ ớ
IBA (0,5đ)
IA2 = IK.IB , mà I là trung đi m c a AM ể ủ
nên IM2 = IK.IB (0,5đ)
Ch ng minh đc ứ ượ
MIK đng d ng v i ồ ạ ớ
BIM (1đ)
b, (1đi m)ể
T câu a ừ
IMK =
MBI , l i cóạ
MBI =
BCK(0,5đ);
IMK =
BCK
BC // MA(0,5đ);
c, (1 đi m)ể
H là tr c tâm c a ự ủ
MAB
t giác AOBH là hình thoi (0,5đ);ứ
AH = AO =R
H
(A;R) c đnhố ị
Câu 5 (1đi m)ể
( )
1 2 1
(2 1) 2 1
(2 1) 2 1
n
Ann n
n n
−
= = + −
+ −
2 1 1 1 2 1 1 1 1 1
2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1
n n
Ann n n n n n
− − � �� �
� �
= − = + −
� � � �� �
− + − + − +
� � � �� �
Vì
1 1 0
2 1 2 1n n
− >
− +
và
1 1 2
2 1 2 1 2 1n n n
+ <
− + −
nên
An<
1 1 ( *)
2 1 2 1 n
n n
− ∀
− + ﾥ
Do đó:
1 2 3
1 1 1 1 1
... 1 3 3 5 2 1 2 1
n
A A A A n n
+ + + + < − + − + + −��� − +
1 2 3
1
... 1 1
2 1
n
A A A A n
+ + + + < − <
+
0,25
0,25
0,25
0,25