Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2012-2013 - Trường THPT Nhã Nam

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> SỞ GD&ĐT BẮC GIANG<br /> <br /> KÌ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 – 2013<br /> <br /> TRƯỜNG THPT NHÃ NAM<br /> <br /> MÔN THI: TOÁN 11<br /> Thời gian làm bài: 180 phút<br /> <br /> Câu I: (2 điểm).<br /> 3<br /> 3<br /> 1.Giải phương trình: (1  t anx)cos x  (1  cot x)sin x  2sin 2x.<br /> <br /> 2. Tìm các nghiệm trong khoảng  ;   của phương trình:<br /> <br /> <br /> <br /> 2sin  3x    1  8sin 2x cos 2 2x.<br /> 4<br /> <br /> Câu II: (3 điểm).<br /> 1. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau trong đó có 3 số chẵn và 3 số lẻ<br /> ?<br /> 2. Cho k là số tự nhiên thỏa mãn 5  k  2011.<br /> k 1<br /> 5<br /> k 5<br /> k<br /> Chứng minh rằng: C0 .C k  C1 .C 2011  ...  C5 .C 2011  C 2016 .<br /> 5<br /> 2011<br /> 5<br /> <br />  u1  11<br />  u n 1  10u n  1  9 n, n  N.<br /> <br /> 3.Cho dãy số (un) xác định bởi : <br /> Tìm công thức tính un theo n.<br /> Câu III: (2 điểm).<br /> <br /> <br /> 2 <br /> 2  <br /> 2<br /> <br /> 1. Cho Pn= 1 <br /> <br /> <br /> 1 <br /> ..... 1 <br /> 2.3 3.4  (n  1)(n  2) <br /> <br /> <br /> <br /> Gọi Un là số hạng tổng quát của Pn. Tìm<br /> <br /> lim Un<br /> n<br /> <br /> (x 2  2012) 3 1  2x  2012 4x  1<br /> 2. Tìm giới hạn: lim<br /> x 0<br /> x<br /> Câu IV: ( 3 điểm).<br /> 1. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c. M là điểm tùy ý<br /> trên cạnh AB, (P) là mặt phẳng qua M và song song với AC và BD cắt BC, CD, DA<br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 1<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> lần lượt tại N, P, Q. Tìm vị trí của M và điều kiện của a, b, c để thiết diện MNPQ là<br /> hình vuông, tính diện tích thiết diện trong trường hợp đó.<br /> 2. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Xác định điểm M bên trong tam giác sao cho<br /> MA + MB + MC nhỏ nhất.<br /> <br /> -------------Hết-------------<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 2<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> ĐÁP ÁN<br /> Câu<br /> <br /> Nội dung<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> I<br /> <br /> 2.0<br /> 1. (1.0 đ). ĐK: sin x cos x  0. Khi đó pt trở thành:<br /> 0.25<br /> <br /> sinx  cos x  2 sin x cos x . (1)<br /> <br /> ĐK: sinx  cos x  0 dẫn tới<br /> 0.25<br /> <br /> sinx  0;cos x  0.<br /> <br /> Khi đó:<br /> <br /> (1)  sin 2x  1  x <br /> <br /> <br />  k.<br /> 4<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> KL nghiệm :<br /> <br /> x<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  2m.<br /> 4<br /> <br /> 2. (1.0 đ).ĐK: sin  3x <br /> <br /> 0.25<br /> <br /> <br />   0.<br /> 4<br /> <br /> (1)<br /> 0,25<br /> <br /> Khi đó phương trình đã cho tương đương với pt:<br /> <br /> sin 2x <br /> x<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> <br /> <br />  k;<br /> 12<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> x<br /> <br /> 5<br />  k<br /> 12<br /> <br /> Trang | 3<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> Trong khoảng  ;   ta nhận các giá trị :<br /> <br /> x<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> <br /> 11<br /> 5<br /> 7<br /> ; x<br /> ; x<br /> ; x<br /> .<br /> 12<br /> 12<br /> 12<br /> 12<br /> <br /> Kết hợp với đk (1) ta nhận được hai giá trị thỏa mãn là:<br /> 0,25<br /> <br /> x<br /> <br /> <br /> ;<br /> 12<br /> <br /> x<br /> <br /> 7<br /> .<br /> 12<br /> <br /> II<br /> <br /> 3.0<br /> 1. (1.0 đ).<br /> TH1: Trong 3 số chẵn đó có mặt số 0.<br /> Số các số tìm được là 5.C 2 .C 3 .5!  36000 (số).<br /> 4<br /> 5<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> TH2: Trong 3 số chẵn đó không có mặt số 0.<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> 3<br /> Số các số tìm được là C3 .C 5 .6!  28800 (số).<br /> 4<br /> <br /> Đ/ số<br /> <br /> 36000  28800  64800 số.<br /> 0.25<br /> 5<br /> <br /> 2. (1.0 đ) Dễ thấy 1  x  1  x <br /> <br /> 2011<br /> <br />  1  x <br /> <br /> 2016<br /> <br /> ; và<br /> <br /> 5<br /> <br /> 0<br /> 2<br /> 3<br /> 4<br /> 5<br /> M  1  x   C5  C1 x1  C5 x 2  C5 x 3  C5 x 4  C5 x 5<br /> 5<br /> <br /> N  1  x <br /> <br /> 2011<br /> <br />  C0  C1 x1  ...  Ck x k  ...  C2011x 2011.<br /> 2011<br /> 2011<br /> 2011<br /> 2011<br /> <br /> 2016<br /> <br /> k<br /> 2016<br />  C0  C1 x  ...  C2016 x k  ...  C2016 x 2016 .<br /> 2016<br /> 2016<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> P  1  x <br /> <br /> Ta có hệ số của x k trong P là C k .<br /> 2016<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> 0.25<br /> 0.25<br /> <br /> Trang | 4<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> Vì P  M.N , mà số hạng chứa x k trong M.N là :<br /> 2<br /> 4<br /> C0.Ck xk C1xCk1 xk1 C5x2Ck2 xk2 C3x3Ck3 xk3 C5x4Ck4 xk4 C5x5Ck5 xk5<br /> 5 2011<br /> 5<br /> 2011<br /> 2011<br /> 5<br /> 2011<br /> 2011<br /> 5<br /> 2011<br /> <br /> nên<br /> 5<br /> k 5<br /> k<br /> C0 .C k  C1 .C k 1  ...  C5 .C 2011  C2016<br /> 5<br /> 2011<br /> 5<br /> 2011<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> 3. (1 điểm)<br /> Ta có:<br /> <br /> u1  11  10  1<br /> u 2  10.11  1  9  102  100  2<br /> u 3  10.102  1  9.2  1003  1000  3<br /> Dự đoán:<br /> <br /> un = 10n + n (1)<br /> <br /> 0.25<br /> 0.25<br /> <br /> Chứng minh:<br /> Ta có:<br /> <br /> u1 = 11 = 101 + 1 , công thức (1) đúng với n=1<br /> <br /> Giả sử công thức (1) đúng với n=k ta có : uk = 10k + k<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> Ta có: uk + 1 = 10(10k + k) + 1 - 9k = 10k+1 + (k + 1). Công thức(1) đúng với<br /> n=k+1<br /> 0.25<br /> <br /> Vậy un = 10n + n, n  N.<br /> III<br /> <br /> 2.0<br /> 1. (1 đ)<br /> Ta có: 1 <br /> <br /> 2<br /> k(k  3)<br /> <br /> (k  1)(k  2) (k  1)(k  2)<br /> 0.25<br /> <br /> Cho k=1,2,3,…,n ta được<br /> Sn <br /> <br /> 1.4.2.5.3.6<br /> n(n  3)<br /> ....<br /> 2.3.3.4.4.5 (n+2)(n  1)<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> Trang | 5<br /> <br />