Đ thi h c sinh gi i Toán l p 12 t nh Qu ng Bình năm h c 2013 – 2014ề ọ ỏ ớ ỉ ả ọ
Đ THI H C SINH GI I TOÁN L P 12Ề Ọ Ỏ Ớ
Th i gian làm bài 180 phútờ
Câu 1 (4.0 đi m)ể
Gi i ph ng trình ả ươ
Câu 2 (4.0 đi m)ể
Cho a là s th c d ng tùy ý. Xét dãy s đc xác đnh nh sau:ố ự ươ ố ượ ị ư
(t s có n d u căn); ử ố ấ
Tính gi i h n c a dãy s .ớ ạ ủ ố
Câu 3 (4.0 đi m)ể
Tìm các hàm s th a mãn:ố ỏ
.
Câu 4 (4.0 đi m)ể
Cho tam giác và là hai đi m di đng trên đng th ng sao cho . Đng th ng đi qua ể ộ ườ ẳ ườ ẳ
và vuông góc v i , đng th ng đi qua và vuông góc v i . G i là giao đi m c a và . ớ ườ ẳ ớ ọ ể ủ
Ch ng minh r ng trung đi m c a đo n luôn n m trên m t đng th ng c đnh.ứ ằ ể ủ ạ ằ ộ ườ ẳ ố ị
Câu 5 (4.0 đi m)ể
Ch ng minh r ng trong 39 s t nhiên liên ti p b t k luôn có ít nh t m t s có t ng ứ ằ ố ự ế ấ ỳ ấ ộ ố ổ
các ch s chia h t cho 11.ữ ố ế
Câu 6 (5,0 đi m).ể
Gi i h ph ng trình:ả ệ ươ
Câu 7 (5,0 đi m).ể
Cho các s th c d ng x, y, z th a mãn: . Tìm giá tr nh nh t c a:ố ự ươ ỏ ị ỏ ấ ủ
.
Câu 8 (5,0 đi m).ể
Cho hai đng tròn và c t nhau t i và sao cho . Đng th ng c t hai đng tròn t iườ ắ ạ ườ ẳ ắ ườ ạ
sao cho các đi m n m trên đng th ng theo th t đó. c t đng tròn t i đi m th ể ằ ườ ẳ ứ ự ắ ườ ạ ể ứ
hai và c t t i . c t đng tròn t i đi m th hai và t i .ắ ạ ắ ườ ạ ể ứ ạ
a) Ch ng minh r ng: .ứ ằ
b) Ch ng minh r ng: .ứ ằ
Câu 9 (5,0 đi m).ể
Cho các s nguyên d ng v i và . Cho n đi m phân bi t cùng n m trên m t đng ố ươ ớ ể ệ ằ ộ ườ
th ng. Tô n đi m đó b ng hai màu xanh, đ (m i đi m ch tô đúng m t màu). Tìm s ẳ ể ằ ỏ ỗ ể ỉ ộ ố
cách tô màu khác nhau, sao cho các đi u ki n sau đng th i đc th a mãn:ề ệ ồ ờ ượ ỏ
1) Có đúng k đi m đc tô b i màu xanh.ể ượ ở
2) Gi a hai đi m màu xanh liên ti p (tính t trái qua ph i) có ít nh t p đi m đc tô ữ ể ế ừ ả ấ ể ượ
màu đ.ỏ
3) bên ph i đi m tô màu xanh cu i cùng có ít nh t p đi m đc tô màu đ.Ở ả ể ố ấ ể ượ ỏ
(Hai cách tô màu đc g i là khác nhau n u có ít nh t m t đi m đc tô màu khác ượ ọ ế ấ ộ ể ượ
nhau trong hai cách đó).