S GIÁO DC VÀ ðÀO TO
QUNG NINH
– – – – – – – – –
ð THI CHÍNH THC
KỲ THI CHN HC SINH GII CP TNH
L!P 12 THPT NĂM HC 2012 – 2013
MÔN : TOÁN
( BNG A )
Ngày thi : 23/10/2012
Th5i gian làm bài : 180 phút
(Không k thi gian giao ñ)
(ð thi này có 01 trang)
H; và tên,ch@ ký
cCa giám thE sG 1
– – – – – – – – – – – – –
– – – – – – – – – – – – –
Bài 1 (6 ñim) :
1.Cho hàm s
2
1
x
y
x
+
=
−
có ñ th (C), g"i I là giao hai ti%m c&n . Vi(t phương trình
ti(p tuy(n v.i ñ th (C) bi(t ti(p tuy(n 0y c1t hai ñư2ng ti%m c&n c3a ñ th t4i hai
ñi5m A, B sao cho bán kính ñư2ng tròn n<i ti(p tam giác IAB l.n nh0t.
2. Tính gi.i h4n sau :
27
0
lim
x
x x
x
→
+ − −
Bài 2 (3 ñim) :
Tìm m ñ5 phương trình sau ñây có nghi%m :
2 2
2
2 ( 4) 2 8 2 14 0
4
x
x x m x x x m
x
+
− + − + + − − − =
−
Bài 3 (3 ñim) :
Cho tam giác ABC vuông B A, g"i I là tâm ñư2ng tròn n<i ti(p tam giác. ðCt IA = x ,
IB = y , IC = z . ChGng minh rHng :
2 2 2
1 1 1 2
x y z yz
= + +
Bài 4 (5 ñim) :
Trong mCt phIng (P) cho ñư2ng tròn ñư2ng kính BC c ñ nh. M là m<t ñi5m di ñ<ng
trên ñư2ng tròn 0y. Trên ñư2ng thIng d vuông góc v.i mCt phIng (P) t4i B l0y m<t ñi5m A c
ñ nh. G"i H, K lQn lưRt là hình chi(u c3a B trên AM và AC .
1. ChGng minh rHng khi M di ñ<ng mCt phIng (BHK) c ñ nh .
2. Xác ñ nh v trí c3a M ñ5 di%n tích tam giác BHK l.n nh0t
Bài 5 (3 ñim) :
Cho ba s thTc a,b,c thUa mãn
2 2
abc =
. Tìm giá tr nhU nh0t c3a bi5u thGc :

6 6 6 6 6 6
4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2
Pa b b c c a
a b a b b c b c c a c a
+ + +
= + +
+ + + + + +
–– – – – – – – – – – – –H(t– – – – – – – – – – – – –
H" và tên thí sinh : – – – – – – – – – – – – –– – – – – – – – –S báo danh: – – – –
S GIÁO DC VÀ ðÀO TO QUNG NINH
HƯ!NG DKN CHM THI HC SINH GII L!P 12 NĂM HC 2012 – 2013
Môn Toán – BNng A (ñP thi chính thRc)
Bài Sơ lưUc l5i giNi ðiVm
Bài 1
6ñim
1.
Giao hai ti%m c&n I( 1;1)
Gi[ s\ ti(p tuy(n cQn l&p ti(p xúc v.i ñ th t4i ñi5m có hoành ñ< x
0
=>phương trình ti(p tuy(n có d4ng:
0
0
2
0 0
3 2
( )
( 1) 1
x
y x x
x x
− +
= − +
− −
0,5
Ti(p tuy(n c1t ti%m c&n ñGng t4i A(
0
0
5
1;
1
x
x
+
−
)
Ti(p tuy(n c1t ti%m c&n ngang t4i B(
0
2 1;1
x
−
)
0,5
Ta có 0
0 0
56
1 ;
1 1
x
IA x x
+
= − =
− −
0 0
2 1 1) 2 1
IB x x
= − − = −
Nên
0
0
6
. .2 1 12
1
IA IB x
x
= − =
−
0,5
Do v&y di%n tích tam giác IAB :
1
. 6
2
S IA IB
= =
G"i p là n\a chu vi IAB => bán kính ñư2ng tròn n<i ti(p IAB :
6
S
r
p p
= =
=> r l.n nh0t <= > p nhU nh0t. MCt khác IAB vuông t4i I nên
0,5
2 2
2 2 . 2 . 4 3 2 6
p IA IB AB IA IB IA IB IA IB IA IB= + + = + + + ≥ + = +
D0u “ = ” x[y ra <=>
2
0
( 1) 3 1 3
IA IB x x= ⇔ − = ⇔ = ±
0,5
V.i
1 3
x= −
ta có ti(p tuy(n d
1
:
2( 3 1)
y x
= − − −
V.i
1 3
x= +
ta có ti(p tuy(n d
2
:
2( 3 1)
y x
= + −
0,5
2. L =
2 2 2
7
0
( 2012) 1 2 ( 2012)
lim
x
x x x x
x
→
+ − − + +
1
=
7
2
0
1 2 1
lim ( 2012)
x
x
x x
x
→
− −
+ +
Ta có L
1
=
2
0
lim( 2012) 2012
x
x
→
+ =
; L
3
=
0
lim 0
x
x
→
=
1
Tính L
2
=
7
0
1 2 1
lim
x
x
x
→
− −
ðCt
7
7
1
1 2
2
t
x t x
−
− = => =
Và khi x → 0 thì t → 1
=> L
2
=
7 2 3 4 5 6
1 1
2( 1) 2 2
lim lim
1 1 7
t t
t
t t t t t t t
→ →
− −
= = −
− + + + + + +
V&y L =
2 4024
2012. 0
7 7
− + = −
1
Bài 2
3ñim
ðiu ki%n:
2
20
4
4 2 4
8 2 0
x
x
x x
x x
+
≥
−
≠ ⇔ − ≤ <
+ − ≥
0,5
V.i ñ/k ñó phương trình ñã cho tương ñương v.i
⇔
2 2 2
( 2 8) 8 2 2 8 2 6 0
x x m x x x x m
− − + + − + − + + − − − =
. (1) 0,5
ðCt t =
2
8 2
x x
+ −
; Khi x ∈ [ – 2; 4) thì t ∈ [ 0; 3] . (2)
Phương trình trB thành : – t
2
– mt + 2t – 6 – m = 0 0,5
⇔
2
2 6
1
t t
m
t
− + −
=
+
.
Xét hàm s
[ ]
2
2 6
( ) ; 0;3
1
t t
f t t
t
− + −
= ∈
+
; f’(t) =
2
2
2 8
( 1)
t t
t
− − +
+
0,5
f’(t) = 0 ⇔
4
2
t
t
= −
=
B[ng bi(n thiên c3a hàm s f(t) trên ño4n [ 0 ; 3 ].
t
–
∞
–
4
–
1 0 2 3 +∞
f’(t)
–
0 + + + 0
–
f(t)
l 2
–
6
9
4
−

0,5
Phương trình ñã cho có nghi%m x
∈
[
–2; 4)
⇔
Phương trình (2) có nghi%m t
∈
[
0; 3
]
⇔ ðư2ng thIng y = m c1t ñ th hàm s f(t) , t ∈ [ 0; 3 ] ⇔ – 6 ≤ m ≤ – 2
V&y v.i – 6 ≤ m ≤ – 2 thi phương trình có nghi%m
0,5
Bài 3
3ñim
Ta có:
sin 45 sin
2
r r
x
B C
= =
+
;
;
sin
2
r
y
B
=
sin
2
r
z
C
=
r
rr
B
C
A
I
1
Suy ra:
sin sin sin
2 2 2 2 2 ( )
sin sin sin sin
2 2 2 2 2 2
B C B C C B
cos cos
yz r r
r r a
B C B C B C
xtg tg
+
+
= = = + =
=>
2 2
2
2
y z
a
x
=
(1)
1
Ngoài ra ñ nh lý hàm cos trong tam giác BIC cho :
2 2 2
2 cos
a y z yz BIC
= + −
<=>
2 2 2
2 (180 )
2
B C
a y z yzcos
+
= + − −
<=>
2 2 2
2 135
a y z yzcos= + −
<=>
2 2 2
2
2 .
2
a y z yz
= + +
(2)
Tp (1) và (2) ta có :
2 2 2 2
2
2
y z
y z yz
x
= + +
<=>
2 2 2
1 1 1 2
x y z yz
= + +
1
Bài 4
5ñim
a)
CM BM
CM ABM BH
CM AB
⊥
=> ⊥ ⊃
⊥
=>
BH CM
BH ACM AC
BH AM
⊥
=> ⊥ ⊃
⊥
=>
AC BH
AC BHK
AC BK
⊥
=> ⊥
⊥
1
MCt phIng (BHK) ñi qua B c ñ nh và
vuông góc v.i AC c ñ nh nên
mp(BHK) c ñ nh
0,5
BHK vuông t4i H => S
BHK
= (1/2) BH.HK
2 2 2
4 4
BH HK BK
(const)
+
≤ =
v&y BHK có di%n tích l.n nh0t BH = HK BHK vuông cân.
Khi ñó
2
BK
BH =
1
Mà
2 2 2
1 1 1
BH AB BM
= +
2 2 2
1 1 1
BK AB BC
= +
=>
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2
BK BH AB BC AB BM
= <=> + = +
1
<=>
2 2
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 2
2 2 4 4
h R
BM BC AB R h h R
+
= + = + =
=>
2 2
2
2 2
2 2
4 2
2
2
h R hR
BM BM
h R
h R
= <=> =
+
+
(v.i R là bán kính ñư2ng tròn (C), AB = h )
1
Mà B c ñ nh => M thu<c ñư2ng tròn tâm B bán kính
2 2
2
2
hR
h R
+
=> có hai v trí c3a M làm cho di%n tích BHK ñ4t GTLN ñó là giao c3a
ñư2ng tròn (C) và ñư2ng tròn (B;BM)
0,5
Bài 5
3ñim
2 2 4 4 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 4 4 2 2
4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2
( )( ) ( )( ) ( )( )
P
a b a b a b b c b c b c c a c a c a
a b a b b c b c c a c a
+ + − + + − + + −
= + +
+ + + + + +
Nh&n xÐt: Do
2 2
abc =
nªn a
2
, b
2
, c
2
là c¸c sè thùc d−¬ng
0,5
XÐt : A =
2 2
2 2
x y xy
x y xy
+ −
+ +
v.i x,y > 0
Chia tö và mÉu cho y
2
và ®Æt t =
x
y
ta ®−îc A =
2
2
1
1
t t
t t
− +
+ +
víi t > 0
0,5
XÐt hàm sè f(t) =
2
2
1
1
t t
t t
− +
+ +
trªn (0;+∞)
Ta cã : f
’
(t) =
2
2 2
2( 1)
0 1
( 1)
t
t
t t
−
= ⇔ =
+ +
B¶ng biÕn thiªn:
t
0 1 +
f
’
(t)
– 0 +
f(t)
1

1


1
3

0,5
DTa vào b[ng bi(n thiên ta có
1
( )
3
f t
≥
v.i m"i t > 0
Tp ñó A =
2 2
2 2
1
3
x y xy
x y xy
+ −
≥
+ +
v.i x,y > 0; d0u bHng x[y ra khi t = 1 nên x = y.
Áp dtng v.i x = a
2
, y = b
2
ta có
4 4 2 2
4 4 2 2
1
3
a b a b
a b a b
+ −
≥
+ +
Tương tT
4 4 2 2
4 4 2 2
1
3
b c b c
b c b c
+ −
≥
+ +
,
4 4 2 2
4 4 2 2
1
3
c a c a
c a c a
+ −
≥
+ +
0,5
=>
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 2
P ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 3
a b b c c a a b c
≥ + + + + + = + +
0,5
Áp dtng BðT Côsi ta có
32 2 2 2 2 2
3 6
a b c a b c
+ + ≥ =
v.i
2 2
abc =
=> P ≥ 4 d0u ñIng thGc x[y ra chIng h4n khi a = b = c =
2
V&y
P
min
= 4 khi chIng h4n a = b = c
=
2
0,5
Chú ý:
1. Hưng dn chm này ch trình bày sơ lư%c bài gi&i .Bài làm c'a h)c sinh ph&i chi
ti+t,l-p lu-n ch/t ch0,tính toán chính xác mi ñư%c ñim t5i ña.
2. Các cách gi&i khác n+u ñúng vn cho ñim. T; chm trao ñ;i và thông nht chi ti+t
nhưng không ñư%c quá s5 ñim dành cho câu, ph?n ñó.
3. Có th chia ñim thành tAng ph?n nhưng không dưi 0,25 ñim và ph&i th5ng nht trong
c& t; chm.
4. ðim toàn bài là t;ng s5 ñim các ph?n ñã chm. Không làm tròn ñim
5. M)i vn ñI phát sinh trong quá trình chm ph&i ñư%c trao ñ;i trng t; chm và ch cho
ñim theo sK th5ng nht c'a c& t;.