së gi¸o dôc v ®o t¹o
qu¶ng ninh



:  
( !" B )
H và tên, ch ký
ca giám th s 1
Ngy thi : 23/10/2012 ..
Thêi gian lm bi : 180 phót
(kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)

(§Ò thi ny cã 01 trang)
Bi 1 (4 ®iÓm):
Tính gii hn sau :
3
2
0
1 2 1 3
lim
x
x x
→
+ − +
Bi 2 (3 ®iÓm):
Cho tam gi¸c ABC cã
C
= α,
B
= β víi α < β, trung tuy'n AM. Gäi ϕ l
gãc nhän t¹o bëi AM víi c¹nh BC, ch*ng minh r+ng:2cotϕ = cotα + cotβ.
Bi 3 (4 ®iÓm):
Gi-i b/t phương trình:
2
6 2 18
x x x
+ + + <
Bi 4 (6 ®iÓm):
Cho tam giác ñ8u ABC cnh a, ñư9ng th:ng (d) qua A vuông góc vi mAt
ph:ng (ABC). Trên (d) l/y ñiCm M. Gi I là trEc tâm ca tam giác MBC, H là trEc
tâm ca tam giác ABC, giao ñiCm ca ñư9ng th:ng HI vi (d) là N.
1.Ch*ng minh r+ng t* diHn MNBC có các cAp cnh ñi vuông góc vi nhau
2.Ch*ng minh r+ng khi M di chuyCn trên (d) thì tích AM.AN không ñIi.
Bi 5 (3 ®iÓm):
Tìm giá tr nhJ nh/t ca biCu th*c P =
4 4 2 2
4 4 2 2
a b a b a b
b a b a b a
+ − + + +
vi a, b là các s thEc thJa mãna ≠ 0, b ≠ 0.
+++++++++++++++++++++++++ HÕt ++++++++++++++++++++++++++
Hä v tªn thÝ sinh: ................................................................. Sè b¸o danh: ........................
MA TRN ð
THI CHPN HSG LSP 12 NĂM HPC 2012U2013
MÔN TOÁN BYNG B. ð[ THI CHÍNH THƯC
(ð8 tE lu^n)
Mc ñ nhn thc
Ch ñ kin thc
Nhn bit
Thông hiu
Vn dng
T ng
Mc ñ
th!p
Mc ñ
cao
Gii hn ca hàm s
(lp 11)
1
4
1
4,0
HH th*c lư_ng giác trong
hình hc ph:ng (lp 11)
1
3
1
3,0
Gi-i phương trình, b/t
phương trình, hH có s` dang
tính ch/t ca hàm s
(lp 10, 12)
1
4
1
4,0
Hình hc không gian
(lp 11)
1
4
1
2
2
6,0
Tìm giá tr ln nh/t, nhJ
nh/t ca biCu th*c có dùng
tính ch/t ca hàm s
(lp 10, lp 12)
1
3
1
3,0
0
0,0
2
8,0
2
7,0
2
5,0
6
20,0
S0 GIÁO D6C VÀ ðÀO T8O QU;NG NINH
HƯSNG DdN CHeM THI CHPN HSG LSP 12 NĂM HPC 2012U2013
MÔN TOÁN BYNG B. ð[ CHÍNH THƯC
(Hưng dn chm này có 03 trang)
Bi S¬ l−îc lêi gi¶i Cho
®iÓm
Bài 1
4 ñim Có :
3
2
0
1 2 1 3
lim
x
x x
x
→
+ − +
=
(
)
3
2
0
1 2 ( 1) 1 1 3
lim
x
x x x x
x
→
+ − + + + − +
1,5
=
2 2
2
02 2 2
33
( 3)
lim 1 2 ( 1) ( 1) ( 1) 1 3 (1 3 )
x
x x x
x x x x x x x x
→
− +
+
+ + + + + + + + +
1
=
02 2
33
1 3
lim 1 2 ( 1) ( 1) ( 1) 1 3 (1 3 )
x
x
x x x x x x
→
− +
+
+ + + + + + + + +
=
1 1
1
2 2
−
+ =
1,5
Bài 2
3 ñim * Trư9ng h_p góc
β
nhn:
KÎ AH ⊥ BC, do α < β nên BH<BM;
cã cotϕ = HM/AH, cotα = CH/AH, cotβ = BH/AH
1,0
Do: HM = BM+BH ; HM = CH+CM; BM=CM
nên cing v'Uv' 2 ñ:ng th*c ta ñư_c: 2HM = CH+BH
0,5
0,5
=> 2HM/AH = CH/AH + BH/AH ,
hay 2 cotϕ = cotα + cotβ. Ta có ñpcm !
* Trư9ng h_p góc β tù: Ch*ng minh tương tE
0,5
0,5
Bài 3
4 ñim TXð: x
∈
(U2; +∞) 0,25
N'u x ∈[U2; 0] thì: BPT ñã cho có VT ≤ 4 + 0 + 6
2
< 18 = VP
Suy ra ∀x ∈[U2; 0] ñ8u là nghiHm ca BPT ñã cho.
0,5
0,5
N'u x > 0, xét hàm s y = f(x) =
2
6 2
x x x
+ + +
vix∈ (0; +∞)
Có f’(x) = 2x + 1 + 3/
2
x
+
> 0 ∀x∈ (0; +∞) => f(x) ñyng bi'n trên (0; +
∞)
0,75
Mà f(2) = 18 nên vi x
∈
(0; +∞) ta có: BPT ñã cho <=> f(x) < f(2) <=> x<2
K't h_p vi x∈ (0; +∞) ñư_c 0 < x < 2.
1,0
0,5
K't lu^n: BPT ñã cho có nghiHm là U2 ≤ x < 2 0,5
Bài Sơ lưCc lDi giEi Cho
ñim
Bài 4
6 ñim
4.1 (4 ñim)
Gi E là trung ñiCm BC, t| gi- thi't suy ra H∈AE, I∈ME => IH c}t (d) ti N
0,5
Theo gi- thi't (d)
⊥
mp(ABC) => (d)
⊥
BC hay MN
⊥
BC 1,0
Ch*ng minh ñư_c BH
⊥
mp(MAC) ryi suy ra BH
⊥
MC
Mà BI⊥MC nên MC⊥ mp(BHI), t| ñó suy ra MC⊥BN
1,0
1,0
Ch*ng minh tương tE, ñư_c MB
⊥
CN
V^y t* diHn MNBC có các cAp cnh ñi vuông góc vi nhau (ñpcm !)
0,5
4.2 (2 ñim)
Ch*ng minh ñư_c: BC⊥mp(MAE) => BC⊥IH và MC⊥mp(BKF) => MC⊥IH
suy ra IH⊥MB
Trong tam giác MNE, có:
ANH AEM
=
(góc có cnh tương *ng vuông góc)
suy ra ANH ∼ AEM
1,0
0,5
do ñó:
AN AH
AE AM
=
=> AM.AN = AE.AH =
2
3 2 3
. .
2 3 2 2
a a a
=
V^y tích AM.AN không ñIi (ñpcm !)
0,5
Bài Sơ lưCc lDi giEi Cho
ñim
Bài 5
3 ñim ðAt:
a b
t
b a
= +
=>
2
t
≥
;
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
a b a b
t t
b a b a
= + + ⇒ + = −
=>
4 4 4 2
4 4
4 2
a b t t
b a
+ = − +
.
0,5
Khi ñó: P =
4 4 2 2
4 4 2 2
a b a b a b
b a b a b a
+ − + + +
=
4 2 2 4 2
4 2 ( 2) 5 4
t t t t t t t
− + − − + = − + +
Xét hàm:
( )
f t
=
4 2
5 4
t t t
− + +
vi
2
t
≥
, có:
3
'( ) 4 10 1
f t t t
= − +
;
2
"( ) 12 10
f t t
= −
0,75
Vi
2
t
≥
thì f”(t) > 0 => hàm f’(t) ñyng bi'n trên (U∞ ; U2] và [2; +∞).
Nên : t > 2 => f’(t) > f’(2) = 13 > 0; t < –2 => f’(t) < f’(–2) = %11 < 0
0,75
Ta có b-ng bi'n thiên :
t –
∞
–
2
2 +
∞
f’(t) – +
f(t)
+
∞
–2
+
∞
2
Mà f(U2) = U 2 < 2 = f(2), suy ra : min f(t) = –2 ; ñt khi t = –2 <=> a = – b ≠ 0
V^y giá tr nhJ nh/t ca P là U2, ñt ñư_c khi a = U b ≠ 0
1
C¸c chó ý khi chÊm:
1. Hưng d„n ch/m này ch… trình bày sơ lư_c bài gi-i. Bài làm ca hc sinh
ph-i chi ti't, l^p lu^n chAt ch†, tính toán chính xác mi ñư_c ñiCm ti ña.
2. Các cách gi-i khác n'u ñúng v„n cho ñiCm. TI ch/m trao ñIi và thông nh/t
chi ti't nhưng không ñư_c quá s ñiCm dành cho câu, phˆn ñó.
3. Có thC chia ñiCm thành t|ng phˆn nhưng không dưi 0,25 ñiCm và ph-i
thng nh/t trong c- tI ch/m.
4. ðiCm toàn bài là tIng s ñiCm các phˆn ñã ch/m. Không làm tròn ñiCm
5. Mi v/n ñ8 phát sinh trong quá trình ch/m ph-i ñư_c trao ñIi trong tI
ch/m và ch… cho ñiCm theo sE thng nh/t ca c- tI.
S0 GIÁO D6C VÀ ðÀO T8O QU;NG NINH