KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
LỚP 12 THPT NĂM 2008 – Môn TOÁN
Câu 1:Hãy xác định số nghiệm của hệ phương trình (ẩn )
sau:
Câu 2:Cho tam giác ABC có góc là góc nhọn,trong đó E là
trung điểm của AB.Trên tia EC lấy điểm M sao cho
.Kí hiệu là số đo của góc ,hãy tính tỉ số theo
Câu 3:Đặt .Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên n mà
và chia hết cho m?
Câu 4:Cho dãy số thực được xác định như sau:
và với mọi
Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn khi .Hãy tìm
giới hạn đó
Câu 5:Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 9 mà mỗi
số gồm tối đa 2008 chữ số và trong đó có ít nhất 2 chữ số 9?
Câu 6:Cho x,y,z là các số thực không âm ,đôi một khác
nhau.Chứng minh rằng
Hỏi dấu bằng xảy ra khi nào?
Câu 7:Cho tam giác ABC,trung tuyến AD.Cho đường thẳng d
vuông góc với đường thẳng AD.Xét điểm M nằm trên d.Gọi E,F
lần lượt là trung điểm của MB,MC.Đường thẳng đi qua E và
vuông góc với d cắt đường thẳng AB ở P,đường thẳng đi qua F
và vuông góc với d cắt đường thẳng AC ở Q.CMR đường thẳng
đi qua M vuông góc với đường thẳng PQ luôn đi qua 1 điểm cố
định ,khi điểm M di động trên đường thẳng d.
Lời giải của một số học sinh 11 chuyên toán trường Quốc Học Huế.
Bạn có thể trao đổi qua forum ở trang web:
http://toan.edu.ms/forum/viewtopic.php?f=78&t=172
Theo phân công lao động thì mình sẽ post giải bài 4,5,6 trình
(pi3.14) giải bài 1,2 và bạn Nhật sẽ giải bài 3,7. Phần việc của
mình
Bài 4
Bằng qui nạp ta có Với mọi n.
Xét với
Ta có
Mà do đó tăng , tương tự ta có giảm
Xét dãy bằng qui nạp ta có bị chặn trên bới 2,
theo trên nó là dãy tăng nên có giới hạn.
Đặt
Khi đó từ đó có
Tương tự dãy giảm, bị chặn dưới bởi 0 nên có giới hạn. Ta
cũng có giới hạn là 1.
Vậy
Bài 5
Gọi các số phải tìm có dạng
Do số này chia hết cho 9 nên tổng các chữ số chia hết cho 9.
Bước 1 Tìm tất cả các số chia hết cho 9
Có 10 cách chọn các chữ số , 10 cách chọn chữ số , ... , 10
cách chọn chữ số ứng với các
cách chọn này có 9 cách chọn chữ số để thoả mãn bài toán.
Vậy có số chia hết cho 9
Bước 2 Tìm số các số chia hết cho 9 không có chữ số 9 trong nó
Có 8 cách chọn các chữ số có 9 cách chọn do đó có
tất cả số
Bước 3 Tìm số các số chia hết cho 9 mà trong nó chỉ có duy
nhất một chữ số 9
Có số có n-1 chữ số thoả bài toán, ta đưa chữ số 9 vào số
trên thì được 1 số thoả bài toán. Có (n-1) vị trí có thể đưa chữ số
9 vào
Như vậy có số
Cuối cùng số các số phải tìm là
Tính tổng ni thì dễ dùng cấp số nhân với đạo hàm là ok
Ăn cơm cái đã, tí nữa post tiếp
Bài 6
Giả sử
Ta có
Và
Từ đây ta suy ra: