Đề thi học sinh giỏi Toán 12 tỉnh An Giang năm 2012-2013 vòng 1

ebooktoan.com SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

AN GIANG Năm học 2012 – 2013

Môn : TOÁN (vòng 1)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Lớp : 12

Thời gian làm bài : 180 phút (Không kể thời gian phát đề) SBD : ………… PHÒNG :…… …………

Bài 1: (3,0điểm).

Cho hàm số ( m là tham số)

Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu lần lượt là và đồng thời tam giác cân tại với .

Bài 2: (3,0 điểm)

Giải phương trình :

Bài 3: (3,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Bài 4: (4,0 điểm)

Tìm số các nghiệm nguyên dương của phương trình:

Trong số các nghiệm này có bao nhiêu nghiệm trong đó đôi một khác nhau.

Bài 5 : (3,0 điểm)

Tìm tọa độ các đỉnh của một hình thang cân ABCD biết rằng CD=2AB, phương trình hai đường chéo , các tọa độ hai điểm A, B đều dương và hình thang có diện tích bằng 36.

Bài 6: (4,0 điểm)

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên bằng a, góc hợp bởi đường cao SH của hình chóp và mặt bên bằng , cho a cố định, thay đổi. Tìm để thể tích khối chóp S.ABCD là lớn nhất.

(Cho biết: )

-----Hết-----

ebooktoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI LỚP 12

AN GIANG Năm học 2012 – 2013

MÔN TOÁN VÒNG 1

ĐỀ CHÍNH THỨC

A.ĐÁP ÁN

 Đ   Để hàm số có hai điểm cực trị thì và ta có bảng biến thiên sau Bài 1

3,0 điểm 0 0

 Ta có hai điểm cực đại và cực tiểu là

ạ

 Tam giác ABC cân tại C(-4;-2) ta được

 Vậy thỏa đề

Giải phương trình

3,0 điểm  Nhận xét: Nếu viết phương trình trên lại là

Bài 2

thì phương trình có nghiệm khi do vế phải dương phương trình trở thành  Đặt

ebooktoan.com

phương trình trở  Lại đặt

thành

ạ

 Với vậy là nghiệm của

phương trình

Vậy phương trình có hai nghiệm Cách khác: + Nhận xét không là nghiệm của phương trình + Nếu phương trình trên viết lại là :

So với điều kiện phương trình có hai nghiệm

3,0 điểm  TXĐ:  Đặt

Bài 3

Vậy

 Xét hàm số

ebooktoan.com

Vậy

4,0 điểm  Mỗi bộ ba số nguyên dương thỏa mãn tương ứng với bộ

ố ố ố

trong đó có đúng 2012 số1 và 2 số 0. Như vậy số bộ ba số cần tìm chính là số các cách sắp xếp hai chữ số 0 và 2012 chữ số 1 vào 2013 vị trí sao cho hai số 0 không đứng cạnh nhau và không được đứng đầu và đứng cuối.  Để sắp xếp các số như trên ta thực hiện * Sắp xếp 2012 chữ số 1 có 1 cách sắp xếp * Sắp xếp số 0 đầu tiên vào giữa 2012 số1 có 2011 cách sắp xếp (trừ đi vị trí đầu và cuối). * Sắp xếp số 0 thứ hai vào giữa 2013 số trên có 2010 cách sắp xếp ( không sắp đầu và cuối và không sắp bên trái, bên phải số 0 vừa sắp)

Bài 4 * Vì hai số 0 có thể đổi chổ cho nhau nên có các bộ số cần tìm.

Ta có nhận xét 2012 không chia hết cho 3 nên phương trình không có ba nghiệm bằng nhau.  Ta đếm các nghiệm trong đó . Để có nghiệm loại này ta thấy mỗi cặp có duy nhất một số nguyên với để chọn nghiệm loại này ta thực hiện * Chọn một số nguyên thuộc vào hai vị trí có 1005 cách chọn. * Số còn lại là có đúng một cách chọn. Vậy có 1005 bộ ba số trong đó . * Vì vai trò đỗi chổ cho nhau nên có 3.1005 các nghiệm có hai số giống nhau Vậy có các bộ nghiệm trong

đó đôi một khác nhau.

3,0 điểm

ebooktoan.com * Gọi M là giao điểm hai đường chéo hình thang, tọa độ M là nghiệm của hệ

* Ta có nhận xét hai đường thẳng vuông góc nhau. CD=2AB suy ra hình thang cân có hai đáy là AB; CD * Vậy diện tích hình thang cân ABCD là:

Vậy * Ta lại có Bài 5

Vậy tọa độ điểm A là (loại) Với do * Ta lại có

4,0 điểm

Vậy tọa độ B là (loại) Với do Vậy tọa độ các đỉnh của hình thang là . * Do hình chóp đều nên H là giao điểm của AC và BD Gọi M là trung điểm của CD dể thấy CD (SHM) nên (SHM) (SCD) hay SM là hình chiếu của SH lên mặt phẳng (SCD) vậy ớ * Đặt

Bài 6 * Tam giác SHM vuông tại H ta được

* Đặt ớ