PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN TRỰC NINH
(Đề thi gồm 01 trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2017 - 2018
MÔN TOÁN LỚP 8
Thi ngày 04 tháng 4 năm 2018
(Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)
-------------------------------
Bài 1 (4,0 điểm)
1) Phân tích đa thức thành nhân tử :
a)
32
14 24x x x
b)
42
2018 2017 2018x x x
2) Cho x + y =1 và
0xy
. Chứng minh rằng :
3 3 2 2
20
1 1 3
xy
xy
y x x y
Bài 2 (3,0 điểm)
a) Tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn :
22 3 2 0y xy x
b) Tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn
2
2
2
1
24
4
y
xx
sao cho tích x.y đạt giá trị lớn
nhất.
Bài 3 (3,0 điểm)
a) Tìm đa thức f(x) , biết f(x) chia cho x+2 dư 10, chia cho x-2 dư 24, chia cho
được
thương là -5x và còn dư
b) Cho p và 2p+1 là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng 4p+1 là hợp số.
Bài 4 (8,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có AD là tia phân giác của góc
BAC. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của D trên AB và AC, E là giao điểm của BN và DM,
F là giao điểm của CM và DN.
1) Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông và EF // BC.
2) Gọi H là giao điểm của BN và CM. Chứng minh ANB đồng dạng với NFA và H là
trực tâm AEF.
3) Gọi giao điểm của AH và DM là K, giao điểm của AH và BC là O, giao điểm của BK và
AD là I. Chứng minh
9
KM
DM
KO
AO
KI
BI
Bài 5 (2,0 điểm).
a) Cho x > 0, y > 0 và m, n là hai số thực. Chứng minh rằng:
yx
n)(m
y
n
x
m222
b) Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn a.b.c = 1.
Chứng minh rằng:
2
3
b)(ac
1
a)(cb
1
c)(ba
1
333
-------------------HẾT--------------------
Họ và tên thí sinh:……………..……............…… Họ, tên chữ ký GT1:……………………..
Số báo danh:……………….……..............……… Họ, tên chữ ký GT2:……………………..
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2017 -2018 * MÔN TOÁN LỚP 8
Bài
Đáp án
Điểm
Bài 1
(4đ)
1) (2đ)
a)
32
14 24x x x
3 2 2
2 2 12 24x x x x x
0,25
22 2 12 2x x x x x
0,25
2
2 12x x x
0,25
2 3 4x x x
0,25
b)
42
2018 2017 2018x x x
4 2 2
2017 2017 2017 1x x x x
0,25
4 2 2
1 2017 1x x x x
0,25
2 2 2
1 1 2017 1x x x x x x
0,25
22
1 2018x x x x
0,25
2) (2đ)Cho x + y =1 và
0xy
. CMR :
3 3 2 2
20
1 1 3
xy
xy
y x x y
Với x + y =1 và
0xy
ta có :
44
33 33
11 11
x y x x y y
yx yx

 
0,25
44
22
11
x y x y
xy x x y y
0,25
22
2 2 2 2
1
2
x y x y x y
xy x y xy x y x y xy


0,25
22
2
22 2
x y x x y y
xy x y x y
0,25
22
11
3
x y x x y y
xy x y

0,25
2 2 2 2
. . 2
33
x y x y y x x y xy
xy x y xy x y


0,25
22
2
3
xy
xy

0,25
KL :
0,25
Bài 2
(3đ)
a) (1,5đ)Tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn :
22 3 2 0y xy x
2 2 2 2
2 3 2 0 2 3 2y xy x x xy y x x
0,25
212x y x x
*
0,25
VT
*
là số chính phương , VP
*
là tích 2 số nguyên liên tiếp nên phải có
0,5
1 số bằng 0
1 0 1
2 0 2
xx
xx




Với x = -1 suy ra y = 1
Với x = -2 suy ra y = 2
0,25
KL :
0,25
b) (1,5đ)Tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn :
2
2
2
1
24
4
y
xx
sao cho
tích x.y đạt giá trị lớn nhất
Đk : x
0
22
2 2 2
22
11
2 4 2 2
44
yy
x x x xy xy
xx






0,25
22
12
2
y
x x xy
x
0,25
Vì
22
10; 0
2
y
xx
x
với mọi x
0, mọiy
0,25
Do đó
2xy
mà
,x y Z
0,25
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :
1, 2
2, y 1
1, 2
2, 1
xy
x
xy
xy


KL
0,5
Bài 3
(3đ)
a) (1,5đ)Tìm đa thức f(x) , biết f(x) chia cho x+2 dư 10, chia x-2 dư 24,
chia
24x
được thương là -5x và còn dư
Giả sử f(x) chia cho
24x
được thương là
5x
và dư ax+b
Khi đó f(x) =
245x x xa b
0,5
Theo đề ra ta có :
7
2 24 2 24 2
2 10
2 10 17
fab a
ab
fb




0,5
Do đó
27
(x) 4 5 17
2
f x x x
0,25
Vậy
(x)f
247
5 17
2
xx
.
0,25
b) (1,5đ)Cho p và 2p+1 là số nguyên tố lớn hơn 3. CMR 4p+1 là hợp số.
Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên có dạng
31pk
,
31pk
với k>1
0,25
+ Nếu p = 3k+1 thì 2p+1=6k+3=3(2k+1)
Suy ra 2p+1 là hợp số (vô lí )
0,5
+ Nếu p = 3k-1 , k>1 thì 4p+1=12k-3=3(4k-1)
Do k > 1 nên 4k-1 > 3 . Do đó 4p+1 là hợp số
0,5
KL
0,25
Bài4 (8
đ)
Câu 1)
2,25 đ
* Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông
+ Chứng minh AMD = 900; AND = 900; MAN = 900
Suy ra tứ giác AMDN là hình chữ nhật
0,25
+ Hình chữ nhật AMDN có AD là phân giác của MAN nên tứ giác AMDN là
hình vuông
0,25
* Chứng minh EF // BC
Cách 1:
+ Chứng minh
DC
DB
FC
FM
(1)
0,25
+ Chứng minh
MA
MB
DC
DB
(2)
0,25
+ Chứng minh AM = DN
0,25
+ Suy ra
DN
MB
MA
MB
(3)
0,25
+ Chứng minh
ED
EM
DN
MB
(4)
0,25
+ Từ (1), (2), (3), (4) suy ra
FC
FM
ED
EM
0,25
+ Suy ra EF // BC
0,25
Cách 2:
+ Chứng minh
NC
NA
FC
FM
(1)
0,25
+ Chứng minh
BN
BE
NA
EM
(2)
0,25
+ Chứng minh
BN
BE
NC
ED
(3)
0,25
+ Từ (2) và (3) suy ra
NC
ED
NA
EM
0,25
+ Suy ra
NC
NA
ED
EM
(4)
0,25
+ Từ (1) và (4) suy ra
FC
FM
ED
EM
0,25
+ Suy ra EF // BC
0,25
Câu 2)
2,75 đ
* Chứng minh ANB ~ NFA
+ Chứng minh AN = DN. Suy ra
AB
DN
AB
AN
(5)
0,25
+ Chứng minh
CA
CN
AB
DN
(6)
0,25
+ Chứng minh
AM
FN
CA
CN
(7)
0,25
+ Chứng minh AM = AN . Suy ra
AN
FN
AM
FN
(8)
0,25
+ Từ (5), (6), (7) và (8) suy ra
AN
FN
AB
AN
0,25
+ Chứng minh ANB ~ NFA (c.g.c)
0,5
* Chứng minh H là trực tâm tam giác AEF
Vì ANB ~ NFA nên NBA = FAN
0,25
mà BAF + FAN = 900 . Suy ra NBA + BAF = 900
0,25
Suy ra EH AF. Tương tự FH AE
0,25
Suy ra H là trực tâm AEF
0,25
Câu 3)
2,5 đ
Chứng minh
9
KM
DM
KO
AO
KI
BI
Vì H là trực tâm AEF nên AH EF mà EF // BC nên AO BC
0,25
Lại có DM AB nên K là trực tâm ABD. Suy ra BI AD tại I
0,25
Ta có
AB
2
1
KM.
AB
2
1
DM.
BD
2
1
KO.
BD
2
1
AO.
AD
2
1
KI.
AD
2
1
BI.
KM
DM
KO
AO
KI
BI
0,25
=
AKB
ABD
BDK
ABD
AKD
ABD
S
S
S
S
S
S
0,25
Đặt SAKD = a; SBKD = b; SAKB = c. Khi đó
AKB
ABD
BDK
ABD
AKD
ABD
S
S
S
S
S
S
=
c
cba
b
cba
a
cba
0,25
=
)
b
c
c
b
()
a
c
c
a
()
b
a
a
b
(3
0,25
Chứng minh:
2
b
a
a
b
Tương tự :
2
a
c
c
a
2
b
c
c
b
0,25
Suy ra :
9
KM
DM
KO
AO
KI
BI
0,25
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ABD là tam giác đều.
Suy ra trái với giả thiết
0,25