PHÒNG GD&ĐT L C NAMỤK THI CH N H C SINH GI I C P HUY NỲ Ọ Ọ Ỏ Ấ Ệ
NĂM H C 2015 - 2016Ọ
MÔN THI: TOÁN 9
Ngày thi: 28/10/2015
Th i gian làm bài: 150 phútờ
Bài 1 (5 đi m) ể
1. Rút g n các bi u th c sau:ọ ể ứ
a. A =
2 1 1
:2
1 1 1
x x x
x x x x x
� �
+ −
+ +
� �
� �
− + + −
� �
v i ớx > 0, x
1.
b. B =
3 3
2017 ( 7 5 2 7 5 2 )− + + −
2. Cho
� �
− −
+
� �
� �
− − −
� �
14 7 15 5 1
= :
2 1 3 1 7 5
x
và
= + − − −
4 7 4 7 2
y
Tính giá tr c a bi u th c ị ủ ể ứ
4 15 1Cx y=+ −
Bài 2 (5 đi m)ể.
1. Gi i các ph ng trình sau:ả ươ
a.
( )
2 2
7 13 7 13x x x x+ + = + +
b.
8 15 7 2 5 4 21
2 2
x - x + x + = x - + x + x -+2
2. Tìm
th a mãn ỏ
zyx 32
.
3. Cho góc nh n ọ
α
. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: ị ỏ ấ ủ ể ứ
2 2
2020sin 2016 cos 4sinT
α α α
= + −
Bài 3 (4 đi m).ể
1. Cho đa th c P(ứx) = x2 + bx + c v i ớ
,b Z c Z� �
Bi t r ng đa th c ế ằ ứ x4 + 6x2 + 25 và 3x4 + 4x2 + 28x + 5 đu chia h t cho P(ề ế x).
Ch ng minh r ng 2020 chia h t cho P(-3).ứ ằ ế
2. Tìm s t nhiên n có 2 ch s bi t r ng 2n + 1 và 3n + 1 đu là các s chính ph ng.ố ự ữ ố ế ằ ề ố ươ
Bài 4 (5 đi m).ể
1. Cho tam giác ABC vuông t i A. G i M là m t đi m di đng trên c nh AC (M khác A, C).ạ ọ ộ ể ộ ạ
T C v đng th ng vuông góc v i tia BM t i H, c t tia BA t i O. ừ ẽ ườ ẳ ớ ạ ắ ạ
a. Ch ng minh: OA.OB = OC.OH và ứ
OHA OBC=� �
b. Ch ng minh t ng BM.BH + CM.CA không ph thu c vào v trí đi m M trên AC.ứ ổ ụ ộ ị ể
2. Cho tam giác ABC vuông t i A (AB < AC). Trung tuy n AM. G i s đo c a góc ACB làạ ế ọ ố ủ
. và s đo c a góc AMB làố ủ
. Ch ng minh r ng: (sinứ ằ
+ cos
)2 = 1 + sin
.
Bài 5 (1 đi m).ể
Cho ba s d ng ố ươ
, ,a b c
tho mãn: ả
2 2 2 2 2 2
2015a b b c c a+ + + + + =
Ch ng minh r ng: ứ ằ
2 2 2
1 2015.
2 2
a b c
b c c a a b
+ +
+ + +
Đ THI CHÍNH TH CỀ Ứ
H NG D N CH M Đ THI CH N H C SINH GI I C P HUY NƯỚ Ẫ Ấ Ề Ọ Ọ Ỏ Ấ Ệ
NĂM H C 2015-2016Ọ
Môn: Toán 9 (H ng d n ch m g m 04 trang)ướ ẫ ấ ồ
Bài N i dungộĐi mể
1
(5đ)
1.
a. V i ớx > 0, x
1. Ta có
3
2 1 1 2 1 1
: :
2 2
1 1 1 1 1
1
x x x x x x
Ax x x x x x x x
x
� �
� �
+ − + −
� �
= + + = + −
� �
� � � �
− + + − + + −
� � −
� �
2 1 1
:2
( 1)( 1)
2 1 2 2
. .
( 1)( 1) 1 1
x x x x x x
x x x
x x
x x x x x x
� �
+ + − − − − −
=� �
� �
− + +
� �
− +
= =
− + + − + +
V y A=......ậ
0,5
0,5
0,5
b. B =
3 3
2017 ( 7 5 2 7 5 2 )− + + −
Đt M=ặ
3 3
7 5 2 7 5 2+ + −
Ta có
3 3
3 3
3 3 3 3
3
3
2
2
( 7 5 2 7 5 2 )
7 5 2 7 5 2 3 7 5 2 . 7 5 2 ( 7 5 2 7 5 2 )
14 3 (7 5 2)(7 5 2).
14 3
3 14 0
( 2)( 2 7) 0
2 0 ( 2 7 0, )
2
M
M
M
M M
M M M
M M M M
M
= + + −
= + + − + + − + + −
= + + −
= −
+ − =�
− + + =�
− = + + > ∀�
=�
Khi đó ta có: B = 2017 – 2 = 2015
V y B = 2015ậ
0,5
0,5
0,5
2.
Ta có :
� � � �
− − − −
+ = + −
� � � �
� � � �
− − − − −
� � � �
= + − = − =
22
14 7 15 5 1 7( 2 1) 5( 3 1)
= : .( 7 5)
2 1 3 1 7 5 2 1 3 1
( 7 5)( 7 5) 7 5 2
x
= + − − − = + − − −�
+ − − −
2
2 2
4 7 4 7 2 2 8 2 7 8 2 7 2
= ( 7 1) ( 7 1) 2
=2-2=0
y=0
y
y
Khi đó
4 15
2 0 1 15C= + − =
. V y C=15ậ
0,75
0,75
0,5
2
(5đ)
1. a. Đtặ
213x y+ =
(v i ớ
13y
)
Khi đó, ta có:
( )
27 7y x x y+ = +
( ) ( )
7 (t/m)
7 0 y
y y x y x
=
− − =� � =
+ V i ớ
7y=
ta có
2 2 2
13 7 13 49 36 6x x x x+ = + = = =� � � �
+ V i ớ
y x=
ta có
2
2 2
13 13 0
13
x o x o
x x x x
+ = ��
� � =
+ =
(lo i)ạ
V y ph ng trình đã cho có nghi m là: ậ ươ ệ
6x
=
0,5
0,75
0,25
b.
8 15 7 2 5 4 21
7 2 5
2 2
x - x + x + = x - + x + x -
x+ x -
+
− − + = + − +�
− − + − − =�
2
( 3)( 5) 2 ( 3)( 7)
( 5 7)( 3 2) 0
7 (t/m)
x x x x
x x x
x =
(ĐK:
5x
)
V y ph ng trình đã cho có nghi m là: x = 7 ậ ươ ệ
0,5
0,25
0,5
0,25
2. Ta có
zyx 32
yzzyx 232
yzzyxzyxyzzyx 41234232 2
(1)
TH1. N u ế
0 zyx
Ta có
zyx
zyxyz
4
124
3
2
(2) vô lý
( do
nên v ph i c a (2) là s h u t ).ế ả ủ ố ữ ỷ
TH2.
0 zyx
khi đó
3
0
1yz
zyx
(3)
Gi i (3) ra ta đc ả ượ
3
1
4
z
y
x
ho c ặ
1
3
4
z
y
x
V y…….ậ
0,25
0,25
0,5
3. Ta có
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
2020sin 2016 cos 4sin 2016sin 2016 cos 4sin 4sin
2016(sin os ) 4sin 4sin 4sin 4sin 2016
(2sin 1) 2015 2015
T
c
α α α α α α α
α α α α α α
α
= + − = + + −
= + + − = − +
= − +
minT=2015 khi
0
1
sin 30
2
α α
= =�
. V y................................ậ
0,25
0,25
0,25
0,25
1. Ta có : +) x4 + 6x2 + 25 =(x2 + 2x + 5)(x2 - 2x + 5)
+) 3x4 + 4x2 + 28x + 5 = (3x2 + 6x + 1)(x2 - 2x + 5)
Vì các đa th c ứx4 + 6x2 + 25 và 3x4 + 4x2 + 28x + 5 đu chia h t choề ế
P(x) = x2 + bx + c nên P(x) là nhân t chung b c hai c a hai đa th c trên, nênử ậ ủ ứ
P(x) = x2 - 2x + 5. Khi đó P(-3) = 20.
Ta có 2020 = 20.101
2020 ( 3)P−M
(đpcm)
0,5
0,5
0,5
0,5
Hình vẽ
(không đi)ổ
3
(4đ)
2. Ta có 10
n
99
21
2n + 1
199.
Mà 2n + 1 l và 2n+1 là s chính ph ng ẻ ố ươ
2n + 1
{ }
25; 49; 81; 121; 169
n
{ }
12; 24; 40; 60; 84
3n + 1
{ }
37; 73; 121; 181; 253
.
Nh n th y trong các s trên ch có 121 là s chính ph ng.ậ ấ ố ỉ ố ươ
V y n = 40ậ
0,5
0,5
0,5
0,5
4
(5đ)
M
C
H
K
B
O
A
1. a. Ch ng minh đc ứ ượ
ΔOAC ~ ΔOHB (g.g) . .
OA OC OA OB OC OH
OH OB
= =� �
Theo ch ng minh trên ta có ứ
OA OC OA OH
OH OB OC OB
= =�
Xét
OHA∆
và
OBC∆
ta có :
OA OH
OC OB
=
O
chung
(c.g.c)OHA OBC∆ ∆�:
OHA OBC
=� � �
1,0
1,0
b. K ẻ
MK BC⊥
+ Ch ng minh đc ứ ượ
ΔBKM ~ ΔBHC (g.g) . . (1)
BM BK BM BH BC BK
BC BH
= =� �
+ Ch ng minh đc ứ ượ
ΔCKM ~ ΔCAB (g.g) . . (2)
CM CK CM CA BC CK
CB CA
= =� �
T (1) và (2) suy raừ :
2
. . . .
( )
BM BH CM CA BC BK BC CK
BC BK CK
BC
+ = +
= +
=
V y ậBM.BH + CM.CA không ph thu c vào v trí đi m M trên ACụ ộ ị ể
0,75
0,5
2.
Hình vẽ
H
M
C
B
A
T A k AH ừ ẻ
BC t i Hạ
Vì AB < AC nên HB < HC, mà M là trung đi m c a BCể ủ
Do đó H n m gi a B và Mằ ữ
Nên sin
=
AM
AH
=
BC
AH2
( Vì AM =
2
1
BC Theo t/c trung tuy n trong tam giác ế
vuông)
M t khác: (sinặ
2
)cos
= sin2
+ cos2
+ 2sin
.cos
= 1 + 2sin
.cos
Mà 2sin
cos
= 2
BC
AC
BC
AB .
= 2
2
. 2AH BC AH
BC BC
=
Do đó sin
= 2sin
cos
Vì v y (sinậ
2
)cos
= 1+ sin
.
(L u ýư : - N u h c sinh s d ng công th c nhân đôi trong l ng giác thì ph i ế ọ ử ụ ứ ượ ả
ch ng minh công th c đó.ứ ứ
- Hình v ph i chu n, trình bày chi ti t. H c sinh làm cách khác đúng thì ẽ ả ẩ ế ọ
cho đi m t i đa. )ể ố
0,5
0,25
0,5
0,5
5
(1đ)
Ta có
2 2 2 2 2
2( ) ( ) 2( )a b a b a b a b+ + + +� � �
(1) và
2
2 2 ( )
2
a b
a b +
+
(2)
Suy ra
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c c a a b b c c a c a
+ + + +
+ + + + + +
(theo (1))
Đt ặ
2 2 2 2 2 2
, , ,x b c y c a z a b= + = + = +
suy ra
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
y z x z x y x y z
VT x y z
+ − + − + −
+ +
2 2 2
1 ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
y z z x x y
x y z
x y z
� �
� � � � � �
+ + +
− + − + −
� �
� � � � � �
� � � � � �
� �
(theo (2))
2 2 2
1 ( ) ( ) ( )
2 3 2 3 2 3
2 2 2
2 2
y z z x x y
x x y y z z
x y z
� �
� � � � � �
+ + +
= + − + + − + + −
� �
� � � � � �
� � � � � �
� �
( ) ( ) ( )
12( ) 3 2( ) 3 2( 3
2 2 y z x z x y x y z + − + + − + + −
� �
� �
(theo BĐT Côsi)
Suy ra
1 1 2015
( ) 2 2
2 2
VT x y z + + =
(đpcm)
0,25
0,25
0,25
0,25