1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH
TỈNH PHÚ YÊN LỚP 9 THCS, NĂM HỌC 2015-2016
Môn TOÁN
Ngày thi : 02/3/2016
Thời gian : 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (4,00 điểm) Cho biểu thức:
).
1
2
1
3
)(
1
(
11
a
a
a
a
a
a
aa
aa
aa
aa
p
a) Rút gọn biểu thức P
b) Chứng minh rằng với mọi giái trị của a (thỏa điều kiện thích hợp) ta
đều có P>6.
Câu 2.(4.50 điểm) Giải phương trình
.3912154 22 xxxxx
Câu 3. (4,00 điểm) Cho ba số không âm x,y,z thỏa mãn
.2
21
1
21
1
21
1
zyx
Chứng minh rằng
64
1
xyz
.
Câu 4. (2.50 điểm) Cho hình bình hành ABCD có
0
90
ˆA
.Dựng các tam giác
vuông cân tại A là BAM và DAN (B và N cùng nửa mặt phẳng bờ AD, D và
M cùng nửa mặt phẳng bờ AB). Chứng minh rằng AC vuông góc với MN.
Câu 5 (5.00 điểm) Cho tam giac ABC n i ti p đường tr n tâm ,G là trọng
tâm. i p tuy n tại B của ( ) c t CG tại M. i p tuy n tại C của ( ) c t BG
tại N.Gọi , th o thứ tự là giao điểm của CN ,AN và đường thẳng ua B
song song với AC , th o thứ tự là giao điểm của BM,AM và đường thẳng
ua C song song với AB. Chứng minh rằng :
a). AB.CZ = AC.BX.
b)
CANBAM ˆˆ
.
------H t------
Thí sinh không sử dụng tài liệu.Giám thị không giải thích gì thêm
2
ĐÁP ÁN
Câu 1. (4,00 điểm) Cho biểu thức:
).
1
2
1
3
)(
1
(
11
a
a
a
a
a
a
aa
aa
aa
aa
p
a) Rút gọn biểu thức P
4
2
2
2222
)1(2
2
)1)(1(
)1(2
.
)1)(1(2
)1)(1(
222
.
1)1()1(
)1)(1(
2233
.
1
)1(
)1)(1(
)1(
)1)(1(
).
)1)(1(
)1)(2(
)1)(1(
)1(3
)(
1
(
)1(
1
)1(
123333
a
a
a
aaa
a
aa
aa
aa
a
aa
a
a
aa
aa
a
a
a
aa
a
aa
aa
aaaaa
a
a
aa
aaa
aa
aaa
aa
aa
aa
aa
a
a
aa
a
aa
a
p
b) Chứng minh rằng với mọi giái trị của a (thỏa điều kiện thích hợp) ta đều có P>6.
Ta có
vậy
8p
hay
6p
(đpcm).
Câu 2.(4.50 điểm) Giải phương trình
3
1
039
0)112154)(39(
)12154)(39(39
)12154)(39()12154)(12154(
.3912154
22
22
222222
22
x
x
xxxxx
xxxxxx
xxxxxxxxxxxxx
xxxxx
a dễ chứng minh được phương trình
112154 22 xxxx
= 0 vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
3
1
x
3
Câu 3. (4,00 điểm) Cho ba số không âm x,y,z thỏa mãn
.2
21
1
21
1
21
1
zyx
Chứng minh rằng
64
1
xyz
.
Ta có :
)21)(21(
4
2
21
2
21
2
21
1
1
21
1
1
21
1
zy
yz
z
z
y
y
zyx
ương tự ta có :
)21)(21(
4
2
21
1
,
)21)(21(
4
2
21
1
yx
xy
zzx
xz
y
Khi đó :
64
1
641
)21)(21)(21(
8
.8
)21)(21)(21(
1
)21()21()21(
64
.8
21
1
.
21
1
.
21
1
222
222
xyz
xyz
zyx
xyz
zyx
zyx
zyx
zyx
Câu 4. (2.50 điểm) Cho hình bình hành ABCD có
0
90
ˆA
.Dựng các tam giác vuông cân
tại A là BAM và DAN (B và N cùng nửa mặt phẳng bờ AD, D và M cùng nửa mặt phẳng
bờ AB). Chứng minh rằng AC vuông góc với MN.
Gọi H là giao điểm của MN và AC .
B
A
C
D
M
N
H
4
Ta có :
vDABMAN
vMADDABDABBAN
vMABDAN
2
ˆˆ
2
ˆˆˆˆ
2
ˆˆ
Mặt khác :
vCBADABCDAB 2
ˆ
ˆ
//
Do đó :
)
ˆ
2(
ˆ
ˆDABvCBAMAN
Xét tam giác NAM và tam giác CAB ta có :
AM=AB
AN= BC
CBAMAN ˆ
ˆ
(cmt)
Do đó hai tam giác bằng nhau
Suy ra :
NMACAB ˆ
ˆ
(Hai góc tương ứng).
Trong tam giác AHM có góc AMN +góc MAH =góc BAC + góc HAM=góc
BAM = 900.
Vậy : góc AHM = 900.Hay AC vuông góc với MN (đpcm).
Câu 5 (5.00 điểm) Cho tam giac ABC n i ti p đường tr n tâm ,G là trọng tâm. i p
tuy n tại B của ( ) c t CG tại M. i p tuy n tại C của ( ) c t BG tại N.Gọi , th o thứ
tự là giao điểm của CN ,AN và đường thẳng ua B song song với AC , th o thứ tự là
giao điểm của BM,AM và đường thẳng ua C song song với AB. Chứng minh rằng :
a). AB.CZ = AC.BX.
b)
CANBAM ˆˆ
.
A
B
C
G
M
N
O
X
Y
Z
T
5
Xét tam giác BZC và tam giác ACB ta có :
Góc CBZ = Góc BAC ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tt và dây cùng chắn 1 cung)
Góc BCZ = Góc ABC ( so le trong ,AB//CX).
Nên tam giác BZC đồng dạng với tam giác ACB (g-g).
=>
AB
BC
BC
CZ
AC
BZ
.
BZ
BC
AC
AB
=> AB.CZ=BC.BC (1)
Tương tự tam giác ABC đồng dạng với tam giác CXB (g-g)
CB
AC
BX
BC
CX
AB
CB
AC
BX
BC
AC.BX=BC.CB (2)
Từ (1) và (2) => AB.CZ = AC.BX (= BC2).
Câu b.
Mình nhìn không ra nhờ các bạn cùng suy nghĩ và đưa ra lời giải nhé (cảm ơn)