PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN THẠCH THÀNH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 C P HUYỆN
MÔN: TOÁN
NĂM HỌC 2017 – 2018
Ngày thi 09/10/2017
(Thời gian: 150 phút không tính thời gian phát đề)
Bài 1: (4 điểm). Cho biểu thức:
33
33
:
112
.
11
xyyx
yyxxyx
yx
yxyx
A
; (x > 0; y > 0).
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A khi
24 16 2 24 16 2x
;
2 24 16 2 24 16 2y
c) Cho xy T các giá trị của x, y ể A c giá trị nh nh t, t giá trị .
Bài 2: (3 điểm). Giải các phương tr nh sau:
a)
1 (2 5) 6x x x
b)
)1)(1(111 2323 xxxxxxxx
Bài 3: (3 điểm).
a) Cho a; b nguyên dương và a + 1; b + 2007 ều chia hết cho
Chứng inh rằng 4a + a + b chia hết cho
b) Tìm các nghi nguyên dương (x; y) của phương tr nh: 7x - xy - 3y = 0
Bài 4: (6 điểm). Cho hình vuông ABCD và các iể E, F lần lượt trên các cạnh AB,
AD sao cho AE = AF Gọi H là h nh chiếu của A trên DE.
a) Chứng inh: AD2 = DH.DE; AH.DC = AF.DH
b) Xác ịnh vị trí của các iể E và F ể di n tích ta giác DHC g p 4 lần
di n tích ta giác AHF
c) Chứng inh rằng
HCDH
DCDHC
Sin
2
Bài 5: (4 điểm).
a) Cho ba số
th a ãn
1 1 1 0
x y z
Tính giá trị của biểu thức:
2017
2 2 2 4
xy yz zx
Pz x y



b) Cho a; b; c là ba số dương th a ãn abc = 1
Chứng inh rằng:
2 2 2 3
1 1 1 2
a b c
b c a
Họ, tên thí sinh: .................................... Chữ ký của giám thị 1:...............................
Số báo danh:........................................... Chữ ký của giám thị 2:...............................
Đề chính thức (Gồ 0 trang)
HƯỚNG DẪN CH M BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 C P HUYỆN
MÔN: TOÁN
NĂM HỌC 2017 - 2018
Bài
§¸p ¸n
Điểm
Bài 1
(4 điểm)
a)
33
33
:
112
.
11
xyyx
yyxxyx
yx
yxyx
A
2
.:
x y x x y x x y y y
xy
xy
xy x y x xy y xy






yxxy
yxyx
xy
yx
xy
:
2
xy
yx
yx
xy
xy
yx
A
.
2
(*)
0,5
0,5
0,5
b)
24 16 2 24 16 2x
=
22 224224
8224224 x
2 24 16 2 24 16 2y
=
22
2 4 2 2 4 2 2



2 4 2 2 (4 2 2) 8y

Thay
8;8 yx
vào (*) ta ược
2
1
8
24
8.8
88
A
0,5
0,5
0,5
c) Ta có:
020
2
xyyxyx
xyyx 2
1
16
162
2
xy
xy
xy
yx
A
(v xy = 16)
Vậy MinA = 1 khi x = y = 4 (thoả ãn ĐK ề bài)
0,25
0,5
0,25
Bài 2
(3 điểm)
a)
1 (2x 5) 6xx
(1)
ĐKXĐ
0)52(
06
01
x
x
x
2
5
x
(**)
Ta c ( )
xxx 6)52(1 2
5)52(.1 xxx
2
)5()52)(1( xxx
(ĐK
5x
)
0)10)(3(0307
2 xxxx
3 x
(th a ãn các ĐK)
10x
(loại v h ng th a ãn (**))
Vậy tập nghi của phương tr nh là:
3S
.
0,25
0,5
0,5
0,25
b)
)1)(1(111 2323 xxxxxxxx
(2)
Điều i n:
1x
(2)
01111 23 xxxx
0,25
0,5
F
I
M
H
E
C
B
A
D
0
2
11
11
23 x
x
xxx
x
2x
(th a m n ĐK);
0x
(không TMĐK)
Vậy tập nghi của phương tr nh là:
2S
.
0,5
0,25
Bài 3
(3 điểm)
a) 4a + a + b = (4a + 2) +(a + 1) + (b + 2007) – 2010
Ta c :
61a
;
62007b
;
2010 6
3314...441431424 21 aaaa
t hác:
24
a
là số ch n
224 a
à
1)2;3(
nên
624
a
Vậy
64 ba
a
0,5
0,5
0,25
0,25
b) T các c p số nguyên dương (x; y) của phương tr nh: 7x - xy - 3y = 0
Ta có: 7x - xy - 3y = 0
21)7)(3( yx
(3)
Vì
x
nên
43 x
t ( ) suy ra
4
4
37
73
y
x
y
x
ho c
6
18
17
213
y
x
y
x
Vậy phương tr nh ã cho c hai nghi nguyên dương là:
)4;4();( yx
;
)6;18();( yx
0,5
0,75
0,25
Bài 4
(6 điểm)
- Học sinh vẽ h nh úng
0,5
a) Xét tam giác ADE và tam giác HDA
Có
0
90DAE DHA
(gt);
ADH
là góc chung
Vậy
ADE
HDA
(g.g)
2.
AD DE AD DH DE
HD DA
T
ADE
HDA
ta có
AD AE DC AF
HD HA HD HA
(1) (do AD = DC; AE = AF (gt))
t hác
0
90HDC ADH
;
0
90HAD HDA
suy ra
HDC HAD
(2)
T ( ) và (2) suy ra
HAF
HDC
(c.g.c)
..
AH AF AH DC AF DH
DH DC
0,5
0,5
0,5
0,5
b) Theo chứng inh câu a
DHC
AHF
nên ta có
2
DHC
AHF
SDC
S AF



;
2
22
4 4 4
DHC
AHF
SDC DC AF
S AF



2DC AF
Vậy ể di n tích ta giác DHC g p 4 lần di n tích ta giác AHF thì E; F
1,0
Chú ý: - Học sinh là cách hác úng ở mỗi bài vẫn cho iểm tối a
- Bài 4 học sinh vẽ hình sai ho c không vẽ hình thì không ch iểm.
lần lượt thuộc AB và AD sao cho
1
E AF 2
A AB
(hay E; F lần lượt là trung
iể của AB và AD)
0,5
c) Vẽ ường phân giác HM của ta giác DHC, theo tính ch t ường phân giác
của ta giác, ta c :
DM MC DM DM MC DC
HD HC HD HD HC HD HC

Vẽ
DI HM
(
I HM
) suy ra
DI DM
Xét
IHD
có
0
90HID
;
Do
DI
Sin DHI HD

hay
2
DHC DI DM DC
Sin HD HD HD HC
Vậy
2
DHC DC
Sin HD HC
0,75
0,5
0,5
0,25
Bài 5
(4 điểm)
a)
1 1 1 1 1 1
0
x y z x y z
33
1 1 1
x y z






3 3 3
1 1 1 1 1 1
3
x y xy x y z



3 3 3
1 1 1 3
x y z xyz
2 2 2 3
yz xz xy
x y z
2017
2017 2017
2 2 2 4 3 4 1 1
xy yz zx
Pz x y



0,5
0,5
0,5
0,5
b) Áp dụng b t ẳng thức Cauchy ta c :
a
ab
b
ab
b
a
2
.2
4
1
.
1
2
4
1
1
22
(1)
Tương t ta c :
b
c
c
b
4
1
1
2
(2)
c
a
a
c
4
1
1
2
(3)
Cộng t ng vế các b t ẳng thức ( ) (2) và ( ) ta ược:
cba
acb
a
c
c
b
b
a
4
1
4
1
4
1
111
222
4
3)(3
111
222
cba
a
c
c
b
b
a
(4)
t hác c ng theo b t ẳng thức Cauchy ta c :
3133 3
3 abccba
(5)
T (4) và ( ) suy ra
2
3
4
33.3
111
222
a
c
c
b
b
a
u ảy ra khi
1 cba
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25