SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO
BẮC GIANG
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Đề thi có 01 trang
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP
TỈNH
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN THI: TOÁN; LỚP: 7 PHỔ THÔNG
Ngày thi: 30/3/2013
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1. (4,0 điểm)
1) Rút gọn:
3 2 1 3 2 1
:
2 5 10 2 3 12
A
.
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2012 2013
P x x với
x
là số tự
nhiên.
Câu 2. (5,0 điểm)
1) Tìm
x
biết 2 1
2 .3 .5 10800
x x x .
2) Ba bạn An, Bình và Cường có tổng số viên bi là 74. Biết rằng số viên bi của
An và Bình tỉ lệ với 5 và 6; số viên bi của Bình và Cường tỉ lệ với 4 và 5.
Tính số viên bi của mỗi bạn.
Câu 3. (4,0 điểm)
1) Cho
p
là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng 2
2012
p là hợp số.
2) Cho
n
là số tự nhiên có hai chữ số. Tìm
biết
n
và
2
n
đều là các số
chính phương.
Câu 4. (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A và có cả ba góc đều là góc nhọn.
1) Về phía ngoài của tam giác vẽ tam giác ABE vuông cân ở B. Gọi H là trung
điểm của BC, trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho
AI BC
. Chứng
minh hai tam giác ABI và BEC bằng nhau và
BI CE
.
2) Phân giác của các góc
฀
฀
,
ABC BDC
cắt AC, BC lần lượt tại D, M. Phân giác
của góc
฀
BDA
cắt BC tại N. Chứng minh rằng: 1
.
2
BD MN
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho
1 1 1 1 1 1
1 ...
2 3 4 2011 2012 2013
S và
1 1 1 1
...
1007 1008 2012 2013
P .
Tính
2013
S P.
--------------Hết----------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: .................................................................Số báo
danh:.......................
Giám thị 1 (Họ tên và
ký)..............................................................................................................
Giám thị 2 (Họ tên và
ký)..............................................................................................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO
BẮC GIANG
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP
TỈNH
MÔN THI: TOÁN; LỚP: 7 PHỔ THÔNG
Ngày thi: 30/3/2013
Bản hướng dẫn có 03 trang
Câu Phương pháp-Kết quả Điểm
Câu 1 ( 4 điểm)
1
(2điểm)
15 4 1 18 8 1
:
10 10 10 12 12 12
A
0.5đ
12 11
:
10 12
0.5đ
6 12 72
.
5 11 55
0.5đ
Vậy
72
55
A. 0.5
2
(2điểm)
2012 2013
P x x
+ Nếu
2012
x
hoặc
2013
x
thì
1
P
0.5 đ
+ Nếu
2013
x
thì
2012 2013 1 2013 1
P x x x
0.5đ
+ Nếu
2012
x
thì
2012 2013 2012 1 1
P x x x
0.5
+ Do đó giá trị nhỏ nhất của P bằng 1, đạt được khi
2012
x
hoặc
2013
x
.
0.5 đ
Câu 2 (4điểm)
1
(2.5điểm)
Ta có 2 1 2
2 .3 .5 10800 2 .2 .3 .3.5 10800
x x x x x x 1.0 đ
2.3.5 900
x
0.5 đ
2
30 30 2
xx
0.5
Vậy
2
x
là kết quả cần tìm. 0.5 đ
2
(2.5điểm)
+ Gọi số viên bi của An, Bình, Cường lần lượt là
, ,
a b c
. Vì tổng
số viên bi của ba bạn là 74 nên
74
a b c
0.5 đ
+ Vì số viên bi của An và Bình tỉ lệ với 5 và 6 nên
5 6 10 12
a b a b
0.5 đ
+ Vì số viên bi của Bình và Cường tỉ lệ với 4 và 5 nên
4 5 12 15
b c b c
0.5
+ Từ đó ta có 74
2
10 12 15 10 12 15 37
a b c a b c
0.5đ
+ Suy ra
20; 24; 30
a b c
0.5đ
Câu 3 (4điểm)
1
(2điểm)
+ Vì
p
là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng
3 1 , 1
p k k k
฀
0.5
+Với
3 1
p k
suy ra
2
2 2 2
2012 3 1 2012 9 6 2013 2012 3
p k k k p
0.5
+Với
3 1
p k
suy ra
2
2 2 2
2012 3 1 2012 9 6 2013 2012 3
p k k k p
0.5
Vậy 2
2012
p là hợp số. 0.5
2
(2điểm)
+ Vì
n
là số có hai chữ số nên
9 100 18 2 200
n n
0.5đ
+ Mặt khác
2
n
là số chính phương chẵn nên
2
n
có thể nhận các
giá trị: 36; 64; 100; 144; 196.
0.5đ
+ Với
2 36 18 4 22
n n n
không là số chính phương
2 64 32 4 36
n n n
là số chính phương
2 100 50 4 54
n n n
không là số chính phương
2 144 72 4 76
n n n
không là số chính phương
2 196 98 4 102
n n n
không là số chính phương
0.5 đ
+ Vậy số cần tìm là
32
n
. 0.5đ
Câu 4 (6 điểm)
1
(3điểm)
+ Xét hai tam giác AIB và BCE
Có AI=BC (gt)
BE=BA( gt) 0.5
+ Góc
฀
IAB
là góc ngoài của tam giác ABH nên
฀
฀
฀
฀
0
90
IAB ABH AHB ABH 0.5
+ Ta có
฀
฀
฀ ฀
0
90
EBC EBA ABC ABC . Do đó
฀
฀
IAB EBC
.
+ Do đó
( )
ABI BEC c g c
฀ ฀ 0.5 đ
+ Do
( )
ABI BEC c g c
฀ ฀ nên
฀
฀
AIB BCE
. 0.5 đ
+ Trong tam giác vuông IHB vuông tại H có
฀
฀
0
90
AIB IBH .
Do đó
฀
฀
0
90
BCE IBH .
0.5đ
KL: CE vuông góc với BI. 0.5đ
2
(3điểm)
+ Do tính chất của đường phân giác, ta có
DM DN
. 0.5 đ
+ Gọi F là trung điểm của MN. Ta có
FM FD FN
. 0.5 đ
+ Tam giác FDM cân tại F nên
฀
฀
FMD MDF
.
฀
฀
฀
( óc ngoài tam giác)
FMD MBD BDM g
฀
฀
MBD CDM
0.5 đ
Suy ra
฀
฀
MBD CDF
(1) 0.5 đ
Ta có
฀
฀
฀
MCD CDF CFD
(2)
Do tam giác ABC cân tại A nên
฀
฀
2
MCD MBD
(3) 0.5 đ
Từ (1), (2), (3) suy ra
฀
฀
MBD DFC
hay tam giác DBF cân tại D. Do
đó 1
2
BD DF MN
0.5 đ
Câu 5
(1 điểm) Cho
1 1 1 1 1 1
1 ...
2 3 4 2011 2012 2013
S và
1 1 1 1
...
1007 1008 2012 2013
P . Tính
2013
S P.
(1 điểm)
+ Ta có:
1 1 1 1
...
1007 1008 2012 2013
P
1 1 1 1 1 1 1
1 ... ...
2 3 1006 1007 1008 2012 2013
1 1 1
1 ...
2 3 1006
0.5 đ
1 1 1 1 1 1 1
1 ... ...
2 3 1006 1007 1008 2012 2013
1 1 1 1
2 ...
2 4 6 2012
1 1 1 1 1
1 ......
2 3 4 2012 2013
=S.
Do đó
2013
S P=0
0.5 đ
Điểm toàn bài (20điểm)
Lưu ý khi chấm bài:
Trên đây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi
bài. Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ. Nếu học sinh giải
cách khác đúng thì chấm và cho điểm từng phần tương ứng.