S GIÁO D C VÀ ĐÀO T OỞ Ụ Ạ
H I D NGẢ ƯƠ
Đ CHÍNH TH CỀ Ứ
KÌ THI CH N H C SINH GI I T NHỌ Ọ Ỏ Ỉ
L P 12 THPT NĂM H C 2013 – 2014Ớ Ọ
MÔN THI: TOÁN
Th i gian làm bài: 180 phútờ
Ngày thi: 22 tháng 10 năm 2013
(Đ thi g m 01 trang)ề ồ
Câu I (2,0 đi m) ể
1) Cho hàm s ố
3 2
2 3= + −y x mx x
(1) và đng th ng ườ ẳ
( ) : 2 2
∆ = −
y mx
(v i ớ
m
là tham s ). Tìm ố
m
đ đng th ng ể ườ ẳ
( )∆
và đ th hàm s (1) c t nhau t i ba đi m phân bi t ồ ị ố ắ ạ ể ệ A, B, C sao cho di nệ
tích tam giác OBC b ng ằ
17
(v i ớA là đi m có hoành đ không đi và ể ộ ổ O là g c to đ). ố ạ ộ
2) Cho hàm s ố
2
32
x
x
y
có đ th (ồ ị C) và đng th ng d:ườ ẳ
mxy 2
. Ch ng minh r ng ứ ằ d c tắ
(C) t i hai đi m ạ ể A, B phân bi t v i m i s th c ệ ớ ọ ố ự m. G i ọ
,
1
k
l n l t là h s góc c a ti pầ ượ ệ ố ủ ế
tuy n c a (ế ủ C) t i ạA và B. Tìm m đ ểP =
2013
2
2013
1kk
đt giá tr nh nh t.ạ ị ỏ ấ
Câu II (2,0 đi m)ể
1) Gi i ph ng trình: ả ươ
1
4
sin244cos4sin
xxx
2) Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ
10)1(4)19(
1
1
1913
223
2
xxyx
xx
yxy
Câu III (2,0 đi m)ể
1) Rút g n bi u th c: ọ ể ứ
!0!.2013.2014
1
...
!2010!.3.4
1
!2011!.2.3
1
!2012!.1.2
1
!2013!.0.1
1S
2) Cho dãy s (ốun) th a mãn: ỏ
2
2
1
2
5
2
1
1
nnn uuu
u
*)( Nn
. Tìm
n
kk
u
1
1
lim
.
Câu IV (3,0 đi m)ể
1) Cho kh i chóp ố
.S ABC
có SA = 2a, SB = 3a, SC = 4a,
ﾷ
ﾷ
0
AS 90 ,B SAC= =
ﾷ
0
120BSC =
. G i ọM, N
l n l t trên các đo n ầ ượ ạ SB và SC sao cho SM = SN = 2a. Ch ng minh tam giác AMN vuông. Tínhứ
kho ng cách t đi mả ừ ể
C
đn m t ph ng ế ặ ẳ
( )SAB
theo a.
2) Cho t di n đu ứ ệ ề ABCD c nh ạa, hai đi m ểM, N ch y t ng ng trên các đo n ạ ươ ứ ạ AB và CD sao
cho BM = DN. Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a ị ớ ấ ỏ ấ ủ MN.
Câu V (1,0 đi m) ểCho 3 s th c ố ự x, y, z th a mãn: ỏ
22xyz
Ch ng minh r ng: ứ ằ
8
2244
88
2244
88
2244
88
xzxz
xz
zyzy
zy
yxyx
yx
……………..H t………………..ế
H và tên thí sinh:ọ…………………………………………S báo danh: ố…………………...............
Ch ký c a giám th 1:ữ ủ ị ………………………….Ch ký c a giám thữ ủ ị
2:.............................................
S GIÁO D C VÀ ĐÀO T OỞ Ụ Ạ
H I D NGẢ ƯƠ
H NG D N CH MƯỚ Ẫ Ấ
KÌ THI CH N H C SINH GI I T NHỌ Ọ Ỏ Ỉ
L P 12 THPT NĂM H C 2013 – 2014Ớ Ọ
MÔN THI: TOÁN
Ngày thi: 22 tháng 10 năm 2013
(H ng d n ch m g m 05 trang)ướ ẫ ấ ồ
(Đi m toàn bài l y đi m l đn 0,25; thí sinh làm cách khác mà đúng v n cho đi m t i đa)ể ấ ể ẻ ế ẫ ể ố
Câu N i dungộĐi mể
I1
1,0đ
1) Cho hàm s ố
3 2
2 3= + −y x mx x
(1) và đng th ng ườ ẳ
( ) : 2 2
∆ = −
y mx
(v i ớ
m
là
tham s ). Tìm ố
m
đ đng th ng ể ườ ẳ
( )∆
và đ th hàm s (1) c t nhau t i ba đi mồ ị ố ắ ạ ể
phân bi t A, B, C sao cho di n tích tam giác OBC b ng ệ ệ ằ
17
(v i A là đi m cóớ ể
hoành đ không đi và O là g c to đ). ộ ổ ố ạ ộ
Hoành đ giao đi m c a đ th hàm s (1) và (ộ ể ủ ồ ị ố
∆
) là nghi m ph ng trình:ệ ươ
3 2 3 2
2 3 2 2 2 (2 3) 2 0+ − = − + − + + =�x mx x mx x mx m x
2
2
1
( 1) (2 1) 2 0 (2 1) 2 0(2)
=
� �
− + + − =� �
� � + + − =
x
x x m x x m x
. 0,25
V y ậ
( )∆
và đ th hàm s (1) c t nhau t i ba đi m phân bi t ồ ị ố ắ ạ ể ệ
ph ng trình (2) có ươ
hai nghi m phân bi t ệ ệ
2
(2 1) 8 0
1 0
1 2 1 2 0
m
x m
m
+ + >
��۹+ + −
.
Khi đó, ba giao đi m là A(1;2m-2), ể
1 1 2 2
B( ;2 2), C( ;2 2)x mx x mx− −
, trong đó
1 2
x ;x
là nghi m ph ng trình (2) nên ệ ươ
1 2 1 2
x x 2m 1,x x 2+ = − − = −
0,25
Tam giác OBC có di n tích ệ
1BC.
2
S d=
. Trong đó
2
2
d = d(O; ) = 1+4m
∆
( )
2 2 2 2 2
2 1 2 1 1 2 1 2
BC ( ) (2 2 ) ( ) 4 4 1x x mx mx x x x x m
� �
= − + − = + − +
� �
( )
( )
22
BC 2 1 8 4 1m m
� �
= + + +�� �
( )
2
2 1 8= + +�S m
0,25
V y S = ậ
17
17944 2 mm
2
1
m
m
(TM) 0,25
I2
1,0đ
2) Cho hàm s ố
2
32
x
x
y
có đ th (C) và đng th ng d: y = - 2x + m. Ch ng minhồ ị ườ ẳ ứ
r ng d c t (C) t i hai đi m A, B phân bi t v i m i s th c m. G i ằ ắ ạ ể ệ ớ ọ ố ự ọ
21 ,kk
l n l t làầ ượ
h s góc c a ti p tuy n c a (C) t i A và B. Tìm m đ P = ệ ố ủ ế ế ủ ạ ể
2013
2
2013
1kk
đt giáạ
tr nh nh t.ị ỏ ấ
Xét ph ng trình hoành đ giao đi m c a đ th (C) và d:ươ ộ ể ủ ồ ị
mx
x
x
2
2
32
(*)023)6(2
2
2mxmx
x
0,25
Xét ph ng trình (*), ta có: ươ
Rm ,0
và x = -2 không là nghi m c a (*) nên dệ ủ
luôn c t đ th (C) t i hai đi m phân bi t A, B v i m i m.ắ ồ ị ạ ể ệ ớ ọ 0,25
H s góc c a ti p tuy n t i A, t i B l n l t là ệ ố ủ ế ế ạ ạ ầ ượ
2
2
2
2
1
1)1(
1
,
)1(
1
x
k
x
k
, trong đó
1
x
,
là 2 nghi m c a ph ng trình (*), ta th yệ ủ ươ ấ
4
422
1
22
1
.2
2121
2
2
2
1
21
xxxxxx
kk
(k1>0, k2>0)
0,25
Có P =
2014
2013
21
2013
2
2013
12.2 kkkk
, do dó MinP = 22014 đt đc khiạ ượ
2
2
2
1
2
2
2
1
21 )2()2(
)2(
1
)2(
1
xx
xx
kk
do
1
x
,
phân bi t nên ta có xệ1 +2 = - x2 - 2
x1 + x2 = - 4
m = - 2. V y m = - 2 là giá tr c n tìm.ậ ị ầ
0,25
II1
1,0đ
1) Gi i ph ng trình: ả ươ
1
4
sin244cos4sin
xxx
(1)
PT(1)
2sin2x.cos2x + 2cos22x =4(sinx – cosx)
(cosx – sinx).
02)2cos2)(sinsin(cos xxxx
0,25
*)
kxxx 4
0sincos
0,25
*) (cosx + sinx)(sin2x + cos2x) + 2 = 0
cosx + sin3x + 2 = 0 (2) 0,25
*) Vì
xxx ,13sin;1cos
nên (2)
13sin
1cos
x
x
h vô nghi m.ệ ệ
V y PT có nghi m là: ậ ệ
kx 4
)( Zk
0,25
II2
1,0đ2) Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ
)2(10).1(4)19(
)1(
1
1
1913
223
2
xxyx
xx
yxy
ĐK:
0x
NX: x = 0 không TM h PTệ
Xét x > 0
PT (1)
x
xx
yyy
1
1933 2
1
111
1)3(33
2
2
xxx
yyy
(3)
0,25
T (1) và x > 0 ta có: y > 0. Xét hàm s ừ ố f(t)= t + t.
1
2t
, t > 0.
Ta có: f’(t) = 1 +
1
12
2
2
t
t
t
>0. Suy ra f(t) luôn đng bi n trên (0,+∞)ồ ế
PT(3)
f(3y)= f
x
1
3y =
x
1
0,25
Th vào pt(2) ta đc PT: ế ượ
10).1(4 223 xxxx
Đt ặg(x)=
10).1(4 223 xxxx
, x > 0. Ta có g’(x) > 0 v i x > 0ớ
g(x) là hàm s đng bi n trên kho ng (0,+∞)ố ồ ế ả
0,25
Ta có g(1) = 0
V y pt ậg(x) = 0 có nghi m duy nh t x = 1ệ ấ
V i x =1ớ
y =
3
1
KL: V y h có nghi m duy nh t: (1;ậ ệ ệ ấ
3
1
). 0,25
III1
1,0đ
1) Rút g n bi u th c:ọ ể ứ
!0!.2013.2014
1
...
)!2013!.().1(
1
...
!2010!.3.4
1
!2011!.2.3
1
!2012!.1.2
1
!2013!.0.1
1
kkk
S
+) Ta có:
2013
0
2013
2013
01
!2013.
)!2013!.().1(
1
k
k
kk
C
S
kkk
S
0,25
+) Ta có:
2014!)1(2014)!1.(2014
!2014
)!2013)!.(1(
!2013
1
1
20142013
kk
C
kkkkk
C
(k =0;1;…;2013) 0,25
+) Do đó: S.2013!=
2014
1
2014
2013
0
1
2014 .
2014
1
2014 k
k
k
k
C
C
0,25
+) S.2013! =
12
2014
12014
!2014
122014
S
0,25
III2
1,0đ2) Cho dãy s (uốn) th a mãn: ỏ
2
2
1
2
5
2
1
1
nnn uuu
u
*)( Nn
. Tìm
n
kk
u
1
1
lim
.
+) Ta có:
nuuuu nnnn
,0)44(
2
12
1
Dãy không gi m.ả
N u có s M: ế ố un
M v i m i n, thì t n t i limuớ ọ ồ ạ n = L. Vì un
u1
L
u10,25
+) Khi đó ta có: L =
2
1
L2 – L + 2
L = 2. (Vô lý)
limun =
0,25
+) Ta có:
1
2242
nnn uuu
)2(2)2( 1 nnn uuu
)2(2
1
)2(
1
1
nnn uuu
2
1
2
11
2
11
2
1
11
nnnnnn uuuuuu
(
*Nn
)0,25
+) Do đó:
2
1
2
11
11
1
n
n
kkuuu
n
kk
u
1
1
lim
=
2
2
1
1
u
0,25
IV1
1,5đ
1) Cho kh i chóp ố
.S ABC
2 , 3 , 4 ,SA a SB a SC a= = =
ﾷ
ﾷ
0
AS 90 ,B SAC= =
ﾷ
0
120BSC =
.
G i ọM, N l n l t trên các đo n ầ ượ ạ SB và SC sao cho SM = SN = 2a. Ch ng minh tam ứ
giác AMN vuông. Tính kho ng cách t đi mả ừ ể
C
đn m t ph ng ế ặ ẳ
( )SAB
theo
a
.
Dùng ĐL Cosin tính đc:ượ
MN =
32a
0,25
AM=
22a
, AN=2a (Tam giác vuông SAC có SC=2SA nên góc
ASC
= 600)
tam
giác AMN vuông t i A.ạ0,25
G i H là trung đi m c a MN, vì SA = SM = SN và ọ ể ủ tam giác AMN vuông t i A.ạ
)(AMNSH
; tính đc SH = a.ượ
0,25
Tính đc ượ
3
22 3
.
a
VAMNS
0,25
3
1
.
.
.
. SCSB
SNSM
V
V
ABCS
AMNS
3
.22 aV ABCS
0,25
V y ậ
3
.
2
3 6 2
( ;( )) 2 2
3
S ABC
SAB
V a
d C SAB a
S a
∆
= = =
0,25
IV2
1,5đ
2) Cho t di n đu ABCD c nh a, hai đi m M, N ch y t ng ng trên đo n AB vàứ ệ ề ạ ể ạ ươ ứ ạ
đo n CD sao cho BM = DN. Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a MN.ạ ị ớ ấ ỏ ấ ủ
+) Đt ặ
x
BA
BM
, v i ớ
10
x
x
DC
DN
. Khi đó ta có:
BAxBM .
và
DCxDN .
0,25
+) Ta có:
BDxBCxBNBDBCxBDBNDCxDN ).1(.)(.
Do đó:
BAxBDxBCxBMBNMN .).1(.
0,25
+) MN2 =
2
)1(2
2
.2
2
)1(2)1( 22
2
2
222222 a
xx
a
x
a
xxaxaxax
= a2
)1()1()1( 2222 xxxxxxxx
= (2x2 – 2x + 1)a2
0,25
+) Xét hàm s ốf(x) = 2x2 – 2x + 1 trên đo n ạ
1;0
ta có:
2
1
)
2
1
()(min,1)1()0()(max fxfffxf
0,25
+) MN đt giá tr nh nh t b ng ạ ị ỏ ấ ằ
2
2a
khi M, N l n l t là trung đi m c a AB, CD.ầ ượ ể ủ 0,25
+) MN đt giá tr l n nh t b ng ạ ị ớ ấ ằ a khi M
B, N
D ho c Mặ
A, N
C. 0,25
V
Cho 3 s th c x, y, z th a mãn: ố ự ỏ
x.y.z =2 2
Ch ng minh r ng: ứ ằ
8
2244
88
2244
88
2244
88
xzxz
xz
zyzy
zy
yxyx
yx
H
N
M
A
S
N
M
S
C
B
A