SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2019 – 2020
Môn thi: Toán - Lớp: 10
(Th
ời gian l
àm bài: 12
0
phút, không k
ể
th
giao đ
ề)
Câu 1 (4 điểm). Cho hàm số y = -x2 + 2(m + 1)x + 1 – m2 (m là tham số).
a) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A,
B sao cho tam giác KAB vuông tại K, trong đó K(2; -2).
b) Tìm giá trị của m để hàm số (1) có giá trị lớn nhất bằng 6.
Câu 2 (6 điểm).
a) Giải phương trình:
2
2
3(4 9)
2 3
3 3
x
x
x
b) Tìm m để phương trình: (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = m có nghiệm.
c) Giải hệ phương trình:
2 2 2 2
9 3 3 2 5
( )( 3) 3( ) 2
x y x y y
x y x xy y x y
Câu 3 (6 điểm).
a) Cho ABC và hai điểm M, N thay đổi sao cho:
MC
MB
MA
MN
2
4
.
Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định.
b) Cho tam giác ABC có diện tích bằng
1
4
. Đặt a = BC, b = AC, c = AB. Chứng
minh rằng: cotA + cotB + cotC = a2 + b2 + c2.
c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2) và B(4; 3). Tìm tọa độ
điểm M nằm trên trục hoành sao cho góc
ˆ
AMB
bằng
0
45
.
Câu 4 (2 điểm). Một chủ hộ kinh doanh có 32 phòng trọ cho thuê. Biết giá cho thuê
mỗi tháng là 2.000.000đ/1 phòng trọ, thì không có phòng trống. Nếu cứ tăng giá mỗi
phòng trọ lên 200.000đ/1 tháng, thì sẽ có 2 phòng bị bỏ trống. Hỏi chủ hộ kinh doanh
sẽ cho thuê với giá là bao nhiêu để có thu nhập mỗi tháng cao nhất?
Câu 5 (2 điểm). Cho các số thực dương x, y, z thay đổi thỏa mãn: x + y + z = 3. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2
1 2020
A
x y z xy yz zx
.
----------HẾT----------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh: ...................................... Số báo danh: ................
Chữ ký giám thị coi thi số 1: Chữ ký giám thị coi thi số 2:
Đ
Ề CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG
HƯỚNG DẪN CHẤM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2019 – 2020
Môn thi:
Toán
-
L
ớp: 10
I. Hướng dẫn chung
II. Đáp án và thang điểm
Câu Đáp án Điểm
Câu 1
(4 điểm)
a) Phương trình hoành độ giao điểm:
2 2 2 2
2( 1) 1 0 2( 1) 1 0
x m x m x m x m
(2) 0.5
Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi phương
trình (2) có hai nghiệm phân biệt:
2 2
' 0 ( 1) 1 0 2 2 0 1
m m m m
.
0.5
Gọi các nghiệm của phương trình (2) là
1 2
,
x x
.
Tọa độ các giao điểm
,
A B
là 1 2
( ;0), ( ;0)
A x B x ; 1 2
( 2;2), ( 2;2)
KA x KB x
. 0.5
1 2 1 2 1 2
. 0 ( 2)( 2) 4 0 2( ) 8 0
KA KB KA KB x x x x x x
2 2
1
1 2.2( 1) 8 0 4 3 0
3
m
m m m m m
.
Kết hợp điều kiện
1
m
, ta được
1
m
,
3
m
.
0.5
b)
2 2 2 2 2 2
2( 1) 1 2( 1) ( 1) ( 1) 1
y x m x m y x m x m m m
2
( 1) 2 2
y x m m
. 0.5
2 2
y m
, với mọi x R. 0.5
Dấu
" "
xảy ra khi
1
x m
. Giá trị lớn nhất của hàm số là
2 2
m
. 0.5
Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 6 khi
2 2 6 2
m m
. 0.5
Câu 2
(6 điểm)
a)
Đi
ều kiện: x <
-
1 ho
ặc x > 1
0.5
Phương trình
22
2
3(4 9)
2 3 3(2 3)(2 3) (2 3) 3 3
3 3
xx x x x x
x
0.5
2
2 2
3
2 3 0 2
2 3 0
3 3 3(2 3)
3 3 9(2 3)
x
x
x
x x
x x
0.5
2
3
2
3
3
2
2
2
33 108 84 0
x
x
xx
x x
. Vậy phương trình có hai nghiệm x = -
3/2, x = 2.
0.5
b)
Đi
ều kiện: x
R. Phương tr
ình
(x
2
+ 8x + 7) (x
2
+ 8x + 15) = m
(1)
0.5
Đặt t = x2 + 8x + 16 = (x + 4)2, điều kiện t 0. (1) (t – 9) (t – 1) = m
t
2
–
10t +
9 = m (2), t
0
0.5
Xét hàm s
ố f(t) = t
2
–
10t + 9
, t
0
.
0.5
ĐÁP ÁN CHÍNH TH
ỨC
Phương trình (1) có nghiệm
(2) có nghiệm t
0
Đường thẳng y = m có điểm
chung v
ới
đ
ồ thị h
àm s
ố f(t) = t
2
–
10t + 9, t
0
m
-
16.
0.5
c) Điều kiện:
3 3 0
2 0
x y
x y
. Từ phương trình (1) (x – 1)3 = (y + 1)3 y = x – 2. 0.5
Với y = x – 2 thay vào (2), ta được:
9 4 1 3 2 3
x x x
9 4 1 3 2 4 1 3 2 ( 3) 4 1 3 2
x x x x x x x
4 1 3 2 9
x x
0.5
4 1 3 2 9 ( 4 1 5) ( 3 2 4) 0
x x x x
4 24 3 18 4 3
0 ( 6) 0
4 1 5 3 2 4 4 1 5 3 2 4
x x x
x x x x
0.5
x = 6, vì 4 3
0
4 1 5 3 2 4x x
. Vậy hệ có nghiệm (6; 4) 0.5
Câu 3
(6 điểm)
a) Gọi I là điểm thỏa mãn
4 2 0
IA IB IC
3 2 0
IA AB AC
ID
C
B
A
0.5
3 2
IA AC AB AD AB BD
1
3
IA BD

0.5
Với D là điểm thỏa mãn C là trung điểm của đoạn AD. Vì A, B, C cố định nên D cố
định, suy ra I cố định. 0.5
Suy ra M, N, I thẳng hàng hay MN đi qua điểm I cố định. 0.5
b) Áp dụng các: sin
2
a
A
R
;
2 2 2
cos
2
b c a
A
bc
;
4
abc
S
R
0.5
Suy ra:
2 2 2 2 2 2
cos
cot sin 4
A b c a b c a
Aabc
A S
R
0.5
Tương tự:
2 2 2
cot
4
a c b
B
S
;
2 2 2
cot
4
a b c
C
S
0.5
Suy ra:
cotA + cotB + cotC = a
2
+ b
2
+ c
2
.
0.5
c) Điểm M mằm trên trục hoành nên gọi M(m;0) ,
(1 ;2)
MA m ,
(4 ;3)
MB m 0.5
0
2 2 2 2
(1 )(4 ) 2.3
cos45
(1 ) 2 (4 ) 3
m m
m m
0.5
4 3 2 2 2
10 44 110 75 0 ( 6 5)( 4 15) 0
m m m m m m m m
0.5
m =1 ho
ặc m = 5 . Kết luận:
M(1;0) ho
ặc M(5;0).
0.5
Câu 4
G
ọi
2
x là s
ố ph
òng tr
ống (x
N, 0
x
< 16
). S
ố ph
òng cho thuê là 32
–
2
x; giá ti
ền
0.5
(2 điểm)
1 phòng
là:
(2000 + 200x) ngàn.
S
ố tiền thu đ
ư
ợc trong 1 tháng l
à: T = (32
–
2x)(2000 + 200x) ngàn
0.5
Áp dụng BĐT cosi, ta được: T = 400(16 – x)(10 + x)
2
16 10
400 67600
2
x x
0.5
Dấu bằng xảy ra khi x = 3, vậy để có thu nhập mỗi tháng cao nhất thì giá là
2.600.000đ/1 ph
òng.
0.5
Câu 5
(2 điểm)
Chứng minh BĐT: 1 1 1 9
x y z x y z
(*) với mọi x, y, z > 0. Đẳng thức xảy ra khi
x = y = z.
0.5
Chứng minh BĐT: 2
( )
3
3
x y z
xy yz zx
, đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1. 0.5
Khi đó: 2 2 2
1 1 1 2018
A
x y z xy yz zx xy yz zx xy yz zx
2 2 2
9 2018
x y z xy yz zx xy yz zx xy yz zx
2
9 2018 2021
( ) 3
x y z xy yz zx
0.5
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là
2021
3
. 0.5