SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH THUẬN
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề này có 01 trang)
KÌ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP 12 THPT
NĂM HỌC 2018 – 2019
Ngày thi: 18/10/2018
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (6,0 điểm).
a) Cho
x
và
y
là các số thực thỏa mãn
2 0.x y
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
2
2
2
2
.
x xy y
P
x xy y
b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để đồ thị hàm số
3 2
3 3
y x x mx m
có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục hoành.
Bài 2 (5,0 điểm).
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số
n
u
biết
và
1
2 5,
n
n
u u
*.n
b) Cho dãy số
n
v
thỏa mãn
1
1,
2018
v
1
2
2,
1 2018
n
n
n
v
v
v
*.
n
Chứng minh
rằng
*
1
, .
n
n
v v n
Bài 3 (4,0 điểm). Giải hệ phương trình
2 2
2 2 2 2
2 1
.
1 1
xy x y x y
x y y x x y x
Bài 4 (5,0 điểm). Cho tam giác
ABC
nhọn có
AB AC
và hai đường cao
,BE CF
cắt
nhau tại
.H
Các đường tròn
1,O
2
O
cùng đi qua
A
và theo thứ tự tiếp xúc với
BC
tại
, .B C
Gọi
D
là giao điểm thứ hai của
1
O
và
2.O
a) Chứng minh đường thẳng
AD
đi qua trung điểm của cạnh
;BC
b) Chứng minh ba đường thẳng
,EF
,BC
HD
đồng quy.
-------------- HẾT -------------
Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . .
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài Nội dung Điểm
1
6,0
a Ta có
2
2
1,
1
t t
P
t t
với
1.
2
x
ty
Xét hàm số
2
2
1
( )
1
t t
f t
t t
với
1.
2
t
Tính được
2
2 2
2 2
(t) ,
( 1)
t
ft t
( ) 0
1.
1
2
f t
t
t
Bảng biến thiên
Suy ra giá trị nhỏ nhất của
P
bằng
1
3
, không có giá trị lớn nhất.
0,5
0,5
1,0
0,5
0,5
b
Tập xác định
D
2
' 3 6 3y x x m
Yêu cầu bài toán
Phương trình
' 0
y
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
thỏa mãn
1 2
. 0.
y x y x
Phương trình
0
y
có hai nghiệm phân biệt
1 0
m
(*)
Khi đó đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị là
1 1 2 2
; , ; .A x y B x y
Ta có
1
. 2 1
3 3
x
y y m x
Do đó
1 1 1
2 1y y x m x
2 2 2
2 1y y x m x
2
1 2 1 2
. 0 4 1 . 0
y x y x m x x
1 2
. 0 0 0
x x m m
Kết hợp với điều kiện (*) ta có
0
m
thỏa mãn bài toán
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
0,25
2
5,0
a
*,
n
ta có
1 1
2 5 5 2 5
n n n n
u u u u
Đặt
*
5, .
n n
w u n
Khi đó
*
1
2 , .
n n
w w n
Do đó
n
w
là cấp số nhân có 1 1
5 7,
w u
công bội
2.
q
Suy ra
1 1 *
1
. 7.2 , .
n n
n
w w q n
Vậy
1 *
7.2 5, .
n
n
u n
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
b
Chứng minh được
*
0, .
n
v n
Khi đó
*
12
2 2 1
, .
1 2108 2 2018. 2018
n n
n
nn
v v
v n
vv
(1)
Mặt khác,
*,
n
ta có
2
3
12 2 2
1 2018
2 2018
0
1 2018 1 2018 1 2018
n n
n n n
n n n
n n n
v v
v v v
v v v
v v v
0,5
1,0
1,0
3
2 2
2 2 2 2
2 1 (1).
1 1 (2)
xy x y x y
x y y x x y x
4,0
Điều kiện
0
xy
Ta có 2
1 0,x x x
nên
0
y
không thỏa mãn (2). Do đó
0.
y
Suy ra
0
x
không thỏa mãn (1).
Nếu
,x y
cùng âm thì (1) vô lí. Do đó
,x y
cùng dương.
Suy ra
2 2
2
1
(2) 1 1 1
x x y y
x
2
2
1 1 1
1 1
y y y
x x x
(3)
Xét hàm số 2
( ) 1f t t t t
trên khoảng
0; .
Ta có
2
2
2
( ) 1 1 0, 0
1
t
f t t t
t
Suy ra
( )f t
đồng biến trên
0;

Do đó
1 1
(3) 1f f y y xy
x x
Thay
1xy
vào phương trình (1) ta được
2 2
2 2
2 1 1 1 0 1x y x y x y x y
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
; 1;1
x y
0,25
0,5
0,25
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
4
5,0
a Gọi
I
là giao điểm của
AD
và
.BC
Ta có
2 2
. .IB IA ID IC
Suy ra
.IB IC
Do đó
I
là trung điểm của
.BC
Hay đường thẳng
AD
đi qua trung
điểm
I
của
.BC
0,25
0,75
0,25
0,25
b
Chứng minh được
.BHC BDC
Suy ra tứ giác
BHDC
nội tiếp.
Chứng minh
AFHD
nội tiếp
Chứng minh , ,
EF BC HD
đồng qui
1,0
1,0
1,5
A
B C
E
F H D
I
K