{[[W+bz0FkV43GmRt7u4DpvuYxd]]}

{[[W+bz0FkV43GmRt7u4DpvuYxd]]}

{[[W+bz0FkV43GmRt7u4DpvuYxd]]}

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG NAM

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013 - 2014

ĐỀ CHÍNH THỨC

Ngày thi : 02/10/2013 Môn thi : TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

2

− −

Câu 1 (5,0 điểm).

a) Giải phương trình:

3x 2

+ = x 1 2x

− − . x 3

3

2

+

−

=

−

x

3x

− 13x 15

8 3

8 y

y

∈

b) Giải hệ phương trình:

.

(x, y

)

¡

2

2

2

+ =

+

y

4 5y (x

+ 2x 2)

    

Câu 2 (4,0 điểm).

=

u 1

a) Cho dãy số (un) xác định bởi:

+

∀ ∈

u

*

¥

    

2014 2013 2 = n

2u , n n

=

+

+

+

. . .

. Tính: limSn .

Đặt n S

2u + n 1 1 +

1 +

1 +

2

u

2

u

u 1

n

2

2 b) Tìm tất cả các hàm số f liên tục trên ¡ thỏa mãn:

f(3x – y + α) = 3f(x) – f(y), ∀ x, y ∈ ¡

trong đó α là số thực cho trước.

a) Cho tam giác ABC có diện tích bằng 1. Gọi M là điểm bất kỳ nằm trong mặt

+

+

T MA.h MB.h MC.h

b

a

c

Câu 3 (5,0 điểm). phẳng chứa tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: = (với ha, hb, hc lần lượt là độ dài các đường cao vẽ từ A, B, C).

b) Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định và đỉnh A thay đổi. Gọi H và G lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác ABC. Gọi E là điểm đối xứng với H qua G. Tìm tập hợp các điểm A, biết rằng điểm E thuộc đường thẳng BC.

Câu 4 (3,0 điểm).

a) Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c sao cho:

a + 2b = c và a3 + 8b3 = c2 .

b) Cho đa thức f(x) có bậc n > 1, có các hệ số đều là các số nguyên và thỏa mãn

điều kiện f(a + b) = a.b, với a, b là hai số nguyên cho trước (a, b khác 0).

Chứng minh rằng f(a) chia hết cho b và f(b) chia hết cho a.

Câu 5 (3,0 điểm).

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a.b.c = 8. Chứng minh rằng với mọi k ∈ ¥ *, ta có:

k

k

k

2

2

2

.

− k 1

− k 1

− k 1

− k 1

− k 1

− k 1

2

4

2

2

2

4

2

2

2

4

2

2

2 b )(a

4 b )...(a

2 c )(b

4 c )...(b

2 a )(c

4 a )...(c

------------- Hết -------------

a b c + + ≥ 3 − k 1 2 + + + + + + + + + + + (a b)(a b ) + (b c)(b c ) (c a)(c a )