UBND HUYỆN KỲ ANH
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2022 - 2023
Môn: Toán 7
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: Tìm x biết
a)
15 22 14 4
: :13
23 7 11 5
xx−−
=
b)
1 1 11
2 2 42
x− ≤− −
Bài 2:
a) Tìm x, y, z biết:
10 6 5xyz= =
và
2 3 32
23 4
xy z
zx
−−
=
+
b) Tìm các hệ số a, b biết rằng đa thức
32
33ax bx x+ −+
chia cho
( )( )
11xx−+
được dư là 7.
Bài 3: Ba anh An, Bình, Dũng cùng góp vốn để thành lập công ty với tổng số tiền góp là
294 triệu đồng. Biết rằng
số tiền anh An góp bằng
1
8
số tiền anh Bình góp;
1
10
số tiền
anh Dũng góp bằng
1
12
số tiền anh An góp.
a) Tính số tiền góp của mỗi người.
b) Theo thỏa thuận, lợi nhuận được chia theo tỷ lệ góp vốn. Năm 2022 lợi nhuận thu
về của công ty là 120 triệu đồng. Em hãy tính số tiền lợi nhuận mà mỗi người nhận được
trong năm 2022.
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường phân giác AD. Lấy điểm E trên tia đối của
tia CA sao cho CE=CA. Qua điểm B, kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng
DE tại F.
a) Chứng minh rằng tam giác ABF cân.
b) Tính số đo góc DAF?
c) Tính tỷ số diện tích tam giác CDE và tam giác ADF?
Bài 5: Tìm số nguyên x, y thõa mãn:
( )
22
57
32
xy
−−
=
---Hết---
Họ và tên: ………………………………………….; SBD: …………..
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM HSG TOÁN 7
Bài
Gợi ý đáp án
Điểm
Bài 1
4 đ
a)
15 22 14 4 22 14 15 69
: :13
23 7 11 5 7 11 23 5
x x xx− − −−
= ⇒⋅ =⋅
22
9
49 4
xx⇒− ⋅ =− ⇒ =
⇒
3
2
x=
hoặc
3
2
x−
=
3
b)
1111 11 1 111 11
2242 22 4 224 24
x x xx
−
−≤−−⇒−≤− ⇒−≤−⇒−≤
1 11
4 24
x
−
⇒ ≤− ≤
13
44
x
⇒ ≤≤
1
Bài 2
4 đ
a)
( ) ( )( )
2 3 32 4 2 3 2 332
23 4
xy z xx y z z
zx
−−
= ⇒ −=+ −
+
2 22 2
9
8 12 9 4 2 3 2
x xy z x xy z⇒ − =− ⇒ − +=
10 6 5 356
xyz
xyz= = ⇒==
2 22 22 2
2 3 23 9 1
:9
9 15 36 18 45 36 18 45 36 4 4
x xy z x xy z x xy z−+
⇒=== = == = =
−+
29
4
x⇒=
⇒
3
2
x=
hoặc
3
2
x−
=
TH1:
35
6 5 15 ; 3
22
x yz y z=⇒ = = ⇒= =
TH2:
35
6 5 15 ; 3
22
x yz y z
−−
= ⇒ = =− ⇒= =−
2
b) Gọi q(x) là thương của phép chia đa thức
32
33ax bx x+ −+
cho
( )( )
11xx−+
. Ta có:
( )
32
3 3 1 ( 1) ( ) 7ax bx x x x q x+ − += − + +
Thay
1x=
vào ta được:
7ab+=
Thay
1x= −
vào ta được:
1ba−=
Suy ra:
3; 4ab= =
2
Bài 3
4 đ
a) Gọi số tiền ba anh An, Bình, Dũng góp lần lượt lá a (triệu đồng), b
(triệu đồng), c (triệu đồng). Ta có:
294
;3
9 8 10 12 36 32 30 98 98
a bc a a b c abc++
= =⇒=== = =
108; 96; 90a bc⇒= = =
2
b) Tỷ lệ góp vốn của anh An, Bình và Dũng lần lượt là:
108 36,7%
294 ≈
;
96 32,7%
294 ≈
90 30,6%
294 ≈
Số tiền lợi nhuận mà anh An, Bình và Dũng:người nhận được lần lượt là:
36,7% 120 44,04⋅=
(triệu đồng);
32,7% 120 39,24⋅=
(triệu đồng);
30,6% 120 36,72⋅=
(triệu đồng);
2
Bài 4
6đ
a)
()ADB ADC c g c DB DC∆ =∆ −− ⇒ =
Xét 2 tam giác
DCE∆
và
DBF∆
có :
CDE BDF=
(đối đỉnh)
DB DC=
(Chứng minh trên)
DCE DBF=
(
CE BF
)
(1)DCE DBF CE BF∆ =∆ ⇒=
+
( ) (2)CE CA gt CE BA= ⇒=
Từ (1) và (2) suy ra:
BF BA= ⇒
tam giác ABF cân tại B
2
b)
( ) ()CAB ABF AC BF ABC BAF c g c= ⇒∆ =∆ − −
ABC BAF BC AF⇒=⇒
. Mà
0
90AD BC AD AF DAF⊥⇒⊥⇒ =
2
c) Ta có:
(3)
CDE ACD
SS=
( Hai tam giác có chung đường cao kẻ từ đỉnh
D và có 2 cạnh đáy CE=CA)
+
(4)
1
2
ACD ABC
SS= ⋅
( Hai tam giác có chung đường cao AD và có cạnh
đáy
1
2
DC BC= ⋅
)
Chứng minh được
(5)
ADF ABF ABC
SSS= =
Từ (3), (4), (5) suy ra:
11
22
CDE
CDE ADF
ADF
S
SS
S
=⋅⇒ =
2
Bài 5
2đ
( ) ( )
( )
( )
2222
22
572537 253 21
32
xyx yx y
−−
= ⇒−=−⇒−+=
Vì:
( )
2
2
3 3; 21 3 2 5 3yx⇒−
; mà
( ) ( ) ( )
2
2,3 1 5 3 5 3xx=⇒− ⇒−
Đặt
( )
5 3 ;( )x kk Z−= ∈
ta có:
( )
22 22
2 3 3 21 6 7k y ky+ =⇒ +=
:
0k
=
không thõa mãn.
Vậy
0k≠
,
kZ∈
2 22
6 6 7 1; 1k ky⇒≤ <⇒ = =
+
1 53 8kx x=⇒−=⇒=
+
1 53 2kx x=−⇒ − =−⇒ =
Vây có 4 cặp số x,y gồm (2; 1); (2; -1); (8; 1); (8; -1)
2
Lưu ý: Mọi cách giải đúng đều cho điểm tối đa.