UBND HUYỆN CẨM GIÀNG
PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO
ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2019- 2020
MÔN: TOÁN LỚP 8
Thời gian: 150 phút
(Đề gồm 01 trang)
Câu1. (2,0 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử
x 2 x 3 x 4 x 5 120
b) Rút gọn biểu thức:
2
2
x 2 1 10 x
A : x 2
x 4 2 x x 2 x 2






rồi tìm x
sao cho
AA
Câu 2. (2,0 điểm) Giải các phương trình sau:
a)
x x+1 x+2 x+3
+ + + =x +2016
2020 2019 2018 2017
b)
2
3x 4 x 1 6x 7 6
Câu 3 (2,0 điểm)
a) Tìm x, y nguyên dương biết: x2 - y2 + 2x - 4y – 10 = 0
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì
B = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh:
AE AB
AF AC
; và
.
b) Gọi M là điểm đối xứng của H qua D. Giao điểm của EF với AM là N.
Chứng minh: HN.AD=AN.DM.
c) Gọi I và K lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC. Chứng minh ba điểm
I, D, K thẳng hàng.
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca = abc. Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức: P =
1 1 1
a b c
bc a ca b ab c

---------------------Hết-----------------------
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
CẨM GIÀNG
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC: 2019 - 2020
MÔN: TOÁN 8
Hướng dẫn chấm gồm 04 trang
Câu
Nội dung
Điểm
1
(2 điểm)
a) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 120
= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 120
0,25
= [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 120
= (x2 + 7x + 11)2 - 112
0,25
= (x2 + 7x )( x2 + 7x + 22)
0,25
= x(x + 7)( x2 + 7x + 22)
0,25
b)
2
2
x 2 1 10 x
A : x 2
x 4 2 x x 2 x 2






2
x 2(x 2) x 2 (x 2)(x 2) 10 x
A:
(x 2)(x 2) x 2
0,25
22
x 2x 4 x 2 x 4 10 x
A:
(x 2)(x 2) x 2
6 x 2 1
A(x 2)(x 2) 6 x 2
0,25
Vậy
1
Ax2
với x
2
0,25
1
A A A 0 0 x 2 0 x 2
x2
0,25
2
(2 điểm)
a)
x x+1 x+2 x+3
+ + + =x +2016
2020 2019 2018 2017
x x+1 x+2 x+3
+1+ +1+ +1+ +1=x +2016+4
2020 2019 2018 2017
0,25
x+2020 x+2020 x+2020 x+2020
+ + + =x +2020
2020 2019 2018 2017
1 1 1 1
( 2020)( + + + 1) 0
2020 2019 2018 2017
x
0,25
x + 2020 = 0 vì
1 1 1 1
+ + + 1 0
2020 2019 2018 2017 
0,25
x = -2020
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x=- 2020.
0,25
b)
2
(3x 4)(x 1)(6x 7) 6
2
(6x 8)(6x 6)(6x 7) 72 (*)
0,25
Đặt 6x + 7 = t, ta có:
(*)
2 4 2
(t 1)(t 1)t 72 t t 72 0 t 3
0,25
- Với t = 3, ta có
2
6x 7 3 x 3
0,25
- Với t = -3, ta có
5
6x 7 3 x 3
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
25
x ;x
33


0,25
3
(2 điểm)
a) x2 - y2 + 2x - 4y - 10 = 0
(x2 + 2x + 1) - (y2 + 4y + 4) – 7 = 0
0,25
(x+1)2 - (y + 2)2 = 7
(x – y - 1)(x + y + 3) = 7
0,25
Vì x, y nguyên dương nên x + y + 3 > x – y – 1 > 0
x + y + 3 = 7 và x – y – 1 = 1
0,25
x = 3 ; y = 1
Vậy phương trình có nghiệm dương duy nhất (x,y) =(3;1)
0,25
b) Ta có B = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
= (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4
0,25
Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t
Z) thì
B = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2
0,25
= (x2 + 5xy + 5y2)2
V ì x, y, z
Z nên x2
Z, 5xy
Z, 5y2
Z
x2 + 5xy + 5y2
Z
0,25
Vậy B là số chính phương.
0,25
4
(3 điểm)
Vẽ hình đúng phần a :
0,25
a) Xét AEB và AFC có :
EAB
chung
0
AEB AFC( 90 )
0,25
Do đó AEB AFC( g.g)
AE AB
AF AC

0,25
Xét AEF và ABC có :
BAC
chung
AE AF
AB AC
(vì
AE AB
AF AC
)
Do đó AEF ABC (c.g.c)
AEF ABC
0,25
Chứng minh tương tự ta được :
CED CBA
. Do đó :
AEF CED
0,25
b) Vì
0
BEF AEF BED CED 90
nên
EB là tia phân
giác của góc DEF
Tam giác NED có EH là tia phân giác của
DEN
nên:
HN EN
HD ED
(1)
0,25
Vì EA
EH nên EA là tia phân giác ngoài tại đỉnh E của DEN.
AN EN
AD ED

(2)
0,25
N
M
K
I
H
F
E
D
C
B
A
Từ ( 1) và (2) suy ra :
HN AN
HD AD
, mà HD=DM ( Do M là điểm đối xứng của
H qua D)
0,25
Nên
HN AN HN.AD AN.DM
DM AD
0,25
c)
HN AN AN HN AH AN AH
DM AD AD DM AM AD AM
AMI
có HF//MI( cùng
AB
)
AF AH
AI AM

(định lí Ta lét),
0,25
Mà
AN AH
AD AM
nên
AF AN
AI AD
FN / /ID
(định lí Ta lét đảo (3))
0,25
AMK
có HE//MK (cùng
AC
)
AE AH
AK AM

(định lí Ta lét),
AIK
có
AF AH AE IK / /FE
AI AM AK
( Định lí Ta lét đảo) (4)
Từ (3) và (4) suy ra I, K, D thẳng hàng
0,25
5
(1 điểm)
Chứng minh được
4 1 1
m n m n

với mọi m, n dương.
Dấu bằng xảy ra khi m = n.
0,25
Áp dụng ta có:
11
14
a a a a
bc a abc bc ab bc ca bc ab bc ca bc



;
dấu bằng xảy ra khi b = c
0,25
Tương tự:
11
14
bb
ca b ab ca bc ca




dấu bằng xảy ra khi c = a
11
14
cc
ab c ab bc ca ab




dấu bằng xảy ra khi a = b
Suy ra
0,25