S GIÁO D C VÀ ĐÀO T OỞ Ụ Ạ
THANH HOÁ
Đ THI CHÍNH TH CỀ Ứ
K THI CH N H C SINH GI I C P T NHỲ Ọ Ọ Ỏ Ấ Ỉ
Năm h c 2013 - 2014ọ
Môn thi: TOÁN - L p 9 THCSớ
Th i gian: ờ150 phút (không k th i gian giao để ờ ề)
Ngày thi: 21/03/2014
(Đ thi có 01 trang, g m 05 câu)ề ồ
Câu I (4,0 đi mể): Cho bi u th c ể ứ
xy x xy x
x 1 x 1
A 1 : 1
xy 1 1 xy xy 1 xy 1
+ +
+ +
= + + − −
+ − − +
.
1. Rút g n bi u th c A.ọ ể ứ
2. Cho
1 1 6
x y
+ =
. Tìm giá tr l n nh t c a A.ị ớ ấ ủ
Câu II (5,0 đi mể).
1.Cho ph ng trình ươ
04222 22 mmxmx
. Tìm
m
đ ph ng trình ể ươ
có hai nghi m th c phân bi t ệ ự ệ
1
x
,
2
x
th a mãn ỏ
mxx
xx 15
112
21
2
2
2
1
.
2. Gi i h ph ng trình ả ệ ươ
4 4 4
1x y z
x y z xyz
+ + =
+ + =
.
Câu III (4,0 đi mể).
1. Tìm t t c các c p s nguyên d ng (a; b) sao cho (a + bấ ả ặ ố ươ 2) chia h t cho (aế2b – 1).
2. Tìm
th a mãn ỏ
zyx 32
.
Câu IV (6,0 đi mể): Cho n a đng tròn tâm O đng kính AB. ử ườ ườ M t đi m C c đnh thu c đo nộ ể ố ị ộ ạ
th ng AO (C khác A và C khác O). Đng th ng đi qua C và vuông góc v i AO c t n a đng trònẳ ườ ẳ ớ ắ ử ườ
đã cho t i D. Trên cung BD l y đi m M (M khác B và M khác D). Ti p tuy n c a n a đng trònạ ấ ể ế ế ủ ử ườ
đã cho t i M c t đng th ng CD t i E. G i F là giao đi m c a AM và CD. ạ ắ ườ ẳ ạ ọ ể ủ
1. Ch ng minh tam giác EMF là tam giác cân.ứ
2. G i I là tâm đng tròn ngo i ti p tam giác FDM. ọ ườ ạ ế Ch ng minh ba đi m D, I, B th ng hàng.ứ ể ẳ
3. Ch ng minh góc ABI có s đo không đi khi M di chuy n trên cung BD.ứ ố ổ ể
Câu V (1,0 đi mể): Cho x, y là các s th c d ng tho mãn x + y = 1. ố ự ươ ả
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c ị ỏ ấ ủ ể ứ
3 3
1 1
Bxy
x y
= +
+
.
----- H T -----Ế
Thí sinh không đc s d ng tài li u.ượ ử ụ ệ Cán b coi thi không gi i thích gì thêmộ ả
S báo danhố
........................
CâuÝL i gi i (ờ ả v n t tắ ắ )Đi mể
I
(4,0đ)
1
(2,5đ)
Đi u ki n: ề ệ
xy 1
.0,25
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
x 1 1 xy xy x xy 1 xy 1 1 xy
A :
xy 1 1 xy
+ − + + + + + −
=+ −
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
xy 1 1 xy xy x xy 1 x 1 1 xy
xy 1 1 xy
+ − + + + − + − =
+ −
0,50
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
x 1 1 xy xy x xy 1 xy 1 1 xy
xy 1 1 xy xy x xy 1 x 1 1 xy
+ − + + + + + −
= =
+ − + + + − + −
0,50
1 x 1
x y xy xy
+
= =
+
.1,25
2
(1,5đ)Theo Côsi, ta có:
1 1 1 1
6 2 9
x y xy xy
= +
.0,50
D u b ng x y ra ấ ằ ả
1 1
x y
=
x = y =
1
9
. 0,50
V y: maxA = 9, đt đc khiậ ạ ượ : x = y =
1
9
.0,50
II
(5,0đ)
1
(2,5đ)
PT đã cho có hai nghi m phân bi t co điêu kiên: ệ ệ !
0'
00422 2
2 mmmm
(*)
0,50
V i ớ
0
m
theo Vi-et ta có:
42.
24
2
21
21
mmxx
mxx
.
0,25
Ta có
mxx
xxxx
mxx
xx 15
11
2
2
15
112
21
21
2
21
21
2
2
2
1
(1)
0,50
mmmmm 15
1
42
1
46
1
22
0,50
15
1
2
4
1
6
4
1
m
m
m
m
. Đt ặ
t
m
m 4
do
0
m
0
t
0,50
Ta cos (1) tr thành ở
4
12
4
15
1
2
1
6
1
t
t
t
tt
( do
0t
)
0,50
V i ớ
4
t
ta có
24
4 m
m
m
th a mãn (*)ỏ0,25
S GIÁO D C VÀ ĐÀO T OỞ Ụ Ạ
THANH HOÁ
H NG D N CH MƯỚ Ẫ Ấ
Đ THI CHÍNH TH CỀ Ứ
K THI CH N H C SINH GI I C P T NHỲ Ọ Ọ Ỏ Ấ Ỉ
Năm h c 2013 - 2014ọ
Môn thi: TOÁN - L p 9 THCSớ
Th i gian: ờ150 phút (không k th i gian giao để ờ ề)
Ngày thi: 21/03/2014
(H ng d n ch m g m 04 trang)ướ ẫ ấ ồ
2
(2,5đ)
Ta có:
4 4 4 4 4 4
4 4 4
2 2 2
x y y z z x
x y z + + +
+ + = + +
2 2 2 2 2 2
x y y z z x+ +
=
=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
x y y z y z z x z x x y xyyz yzzx zxxy
+ + +
+ + + +
=
= xyz (x + y + z) = xyz ( vì x + y + z = 1).
0,50
0,50
0,50
D u b ng x y ra ấ ằ ả
1
13
x y z x y z
x y z
= =
= = =
+ + =
V y nghi m c a h ph ng trình là: ậ ệ ủ ệ ươ
1 1 1
; ;
3 3 3
x y z
= = =
0,50
III
(4,0đ)
1
(2,0đ)
Gi s (a + bả ử 2) (a2b – 1), t c là: a + bứ2 = k(a2b – 1), v i k ớ *
a + k = b(ka2 – b) a + k = mb (1)
đó m Ở mà: m = ka2 – b m + b = ka2(2) 0,50
T (1) và (2) suy ra: (m – 1)(b – 1) = mb – b – m + 1 ừ
(m – 1)(b – 1) = (a + 1)(k + 1 – ka) (3)
Do m > 0 (đi u này suy ra t (1) do a, k, b > 0) nên m ề ừ 1 (vì m ).
Do b > 0 nên b – 1 0 (do b ) (m – 1)(b – 1) 0.
Vì th t (3) suy ra: (a + 1)(k + 1 – ka) ế ừ 0. 0,50
L i do a > 0 nên suy ra: k + 1 – ka ạ 0 k + 1 ka 1 k(a – 1)
(4)
Vì a – 1 0 (do a , a > 0) và k , k > 0 nên t (4) có:ừ
a 1
k(a 1) 0 a 2
k(a 1) 1 k 1
=
− =
=
− =
=
0,25
- V i a = 1. Thay vào (3) ta đc: (m – 1)(b – 1) = 2 ớ ượ
m 1 2
b 1 1 b 2
b 3
m 1 1
b 1 2
− =
− = =
=
− =
− =
V y, tr ng h p này ta có: a = 1, b = 2 ho c a = 1, b = 3.ậ ườ ợ ặ 0,25
- V i a = 2 (vì k = 1). Thay vào (3) ta có: (m – 1)(b – 1) = 0 ớ
b 1
m 1
=
=
.
Khi b = 1, ta đc: a = 2, b = 1.ượ
Khi m = 1: T (1) suy ra a + k = b ừ b = 3. Lúc này đc: a = 2, b = 3.ượ 0,25
Tóm l i, có 4 c p s (a; b) th a mãn bài toán là: (1; 2), (1; 3), (2; 3), (2;ạ ặ ố ỏ
1). 0,25
2
(2,0đ)Ta có
zyx 32
yzzyx 232
yzzyxzyxyzzyx 41234232 2
(1)
0,50
TH1. N u ế
0 zyx
Ta có
zyx
zyxyz
4
124
3
2
(2) vô lý
( do
nên v ph i c a (2) là s h u t ).ế ả ủ ố ữ ỷ
0,50
TH2.
0 zyx
khi đó
3
0
1yz
zyx
(3) 0.50
Gi i (3) ra ta đc ả ượ
3
1
4
z
y
x
ho c ặ
1
3
4
z
y
x
th l i th a mãnử ạ ỏ 0,50
IV
(6,0đ) 1
(2.5đ)
2
(2.5đ)
D
E
M
I
H
F
C
O
B
A
Ta có M thu c đng tròn tâm O đng kính AB (gi thi t) nênộ ườ ườ ả ế
ﾷ
0
AMB 90=
(góc n i ti p ch n n a đng tròn)ộ ế ắ ử ườ
hay
ﾷ
0
FMB 90=
.
M t khác ặ
ﾷ
0
FCB 90=
(gi thi t).ả ế Do đó
ﾷ
ﾷ
0
FMB FCB 180+ =
.
Suy ra BCFM là t giác n i ti p ứ ộ ế
ﾷ
ﾷ
( )
CBM EFM 1 =
(vì cùng bù v iớ
ﾷ
CFM
).
M t khác ặ
ﾷ
ﾷ
( )
CBM EMF 2=
(góc n i ti p; góc t o b i ti p tuy n và dây ộ ế ạ ở ế ế
cung cùng ch n ắ
ﾷ
AM
). T (1) và (2) ừ
ﾷ
ﾷ
EFM EMF =
.
Suy ra tam giác EMF là tam giác cân t i E.ạ
(Co thê nhân ra ngay
ﾷ
ﾷ
ﾷ
EMF MBA MFE= =
nên suy ra EMF cân)
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
G H là trung đi m c a DF. Suy ra ọị ể ủ
IH DF⊥
và
ﾷ
ﾷ
( )
DIF
DIH 3
2
=
.
Trong đng tròn ườ
( )
I
ta có:
ﾷ
DMF
và
ﾷ
DIF
l n l t là góc n i ti p và ầ ượ ộ ế
góc tâm cùng ch n cung DF. Suy ra ở ắ
ﾷ
ﾷ
1
DMF DIF
2
=
(4).
T (3) và (4) suy ra ừ
ﾷ
ﾷ
DMF DIH=
hay
ﾷ
ﾷ
DMA DIH=
.
0,50
0,50
Trong đng tròn ườ
( )
O
ta có:
ﾷ
ﾷ
DMA DBA=
(góc n i ti p cùng ch n ộ ế ắ
ﾷ
DA
)
Suy ra
ﾷ
ﾷ
DBA DIH=
.
Vì IH và BC cùng vuông góc v i EC nên suy ra IH // BC. Do đóớ
ﾷ
ﾷ
o
DBA HIB 180+ =
ﾷ
ﾷ
o
DIH HIB 180 + =
Ba đi m D, I, B th ng ể ẳ
hàng.
0,50
0,50
0,50
Vì ba đi m D, I, B th ng hàngể ẳ
ﾷ
ﾷ
ABI ABD = =
1
2
sđ
ﾷ
AD
.
Mà C c đnh nên D c đnh ố ị ố ị
1
2
sđ
ﾷ
AD
không đi.ổ
Do đó góc ABI có s đo không đi khi M thay đi trên cung BD.ố ổ ổ
0,50
0,50
V(1đ)
Ta có:
3
1 2xy
1 1 1 1
Bxy 1 3xy xy xy(1 3xy)
(x y) 3xy(x y)
−
= + = + =
− −
+ − +
.
Theo Côsi:
2
(x y) 1
xy 4 4
+
=
.
0.25
G i Bọo là m t giá tr c a B, khi đó, ộ ị ủ x, y đ: ể
o
1 2xy
Bxy(1 3xy)
−
=−
3Bo(xy)2 – (2 + Bo)xy + 1 = 0 (1)
Đ t n t i x, y thì (1) ph i có nghi m xy ể ồ ạ ả ệ = Bo2 – 8Bo + 4 0
o
o
B 4 2 3
B 4 2 3
+
−
0.25
Đ ý r ng v i gi thi t bài toán thì B > 0. ể ằ ớ ả ế Do đó ta có:
o
B 4 2 3 +
.
V i ớ
( ) ( )
o
o
o
2 B 3 3 3 3
B 4 2 3 xy x(1 x)
6B 6 2 3 6 2 3
++ +
= + = = − =
+ +
( )
2
2 3 2 3
1 1 1 1
3 3
x , x
3 3
x x 0
32
6 2 2
+
+
− + = − −
+
−
= =
.0.25
V y, ậ
min
B 4 2 3= +
, đt đc khi ạ ượ
2 3 2 3
1 1 1 1
3 3
x , y
2 2
+ − − −
= =
ho c ặ
2 3 2 3
1 1 1 1
3 3
x , y
2 2
− − + −
= =
.0.25
Chú ý:
1) N u h c sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nh ng đúng thì cho đ s đi m t ngế ọ ư ủ ố ể ừ
ph n nh h ng d n quy đnh.ầ ư ướ ẫ ị
2) Vi c chi ti t hóa (n u có) thang đi m trong h ng d n ch m ph i b o đm không làm saiệ ế ế ể ướ ẫ ấ ả ả ả
l ch h ng d n ch m và ph i đc th ng nh t th c hi n trong t ch m.ệ ướ ẫ ấ ả ượ ố ấ ự ệ ổ ấ
3) Đi m bài thi là t ng đi m không làm tròn.ể ổ ể