SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
PHÚ THỌ THI VMO NĂM HỌC 2021-2022
MÔN TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút
Ngày thi 25/09/2021
Thời gian làm bài :180 phút
Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng
Ngãi.Điện thoại : 0708127776
Bài 1.(5đ). Cho dãy số
0
()
nn
x
xác định bởi
2
01
0;1 , , 0
n n n
x x x x n
a.Chứng minh
 lim 1
n
n
nx
b.Tìm giới hạn

(1 )
lim ln
n
n
n nx
n
Bài 2.(5đ). Cho các số thực dương a,b,c thỏa abc=1chứng minh



111
3 2( )
a b c b c a a b c
b c a a b c b c a
Bài 3.(5đ). Cho tam giác nhọn ABC có 3 đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại trực tâm
H.Lấy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và M là trung điểm đoạn BC.Gọi K
là giao điểm của MH và AB,L là giao điểm của AO với BH.Chứng minh KL đi qua trung
điểm đoạn EF.
Bài 4.(5đ). Cho a,b,c,d là các số nguyên dương và gcd(a,b)=1.chứng minh
gcd( , ) gcd( , )
gcd( , )
m m n n m n m n
a b a b a b
ở đây gcd(x,y) là ước chung lớn nhất của hai số
nguyên x và y.
Bài 5.(7đ). Cho dãy số
0
nn
a
nguyên có tính chất với mọi số tự nhiên m,đa thức
1
1 1 0
( ) ...
mm
m m m
P x a x a x a x a
có m nghiệm thực chứng minh
Bài 6.(7đ). Cho tam giác nhọn ABC và D,E,F lần lượt là chân đường cao hạ từ A,B,C.Gọi
tâm đường tròn nội tiếp tam giác AEF và BDF tương ứng
12
,II
.Tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác
12
,ACI BCI
lần lượt là
12
,OO
a.Chứng minh các điểm
12
, , ,A B I I
thuộc 1 đường tròn
b.Chứng minh
12
II
song song
12
OO
Bài 7.(6đ). Cho n số nguyên dương tìm số hoán vị
12
, ,..., n
a a a
của dãy 1,2,...,n
thỏa