SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HSG QUỐC GIA
ĐỒNG THÁP
NĂM HỌC 2021 - 2022
Đề chính thức
Môn: TOÁN ( CHUYÊN) (15/9/2021)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Tên: TRƢƠNG QUANG AN
Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi
Điện thoại : 0353276871.
Bài 1: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn
3 3 3
1, 11x y z x y z
a) Biểu diễn zx theo y
b) Chứng minh rằng trong 3 số x,y,z có ít nhất 1 số thuộc đoạn [−2,−1]
Bài 2: Cho a,b,c là các số nguyên dƣơng, trong đó a,b nguyên tố cùng nhau và
bc
ca
là số nguyên. Chứng minh rằng a là số chính phƣơng
Bài 3: Cho dãy số
( )
nn
a
đƣợc xác định nhƣ sau
01
21
1, 13
14 ,
n n n
aa
a a a n N


a) Chứng minh rằng
21
n
a
là số chính phƣơng với mọi số tự nhiên n
b) Chứng minh rằng
n
a
luôn đƣợc viết dƣới dạng tổng bình phƣơng của 2 số tự
nhiên với mọi số tự nhiên n
Bài 4: Tìm tất cả hàm số lẻ
:f
thỏa mãn
( ( ) ) 2 ( ( )), ,f f x y x f x f y x y
.
Bài 5: Cho hai đƣờng tròn
cắt nhau tại A,B sao cho tam
giác
12
AO O
vuông tại A. Tia
12
OO
cắt đƣờng tròn
2
( )O
tại E,F và cắt đƣờng
tròn
1
( )O
tại D. Điểm M thay đổi trên đƣờng tròn
1
( )O
và không thuộc đƣờng
thẳng
12
OO
. Kẻ đƣờng kính MP của
1
( )O
.Tia
2
MO
cắt đƣờng tròn
1
( )O
tại điểm thứ 2
là NN. Tia
2
O P
cắt đƣờng tròn
1
( )O
tại điểm thứ 2 là Q. Chứng minh rằng :
a) MD là phân giác của góc EMF
b) MP,NQ,AB đồng quy hoặc đôi một song song
c) NQ luôn đi qua 1 điểm cố định
Bài 6: Có 2021 viên bi, đựng trong 100 cái hộp. Mỗi lần, cho phép lấy 2 viên bi, 2
viên bi đó thuộc vào tối đa 2 hộp và bỏ chúng vào 1 hộp khác. Chứng minh rằng sau
một số bƣớc có thể bỏ tất cả các viên bi vào cùng 1 hộp.