PHÒNG GD - ĐT CẨM GIÀNG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP
HUYỆN
NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn: Toán 9
Sưu tầm: Phạm Văn Cát
THCS Cẩm Định Cẩm Giàng
HD
Thời gian làm bài:150 phút
(Đề thi gồm 01 trang
Ngày thi 16-10-2013
Câu 1( 2 điểm)
a)Cho biểu thức: A = (x2 - x - 1 )2 + 2013
Tính giá trị của A khi x =
33
3 1 1 3 1 1
b) Cho (x +
22013x
).(y +
22013y
)=2013. Chứng minh x2013+ y2013=0
Câu 2 ( 2 điểm)
a) Giải phương trình: x2+ 5x +1 = (x+5)
21x
b) Chứng minh
, với a, b, c>0
Câu 3 ( 2 điểm)
a) Tìm số dư của phép chia đa thức (x+2) (x+4) (x+6) (x+8) +2013 cho đa thức
x2+10x+21
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3y2+x2+2xy+2x+6y+2017
Câu 4 ( 3 điểm)
1)Cho tam giácABC, Â= 900, AB < AC, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt
là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh:
a) DE2=BH.HC
b) AH3=BC.BD.CE
2)Cho tam giác ABC, BC= a, AC=b, AB=c. Chứng minh
Â
sin 2
a
bc
Câu 5( 1 điểm)
Cho a, b, c là 3 cạnh một tam giác. Chứng minh:
1 1 1 1 1 1
a b c b c a c a b a b c
.................... Hết ...............
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9
Câu
Nội dung
Biểu
điểm
1
a)
b)
x =
33
3 1 1 3 1 1
=
3( 3 1 1) 3( 3 1 1)
3 1 1

=
3( 3 1 1 3 1 1) 2 3 2
3 1 1 3


Thay x = 2 vào biểu thức A ta có:
A = (22 – 2 – 1)2 + 2013 = 1 + 2013 = 2014
Vậy khi x =
33
3 1 1 3 1 1
thì giá trị của biểu thức A là 2014
-----------------------------------------------------------------------------------
(x +
22013x
).(y +
22013y
)=2013
(x -
22013x
)(x +
22013x
).(y +
22013y
)=2013(x -
22013x
)
-2013.(y +
22013y
)=2013(x -
22013x
)
-y -
22013y
=x -
22013x
Tương tự: -x -
22013x
= y -
22013y
x+y =0
x =-y
x2013+ y2013=0
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2
a)
b)
x2+ 5x +1 = (x+5)
21x
x2+1 + 5x = (x+5)
21x
x2+1 + 5x - x
21x
- 5
21x
=0
21x
(
21x
-x) +5(x-
21x
)=0
(
21x
-x) (
21x
- 5) = 0
(
21x
-x) = 0 hoặc (
21x
- 5) = 0
21x
=x hoặc
21x
= 5
x2+ 1 = x2 (không có x thỏa mãn), hoặc x2+ 1 = 25
x2 = 24
x =
24
Vậy nghiệm của PT là x =
24
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
3
Ta có
()
2
b c a b c a
 
()
2
b c a
b c a
aa


2
b c a b c
aa

2aa
bc abc
Tương tự:
2bb
a c a b c
,
2ca
b a a b c
2( ) 2
()
a b c a b c
b c a c b a a b c

Dấu bằng xảy ra khi b+c =a, c + a =b, a+ b= c (Điều này không có)
Vậy
0,25
0,25
0,25
0,25
4
a)
b)
(x+2) (x+4) (x+6) (x+8) +2013 =( x2+10x+16)( x2+10x+24) +2013
=( x2+10x+21- 5).( x2+10x+21+3) +2013
=( y- 5).( y+3) +2013, đặt y = x2+10x+21
= y2- 2y+1998 chia cho y dư 1998
(x+2) (x+4) (x+6) (x+8) +2013 cho đa thức x2+10x+21dư 1998
A= 3y2+x2+2xy+2x+6y+2017
= (y+x+1)2+2(1+y) 2+2014
Vậy minA = 2014 khi y =-1 và x =0
0,5
0, 5
0,5
0,5
5
a)
b)
Vì D, E là hình chiếu của H trên AB, AC, nên DH
AB, HE
AC
Tứ giácADHE có
DAE
=90 0,
ADH
=90 0,
AEH
=90 0
Tứ giácADHE là hình chữ nhật
AH = DE, mà AH2=BH.HC nên DE2=BH.HC
Ta có AH2=BH.HC
AH3=BH.HC.AH
AH.CB = AB.AC, BA2=BH.BC, AC2=CH.BC
AH3=BC.BD.CE
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
E
D
C
H
B
A
Vẽ đường phân giác AD của tam giác ABC
Ta có
BD DC
AB AC
BD DC
AB AC
=
BD DC CB a
AB AC AB AC b c

Vẽ BI
AD
BI
BD
Ta có
Â
sin 2
BI
AB
Â
sin 2
BD
AB AC
. Vậy
Â
sin 2
a
bc
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
6
Với
0, 0xy
ta có
2
( ) 4x y xy
1 1 4
x y x y

1 1 1 1
4x y x y




(I)
a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên a+b-c >0, a+c -b >0, c +b- a >0,
Áp dụng bđt(I) với các số x= a+b-c, y= a+c -b dương ta có:
1 1 4 2
a b c a c b a b c a c b a
Tương tự:
1 1 4 2
b a c b c a c b a a b c b
1 1 4 2
c b a c a b c b a c a b c
1 1 1 1 1 1
a b c b c a c a b a b c
(đpcm)
0,25
0,25
0,25
0,25
B
I
D
C
A