SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2018 - 2019
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
Ngày thi: 03/4/2019
(Đề thi gồm 01 trang)
Câu I (2,0 điểm)
1) Cho hàm số 243
y
xx có đồ thị ()P. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng
():
m
dyxm cắt đồ thị ( P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ 12
,
x
x thỏa mãn
12
112
xx

.
2) Cho hàm số 2
(1) 2 2ym x mxm
( mlà tham số). Tìm m để hàm số nghịch biến
trên khoảng (;2) .
Câu II (3,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình


22 22
22
33 2
2120
xyx xyy x y
xy x x


2) Giải phương trình 2
(3)1 4 2 63
x
xx x x x.
3) Giải bất phương trình 32
(3 4 4) 1 0xxx x .
Câu III (3,0 điểm)
1) Cho tam giác
ABC có trọng tâm G và điểm N thỏa mãn 30NB NC
 
. Gọi
P
là
giao điểm của
A
C và GN , tính tỉ số PA
PC .
2) Cho tam giác nhọn
A
BC , gọi ,,
H
EK lần lượt là chân đường cao kẻ từ các đỉnh
,,ABC. Gọi diện tích các tam giác
A
BC và
H
EK lần lượt là
BC
S và
H
EK
S . Biết rằng
4
A
BC HEK
SS

, chứng minh 222
9
sin sin sin 4
ABC
.
3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho
A
BC cân tại A. Đường thẳng AB có phương trình
30
x
y, đường thẳng
A
C có phương trình 750
x
y. Biết điểm (1;10)M thuộc cạnh
BC , tìm tọa độ các đỉnh , ,ABC.
Câu IV (1,0 điểm)
Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I và loại II từ 200kg nguyên liệu và một máy
chuyên dụng. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và máy làm
việc trong 3 giờ. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và máy
làm việc trong 1,5 giờ. Biết một kilôgam sản phẩm loại I lãi 300000 đồng, một kilôgam sản
phẩm loại II lãi 400000 đồng và máy chuyên dụng làm việc không quá 120 giờ. Hỏi xưởng cần
sản xuất bao nhiêu kilôgam sản phẩm mỗi loại để tiền lãi lớn nhất?
Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực dương ,,
x
yz thỏa mãn 3
x
yyzxz.
Chứng minh bất đẳng thức
222
333
1
888
xyz
xyz


.
........................................ Hết ......................................
Họ và tên thí sinh: ....................................................................... Số báo danh: .....................................................
Giám thị coi thi số 1: ............................................... Giám thị coi thi số 2: ............................................................
ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10
THPT – NĂM HỌC 2018 - 2019
MÔN: TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 6 trang)
Câu Nội dung Điểm
Câu I.1
1,0đ Cho hàm số 243yx x
có đồ thị ()P. Tìm giá trị của tham số m để đường
thẳng ():
m
dyxm cắt đồ thị ( P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ 12
,
x
x thỏa
mãn
12
112
xx
.
Phương trình hoành độ giao điểm 22
43 53 0xx xmxx m (1) 0,25
Đường thẳng ()
m
d cắt đồ thị ()Ptại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình
(1) có hai nghiệm phân biệt 13
0134 0 4
mm .
0,25
Ta có 12
12
5
3
xx
x
xm


0,25
12 12
12
12
252(3 )
11 1
203
2
xx xx mm
xx m
xx
 



(thỏa mãn) 0,25
Câu I.2
1,0 đ Cho hàm số 2
(1) 2 2ym x mxm ,( mlà tham số). Tìm m để hàm số nghịch
biến trên khoảng (;2) .
Với 1 2 3myx . Hàm số nghịch biến trên . Do đó 1m thỏa mãn.
0,25
Với 1m. Hàm số nghịch biến trên khoảng (;2) khi và chỉ khi
10
2
1
m
m
m

0,25
12m . 0,25
Vậy 12m 0,25
CâuII.1
1,0 đ Giải hệ phương trình




22 22
22
33 21
2120 2
xyx xyy x y
xy x x






22 22
22 22
33 2 2
33 2
3( ) 3( ) 2
3( ) 3 3 2
xyx xyy x y
xyx xyy xy x y
xy xy x y

  
 
0,25
32 32
33
331 331
(1)(1) 1 1 2
xxx yy y
xy xyyx
 

0,25
Thế 2
y
x vào phương trình (2) ta có
22 32
( 2) 2 12 0 2 12 0xx x x x x x
. 0,25
2
(3)( 24)0 3 1
x
xx x y . Hệ có nghiệm 3
1
x
y
0,25
CâuII.2
1,0 đ Giải phương trình 2
(3)1 4 2 63
x
xx x x x
(1)
Điều kiện 41 x.
Phương trình 2
(1) ( 3)( 1 1) ( 4 1) 2 6
x
xxx xx
0,25
2
3
(3) 2 6
1141
11
(3) 20
1141
(3)0
11
2(2)
1141
xx
x
xxx
xx
xx xx
xx
xx

 



 



 
0,25
(3)0 0; 3xx x x (Thỏa mãn điều kiện).
0,25
Với điều kiên 41 x ta có
11
111 11
11 2
11141
411 1
41
xx
xx
x
x
 


  


. Dấu "" không xảy
ra nên phương trình (2) vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm 0
x
và 3
x
.
0,25
CâuII.3
1,0 đ Giải bất phương trình 32
(3 4 4) 1 0xxx x
(1)
Điều kiện 1
x
 .

32 32
3
32
(344)10 3 14(1)10
31410(2)
xxx x xxx x x
xxx x

 0,25
Xét 1
x
 , thay vào (2) thỏa mãn.
Xét 110xx . Chia hai vế của (2) cho

3
1x ta được bất phương trình
32
340
11
xx
xx




 .
0,25
Đặt 1
x
t
x
, ta có bất phương trình 32 2
340(1)(2)0 1tt t t t
0,25
22
10 10 10
00
111 15
10
110
2
15
12
xx x
xxx
txx
xx
xx xx
x
 
 








 



Kết hợp 1
x
 là nghiệm, ta có tập nghiệm của bất phương trình 15
1; 2



.
0,25
Câu
III.1
1,0 đ
Cho tam giác
A
BC có trọng tâm G và điểm N thỏa mãn 30NB NC
 
. Gọi
P
là
giao điểm của AC và GN , tính tỉ số PA
PC .
Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Đặt AP k AC

.

1
3
GP AP AG k AC AB AC
     
11
33
kACAB




 .
0,25

11 75
36 66
GN GM MN AM BC AB AC AC AB AC AB
          
0,25
Ba điểm , ,GPN thẳng hàng nên hai vectơ ,GP GN
  cùng phương. Do đó
11 1
217 4 4
33 3
757
53155 5
666
kk
k k AP AC


  0,25
44
5
PA
AP AC PC
 .
0,25
Câu
III.2
1,0 đ
Cho tam giác nhọn ABC , gọi , ,
H
EK lần lượt là chân đường cao kẻ từ các đỉnh
,,ABC. Gọi diện tích các tam giác ABC và
H
EK lần lượt là
A
BC
S và
H
EK
S . Biết
rằng 4
A
BC HEK
SS

, chứng minh 222
9
sin sin sin 4
ABC.
Đ
ặt
A
BC
SS thì từ giả thiết suy ra
3
4
3
4
EAK KBH HCE
HCE
EAK KBH
SSS S
S
SS
SSS


0,25
2
1.sin
2. cos .cos cos
1.sin
2
EAK
AE AK A
SAEAK
AA A
SABAC
AB AC A

2
1..sin
2. cos .cos cos
1.sin
2
KBH
BK BH B
SBKBH
BB B
SBCAB
AB BC B

2
1..sin
2. cos .cos cos
1.sin
2
HCE
CH CE C
SCH CE CC C
SACBC
AC BC C

0,25
222
33
cos cos cos
44
HCE
EAK KBH S
SS ABC
SSS

0,25
222 222
39
1sin 1sin 1sin sin sin sin
44
ABC ABC   . 0,25
P
G
M
A
B
C
N
H
K
E
A
B
C
Câu
III.3
1,0 đ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho
A
BC cân tại
A
. Đường thẳng
A
B có phương
trình 30xy, đường thẳng
A
C có phương trình 750xy. Biết điểm (1;10)M
thuộc cạnh
B
C, tìm tọa độ các đỉnh ,,
A
BC.
Toạ độ điểm
A
là nghiệm của hệ phương trình 30 2
750 1
xy x
xy y





. Vậy (2;1)A.
0,25
Phương trình các đường phân giác của góc
A
là 375
252
xy x y

1
2
()
350
()
350
d
xy
d
xy


0,25
Do tam giác
A
BC cân tại
A
nên đường phân giác trong kẻ từ
A
cũng là đường cao.
Xét trường hợp 1
d là đường cao của tam giác
A
BC kẻ từ
A
.
Phương trình đường thẳng
B
Clà 370xy.
Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 30 1 (1;4)
370 4
xy x B
xy y





 .
Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình
11
750 11 2
5;
370 2 55
5
x
xy C
xy y






 
.
16 48 8
(2;6), ;
55 5
M
BMC MCMBM




   nằm ngoài đoạn
B
C. Trường
hợp nà
y
khôn
g
thỏa mãn.
0,25
Nếu 2
d là đường cao của tam giác
A
BC kẻ từ
A
Phương trình đường thẳng
B
C là 3310xy.
Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình
30 11 ( 11;14)
3310 14
xy x B
xy y





 .
Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình
101
750 101 18
5;
3310 18 55
5
x
xy C
xy y





 
.
96 32 8
(12;4), ;
55 5
M
BMC MCMBM




   thuộc đoạn
B
C.
Vậy 101 18
(2;1), ( 11;14), ;
55
AB C



.
0,25
Câu IV
1,0 đ Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I và loại II từ 200kg nguyên liệu và một
máy chuyên dụng. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên
liệu và máy làm việc trong 3 giờ. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại II
cần 4kg nguyên liệu và máy làm việc trong 1,5 giờ. Biết một kilôgam sản phẩm loại
I lãi 300000 đồng, một kilôgam sản phẩm loại II lãi 400000 đồng và máy chuyên
dụng làm việc không quá 120 giờ. Hỏi xưởng cần sản xuất bao nhiêu kilôgam sản
phẩm mỗi loại để tiền lãi lớn nhất?