SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NGHỆ AN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 CẤP THCS
NĂM HỌC 2016-2017
ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn thi : TOÁN – BẢNG A
Thời gian : 150 phút (không kể giao đề)
Câu 1. (4 điểm)
a) Tìm hệ số a, b, c của đa thức
2
P(x) x bx c
biết P (x) có giá trị nhỏ nhất
bằng – 1 tại x = 2.
b) Giải hệ phương trình
2 2 3
2
x xy xy y 0
2 x 1 3 x y 1 y 0
Câu 2. (4 điểm)
a) Giải phương trình
2
x 2 3 1 x 1 x
b) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn
ab bc ca 1.
Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức
Câu 3. (3 điểm)
Cho tam giác ABC có
0
BAC 135 ,BC 5cm
và đường cao AH = 1 cm. Tìm
độ dài các cạnh AB và AC
Câu 4. (5 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), D là một điểm trên cung
BC không chứa A. Dựng hình bình hành ADCE. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của
tam giác ABC và ACE. Gọi P và Q lần lượt là hình chiếu của K trên BC và AB,
gọi I là giao điểm của EK với AC
a) Chứng min rằng ba điểm P, I, Q thẳng hàng
b) Chứng minh rằng PQ đi qua trung điểm của KH
Câu 5. (4 điểm)
a) Tìm tất cả các số nguyên tố khác nhau m, n, p, q thỏa mãn
1 1 1 1 1 1
m n p q mnpq

b) Trên một bảng có ghi hai số 1 và 5. Ta ghi các số tiếp theo lên bảng theo quy
tắc sau: Nếu có hai số phân biệt trên bảng thi ghi thêm số
z xy x y
.
Chứng minh rằng các số trên bảng (trừ số 1) có dạng
3k 2
với số k là tự
nhiên
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 9 NGHỆ AN BẢNG A 2016-2017
Câu 1
a) Do đa thức
2
P(x) x bx c
có bậc hai và có giá trị nhỏ nhất là - 1 tại x=2
nên viết được dưới dạng
2
P(x) x 2 1.
Từ đó ta có
2
2
P(x) x bx c x 2 1
Hay ta được
22
x bx c x 4x 3
, Đồng nhất hệ số hai vế ta được
b 4;c 3
b) Điều kiện xác định của phương trình là
x0
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
2 2 2
2
xy
x(x y ) y(x y ) 0 x y x y 0 x y 0

Với x+y2=0, kết hợp với điều kiện ta xác định
x0
ta được x = y = 0
Thay vào phương trình còn lại ta thấy không thỏa mãn.
Với x=y, thay vào phương trình còn lại ta được:
22
2(x 1) 3 x(x 1) x 0 2x 3x x x 3 x 2 0
Đặt
t x 0
, khi đó ta được phương trình
4 3 2
2t 3t t 3t 2 0
Nhẩm được
1
t 2;t 2

nên ta phân tích được
32
32
2
2t (t 2) t t 2 t 1 t 2 0
t 2 2t t t 1 0
t 2 2t 1 t t 1 0
1 x y 2
t22
xy
t2 2



Câu 2.
a) Quan sát phương trình ta chú ý đến biến đổi
2
1 x (1 x)(1 x)
. Để ý đến
điều kiện xác định ta phân tích được
2
1 x 1 x. x 1
Như vậy ta viết lại được phươn trình
x 2 3 1 x. x 1 1 x
Ta có biểu diễn
x 3 2(x 1) (1 x)
Đến đây ta đặt ẩn phụ
a x 1;b 1 x
thì ta viết lại phương trình lại
thành
22
2a b 1 3ab a
Hay
22
b 3ab 2a a 1 0
Xem phương trình trên là phương trình ẩn b và a là tham số thì ta có
2
22
9a 4(2a a 1) a 2
Do đó phương trình có hai nghiệm là
3a (a 2)
b a 1
2

và
3a (a 2)
b 2a 1
2

Với b = a – 1 ta được
3
1 x 1 x 1 ..... x 2
Với b = 2a+1 ta được
24
1 x 2 1 x 1 .... x 25
Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm
3 24
S;
2 25





b) Từ giả thiết ab+bc+ca=1, ta để ý đến phép biến đổi
22
a 1 a ab bc ca a b a c
Áp dụng tương tự bất đẳng thức trở thành
2a b c
P
a b a c a b b c a c b c
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta được
2a b c
P
a b a c a b b c a c b c
1 1 1 1 1 1
a b c
a b a c a c 4(b c) 4(b c) a c
a b b c a c 1 9
11
a b 4(b c) a c 4 4



Vậy bất đẳng thức được chứng minh . Đẳng thức xảy ra
7 1 1
a;b;c ; ;
15 15 15




Câu 3.
Gọi AB = y; AC=x. Dựng CM vuông góc với AB, khi đó ta được
AM=CM=
x2
2
Ta có
ABC
15
S AH.BC
22

. Lại có
ABC
1 1 x 2
S .CM.AB y.
2 2 2

Do đó ta được
ABC
1 1 x 2 5
S CM.AB y. xy 2 10
2 2 2 2
Tam giác BCM vuông tại M nên ta lại có
2 2 2
BM MC BC
. Suy ra
22 22
22
x 2 x 2 x x
y 5 y xy 2 25
2 2 2 2
Từ đó ta được
22
x y 15.
Ta có hệ phương trình
2
22
x y 15 x y 2xy 15 x 10
.....
xy 2 10 y5
xy 5 2

Do vai trò của AB và AC như nhau nên ta có kết quả là
AB 10;AC 5
và
AB 5;AC 10
N
I
M
H
B
A
C
Câu 4.
a) Trước hết, ta chứng minh điểm K thuộc đường tròn (O)
Do K là trực tâm của tam giác ACE nên ta có KJEF nội tiếp
Từ đó suy ra
0
AKC AEC 180
Mặt khác do tứ giác ADCE là hình bình hành nên lại có
ADC AEC
Từ đó suy ra
0
AKC ADC 180 ,
nên tứ giác ADCK nội tiếp hay điểm
K nằm trên đường tròn.
+) Chứng minh ba điểm I, P, Q thẳng hàng
Do K là trực tâm tam giác ACE nên ta có KI vuông góc với AC.
Đường thẳng đi qua ba điểm I, P, Q là đường thẳng Simson
b) Chứng minh PQ đi qua trung điểm của KH
N
Q
P
K
I
F
J
H
M
E
A
B
C
D