TR NG THCS QUANG TRUNGƯỜ
T KHOA H C – T NHIÊNỔ Ọ Ự KH O SÁT CH N H C SINH GI I C P TR NGẢ Ọ Ọ Ỏ Ấ ƯỜ
L P 8 THCS NĂM H C 2018-2019Ớ Ọ
MÔN: TOÁN - Ngày thi: 10/4/2019
Th i gian làm bài: ờ150 phút
........................................................................
Bài 1. (4,0 đi m) Phân tích các đa th c sau thành nhân t :ể ứ ử
a.
3 2
A = x 2019 2019 2018x x+ + +
b.
4 2
B = x 5 4x− +
c. Cho
a 5;
ab 10
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: ị ỏ ấ ủ ể ứ
2 2
P = a b+
Bài 2. (6,0 đi m)ể
a. Cho a; b là các s t nhiên. Ch ng minh r ng: ố ự ứ ằ
5 5
M = a ( ) 5b a b+ − + M
.
b. Tìm các giá tr x và y th a mãn: ị ỏ
2 2
x 4 2 5 0y x y+ − − + =
c. Gi i ph ng trình ả ươ
x 2015 x 2007 x 2006 x 2018
2010 2012 2011 2013
− + + −
+ = +
.
d. Gi i ph ng trình b c 4 sau: ả ươ ậ
.
Bài 3. (4,0 đi m)ể
a. Ch ng minh ứ
2 2 2
ab c ab bc ca+ + + +
và
( )
2
3( )a b c ab bc ca+ + + +
. v i m i s ớ ọ ố
th c a, b, c.ự
b. Ch ng minh r ng v i m i s nguyên x thì bi u th c P m t s chính ph ng.ứ ằ ớ ọ ố ể ứ ộ ố ươ
( ) ( ) ( ) ( )
x+5 x+7 9 11 + 16.P x x= + +
Bài 4. (6,0 đi m) ể
Cho tam giác ABC vuông t i A ạ
( )
AC AB
. V đng cao AH ẽ ườ
( )
H BC
. Trên tia
đi c a tia BC l y đi m K sao cho KH = HA. Qua K k đng th ng song song v i AH, ố ủ ấ ể ẻ ườ ẳ ớ
c t đng th ng AC t i P.ắ ườ ẳ ạ
a) Ch ng minh: Tam giác ABC Đng d ng v i tam giác KPC.ứ ồ ạ ớ
b) Ch ng minh: Tam giác AKC đng d ng v i tam giác BPC.ứ ồ ạ ớ
c) G i Q là trung đi m c a BP. Ch ng minh: QH là đng trung tr c c a đo n ọ ể ủ ứ ườ ự ủ ạ
th ng AK.ẳ
d) Ch ng minh: Tam giác BHQ đng d ng v i tam giác BPC.ứ ồ ạ ớ
________________H tế________________
\
TR NG THCS QUANG TRUNGƯỜ
T KHOA H C – T NHIÊNỔ Ọ Ự HDC THI CH N H C SINH GI I C P TR NGỌ Ọ Ỏ Ấ ƯƠ
L P 8 THCS NĂM H C 2018-2019Ớ Ọ
MÔN: TOÁN
Bài S l c l i gi iơ ượ ờ ả Điêm
Bài 1. (4,0 đi m) Phân tích các đa th c sau thành nhân t :ể ứ ử
a.
3 2
A = x 2019 2019 2018x x+ + +
b.
4 2
B = x 5 4x− +
c. Cho
a 5;
ab 10
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: ị ỏ ấ ủ ể ứ
2 2
P = a b+
1a
(1,5)
3 2
A = x 2019 2019 2018x x+ + +
3 2
A = x 1 2019( 2019)x x− + + +
2 2
A = (x - 1)(x 1) 2019( 1)x x x+ + + + +
( )
2
A = x 1 ( 1 2019)x x+ + − +
2
A = (x + x + 1 )( 2018)x+
0,5
0,5
0,5
1b
(1,5)
4 2
B = x 5 4x− +
4 2 2
B = x 4 4x x− − +
2 2 2
B = x ( 1) 4( 1)x x− − −
2 2
B = (x 1)( 4)x− −
B = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)
0,5
0,5
0,25
0,25
1c
(1)
Cho
a 5;
ab 10
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: ị ỏ ấ ủ ể ứ
2 2
P = a b+
Ta có:
2
( ) 0x y−
2 2
2 0x xy y − +
2 2
2x y xy +
. v i m i x; yớ ọ
Do đó:
2 2
2 2 2
4 21
P = a 25 25
a a
b b+ = + +
2 2 2 2
2
2
(2 ) 21 2. .2 21 4 21
P = 5 25 5 25 5 25
a a b a a ab a
b P+ + + = +
Theo đ bài : ề
2
a 5 a 25
; và
10ab
4.10 21.25
5 25
P +
29P
V y giá tr nh nh t c a P là 29. D u b ng xãy ra khi và ch khiậ ị ỏ ấ ủ ấ ằ ỉ
a = 5; b = 2.
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 2. (6,0 đi m)ể
a. Cho a; b là các s t nhiên. Ch ng minh r ng: ố ự ứ ằ
5 5
M = a ( ) 5b a b+ − + M
.
b. Tìm các giá tr x và y th a mãn: ị ỏ
2 2
x 4 2 5 0y x y+ − − + =
c. Gi i ph ng trình ả ươ
x 2015 x 2007 x 2006 x 2018
2010 2012 2011 2013
− + + −
+ = +
.
d. Gi i ph ng trình b c b n sau: ả ươ ậ ố
.
2a
(1,5)
Ta có:
5 5 5 5
( ) ( ) ( )a b a b a a b b+ − + = − + −
M t khác: ặ
5 4 2 2 2
( ) ( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1)a a a a a a a a a a a− = − = − + = − + +
( )
2
( 1)( 1)( 4 5) 1( 1 ( 2)( 2) 5 ( 1)( 1)a a a a a a a a a a a a= − + − + = − + − + + − +
( 2)( 1) ( 1)( 2) 5 ( 1)( 1)a a a a a a a a= − − + + + − +
Do:
( 2)( 1) ( 1)( 2)a a a a a− − + +
là tích c a 5 s t nhiên liên ti p nên: ủ ố ự ế
( 2)( 1) ( 1)( 2) 5a a a a a− − + + M
và
5 ( 1)( 1)a a a− +
là b i c a 5 nên: ộ ủ
5 ( 1)( 1) 5a a a− + M
Do đó:
5
5a a−M
. Ch ng minh t ng t : ứ ươ ự
5
5b b−M
5MM
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
2b
(1,5)
2 2 2 2
4 2 5 0 ( 4 4) ( 2 1) 0x y x y x x y y+ − − + = − + + − + =
2 2
( 2) ( 1) 0x y − + − =
2x =
và
1y=
0,5
0,5
0,5
2c
(1,5)
Ta có:
x 2015 x 2007 x 2006 x 2018
2010 2012 2011 2013
− + + −
+ = +
x 2015 x 2007 x 2006 x 2018
1 1 1 1
2010 2012 2011 2013
− + + −
+ + − = − + +
x 2015 2010 x 2007 2012 x 2006 2011 x 2018 2013
2010 2010 2012 2012 2011 2011 2013 2013
− + + −
+ + − = − + +
x 5 x 5 x 5 x 5 1 1 1 1
( 5)( ) 0
2010 2012 2011 2013 2010 2011 2012 2013
x
− − − −
+ = + − − + − =
x=5
[do:
1 1 1 1
( ) 0
2010 2011 2012 2013
− + − >
]
V y nghi m c a ph ng trình là x = 5.ậ ệ ủ ươ
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
2d
(1,5)
4 2 2
10 25 ( 4 4) 0x x x x − + − − + =
2 2 2
( 5) ( 2) 0x x − − − =
2 2
( 7)( 3) 0x x x x + − − − =
2
( 7) 0x x + − =
Ho c ặ
2
( 3) 0x x− − =
TH 1.
2
( 7) 0x x+ − =
2
(4 4 28) 0x x + − =
2
2
[(2 ) 2.2 1) 29 ] 0x x + + − =
2
2
[(2 1) 29 ] 0x + − =
(2 1 29)(2 1 29] 0x x + − + + =
1 29
2
x− +
=
Ho c ặ
1 29
2
x− −
=
.
0,25
0,25
0,25
TH 2.
2
( 3) 0x x− − =
2
(4 4 12) 0x x − − =
2
2
[(2 ) 2.2 1) 13 ] 0x x − + − =
2
2
[(2 1) 13 ] 0x − − =
(2 1 13)(2 1 13] 0x x − − − + =
1 13
2
x+
=
Ho cặ
1 13
2
x−
=
.
V y t p nghi m c a PT là:ậ ậ ệ ủ
1 29 1 29 1 13 1 13
; ; ;
2 2 2 2
S%
− − − + + −
=�
0,25
0,25
0,25
Bài 3. (4,0 đi m)ể
a. Ch ng minh ứ
2 2 2
ab c ab bc ca+ + + +
và
( )
2
3( )a b c ab bc ca+ + + +
.
v i m i s th c a, b, c.ớ ọ ố ự
b. Ch ng minh r ng v i m i s nguyên x thì bi u th c P m t s chính ứ ằ ớ ọ ố ể ứ ộ ố
ph ng. ươ
( ) ( ) ( ) ( )
x+5 x+7 9 11 + 16.P x x= + +
3a
2.0
a. Ch ng minh ứ
2 2 2
ab c ab bc ca+ + + +
và
( )
2
3( )a b c ab bc ca+ + + +
. v i m i s th c a, b, c.ớ ọ ố ự
Ta có:
2 2
a 2b ab+
;
2 2
2b c bc+
;
2 2
2c a ac+
V i m i a, b, c.ớ ọ
C ng v v i v các b t đng th c trên ta đc:ộ ế ớ ế ấ ẳ ứ ượ
2 2 2 2 2 2
2(a ) 2( )b c ab bc ca a b c ab bc ca+ + + + + + + +
(ĐPCM).
0,5
0,5
Ta có:
2 2 2
(a b c ab bc ca+ + + +
2 2 2
2( ) 3( )a b c ab bc ca ab bc ca + + + + + + +
2
( ) 3( )a b c ab bc ca + + + +
(ĐPCM).
0,5
0,5
3b
2.0
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
x+5 x+7 9 11 + 16.P x x= + +
( 5)( 11)( 7)( 9) + 16.P x x x x = + + + +
2 2
( 16 55)( 16 63)+ 16.P x x x x = + + + +
2 2 2
( 16 55) 8( 16 55)+ 16.P x x x x = + + + + +
2 2 2 2
( 16 55) 2( 16 55).4+ 4 .P x x x x = + + + + +
2 2
( 16 59) .P x x = + +
V i x là s nguyên thì P là m t s CP.ơ ố ộ ố
0,5
0,5
0,25
0,25
0,5
Bài 4. (6,0 đi m) ể
Cho tam giác ABC vuông t i A ạ
( )
AC AB
. V đng cao AHẽ ườ
( )
H BC
. Trên tia đi c a tia BC l y đi m K sao cho KH = HA. Qua K ố ủ ấ ể
k đng th ng song song v i AH, c t đng th ng AC t i P.ẻ ườ ẳ ớ ắ ườ ẳ ạ
a. Ch ng minh: Tam giác ABC Đng d ng v i tam giác KPC.ứ ồ ạ ớ
b.Ch ng minh: Tam giác AKC đng d ng v i tam giác BPC.ứ ồ ạ ớ
c.G i Q là trung đi m c a BP. Ch ng minh: QH là đng trung ọ ể ủ ứ ườ
tr c c a đo n th ng AK.ự ủ ạ ẳ
d. Ch ng minh: Tam giác BHQ đng d ng v i tam giác BPC.ứ ồ ạ ớ
0.5
1
1
Q
I
K
H
A
C
B
P
0.5
4.a
1 đ Ch ng minh: ứ
∆
ABC
∆
KPC ( G.G) 1
4b
1.5
Ch ng minh:ứ
∆
AKC
∆
BPC
Ta có:
∆
ABC
∆
KPC ( Cmt)
AC BC AC KC
KC PC BC PC
= =
Và
ﾷ
ﾷ
ACB BCK
=
Do đó:
∆
AKC
∆
BPC ( C.G. C)
1
0.5
4c
1.5
. G i Q là trung đi m c a BP. Ch ng minh: QH là đng trung tr c c a ọ ể ủ ứ ườ ự ủ
đo n th ng AK.ạ ẳ
Ta có:
2
PB
AQ KQ= =
(Trung tuy n ng v i n a c nh huy n trong tam ế ứ ớ ử ạ ề
giác vuông).
L i có: ạ
HK HA
=
(Gi thi t). Do đó: QH là đng trung tr c c a AK.ả ế ườ ự ủ
0,75
0,75
d. Ch ng minh: Tam giác BHQ đng d ng v i tam giác BPC.ứ ồ ạ ớ
4d
(1.5) Ta có:
∆
AKC
∆
BPC (cmt)
ﾷ
ﾷ
BPC AKC
=
mà
ﾷ
0
45AKC
=
( Do tam giác HKC vuông cân t i H) ạ
ﾷ
0
45BPC
=
M t khác: ặ
ﾷ
ﾷ
0
45BHQ KHQ
= =
(HQ là đng trung tr c c a đo n th ng AK)ườ ự ủ ạ ẳ
ﾷ
ﾷ
0
45BHQ BPC
= =
Xét :
∆
BHQ và
∆
BPC có.
ﾷ
ﾷ
HBQ PBC
=
(
;Q BP H BC
)
ﾷ
ﾷ
0
45BHQ BPC
= =
. Do đó:
∆
BHQ
∆
BPC ( G.G)
0,25
0,5
0.5
0.25
S
SS
S
S
S
S
S
S
S
S
S
SS
S
SS
S