PHÒNG GD& ĐT QU NG TR CHẢ Ạ
TR NG THCS C NH HÓAƯỜ Ả Đ KI M TRA H C SINH GI I L P 8Ề Ể Ọ Ỏ Ớ
Môn: Toán
Năm h c 2018-2019ọ
Th i gian: 90 phút(ờkhông k th i gian giao ể ờ
đ)ề
Bài 1 (2,0 đi m).ể
Cho bi u th c: ể ứ
2
2
x 2 1 10 x
A : x 2
x 4 2 x x 2 x 2
−
= + + − +
− − + +
a. Rút g n bi u th c A. b. Tính giá tr c a A , Bi t ọ ể ứ ị ủ ế x =
1
2
.
c. Tìm giá tr c a x đ A < 0. d. Tìm các giá tr nguyên c a x đ A có giá tr ị ủ ể ị ủ ể ị
nguyên.
Bài 2 (2,0 đi m).ể Gi i các ph ng trình sau:ả ươ
a.b)
2
(6 8)(6 6)(6 7) 72x x x+ + + =
b.
18
1
42x13x
1
30x11x
1
20x9x
1
222
Câu 3. (3,5 đi m) ểCho hình vuông ABCD, trên c nh AB l y đi m E và trên c nh ADạ ấ ể ạ
l y đi m F sao cho AE = AF. V AH vuông góc v i BF (H thu c BF), AH c tấ ể ẽ ớ ộ ắ
DC và BC l n l t t i hai đi m M, N.ầ ượ ạ ể
a. Ch ng minh r ng t giác AEMD là hình ch nh t.ứ ằ ứ ữ ậ
b. Bi t di n tích tam giác BCH g p b n l n di n tích tam giác AEH. ế ệ ấ ố ầ ệ Ch ng minh r ng:ứ ằ
AC = 2EF.
c. Ch ng minh r ng: ứ ằ
2 2 2
1 1 1
= +
AD AM AN
.
Câu 4. (1,5 đi m) ểCho
, ,abc
là ba s d ng tho mãn ố ươ ả
1abc =
. Ch ng minh r ng :ứ ằ
3 3 3
1 1 1 3
( ) ( ) ( ) 2a b c b c a c a b
+ +
+ + +
.
Bài 5 (1,0 đi m).ể Cho an = 1+2+3+…+ n. Ch ng minh r ng aứ ằ n + an+1 là m t s chính ộ ố
ph ng.ươ
H và tên thí sinhọ: ………………………. ........... S báo danhố................................................. .
PHÒNG GD&ĐT QU NG TR CH Ả Ạ H NG D N CH M ƯỚ Ẫ Ấ
TR NG THCS C NH HÓAƯỜ Ả Đ KI M TRA HSG NĂM H C: 2018 -2019 Ề Ể Ọ
Môn:Toán
L p: 8 ớ
Bài N i dungộĐi mể
Bài 1
(2,0đ)
Bi u th c:ể ứ
2
2
x 2 1 10 x
A : x 2
x 4 2 x x 2 x 2
−
= + + − +
− − + +
a
(0.75) Rút g n đc k t q a: ọ ượ ế ủ
0.75
b
(0.5)
1
x2
=
1
x2
=
ho c ặ
1
x2
−
=
A=
3
2
ho c A=ặ
5
2
0.5
c
(0.25)
A < 0
x - 2 >0
x >2 0.25
d
(0.75) A
Z
Z
2x
1
x-2
(-1)Ư
x-2
{ -1; 1}
x
{1; 3}
0,5
Bài2
(2,0đ )
a
(1.0)
2
(6 8)(6 6)(6 7) 72x x x+ + + =
Đt ặ
6 7 .x t+ =
Ta có
2 2 2 4 2
( 1)( 1) 72 ( 1) 72 72 0t t t t t t t+ − = − = − − =
4 2 2 2 2 2 2 2
9 8 72 0 ( 9) 8( 9) 0 ( 9)( 8) 0t t t t t t t t − + − = − + − = − + =
Mà
2
8 0t+ >
nên
2 2
2
9 0 9 3 3
t t t x− = = = = −
ho c ặ
5.
3
x= −
PT có nghi m là ệ
2 5
;
3 3
x− −
�
.
0.25
0.25
0.25
0.25
b
(1.0)
x2+9x+20= ( x+4)( x+5) ; x2+11x+30 = ( x+6)( x+5) ;
x2+13x+42 = ( x+6)( x+7) ;
(0,25 đi m)ể
ĐKXĐ :
7;6;5;4
xxxx
Ph ng trình tr thành :ươ ở
18
1
)7)(6(
1
)6)(5(
1
)5)(4(
1
xxxxxx
18
1
7
1
6
1
6
1
5
1
5
1
4
1
xxxxxx
18
1
7
1
4
1
xx
0.25
0.25
0.25
18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
(x+13)(x-2)=0
T đó tìm đc x=-13; x=2;ừ ượ
0.25
Câu 3
(3.5)
a
(1.0)
0.5
Ta có
ﾷ
ﾷ
DAM = ABF
(cùng ph ụ
ﾷ
BAH
)
AB = AD ( gt)
ﾷ
ﾷ
0
BAF = ADM = 90
(ABCD là hình vuông)
ΔADM = ΔBAF
(g.c.g)
0.25
=> DM=AF, mà AF = AE (gt)
Nên. AE = DM
L i có AE // DM ( vì AB // DC )ạ0.25
Suy ra t giác AEMD là hình bình hànhứ
M t khác.ặ
ﾷ
0
DAE = 90
(gt) 0.25
V y t giác AEMD là hình ch nh tậ ứ ữ ậ 0.25
b
(1.0)
Ta có
ΔABH ΔFAH:
(g.g)
AB BH
=
AF AH
=>
hay
BC BH
=
AE AH
( AB=BC, AE=AF) 0.25
L i có ạ
ﾷ
ﾷ
HAB = HBC
(cùng ph ụ
ﾷ
ABH
)
ΔCBH ΔEAH:
(c.g.c) 0.25
2
ΔCBH
ΔEAH
SBC
=
S AE
, mà
ΔCBH
ΔEAH
S= 4
S
(gt)
2
BC = 4
AE
nên BC2 = (2AE)2
BC = 2AE
E là trung đi m c a AB, F là trung đi m c a AD ể ủ ể ủ
0.25
Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm) 0.25
c
(1.0)
Do AD // CN (gt). Áp d ng h qu đnh lý ta lét, ta có: ụ ệ ả ị
AD CN
=
AM MN
0.25
L i có: MC // AB ( gt). Áp d ng h qu đnh lý ta lét, ta có:ạ ụ ệ ả ị
MN MC AB MC
= =
AN AB AN MN
hay
0.25
2 2 2 2 2 2 2
2 2
AD AD CN CM CN + CM MN
+ = + = = = 1
AM AN MN MN MN MN
0.25
N
M
H
F
E
D
C
B
A
(Pytago)
2 2
AD AD
+ = 1
AM AN
2 2 2
1 1 1
AM AN AD
=> + =
(đpcm) 0.25
Câu 4
(1.5)
Tr c tiên ta ch ng minh BĐT: V i ướ ứ ớ
∀
a, b, c
R và x, y, z > 0 ta có
( )
2
2 2 2
a b c
abc
x y z x y z
+ +
+ + + +
(*)
D u “=” x y ra ấ ả
a b c
x y z
= =
Th t v y, v i a, b ậ ậ ớ
R và x, y > 0 ta có
( )
2
2 2
a b
a b
x y x y
+
+ +
(**)
( )
( ) ( )
2
2 2
a y b x x y xy a b+ + +
( )
2
0bx ay−
(luôn đúng)
D u “=” x y ra ấ ả
a b
x y
=
Áp d ng b t đng th c (**) ta cóụ ấ ẳ ứ
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
ab abc
a b c c
x y z x y z x y z
+ + +
+ + +
+ + +
D u “=” x y ra ấ ả
a b c
x y z
= =
0.5
Ta có:
2 2 2
3 3 3
1 1 1
1 1 1
( ) ( ) ( )
abc
a b c b c a c a b ab ac bc ab ac bc
+ + = + +
+ + + + + +
Áp d ng b t đng th c (*) ta có ụ ấ ẳ ứ
2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1
1 1 1
2( ) 2
a b c a b c
a b c
ab ac bc ab ac bc ab bc ac
abc
+ + + +
+ + =
+ + + + +
+ +
(Vì
1abc =
)
0.25
Hay
2 2 2
1 1 1
1 1 1 1
2
a b c
ab ac bc ab ac bc a b c
+ + + +
+ + +
0.25
Mà
1 1 1 3
abc
+ +
nên
2 2 2
1 1 1
3
2
a b c
ab ac bc ab ac bc
+ +
+ + +
0.25
V y ậ
3 3 3
1 1 1 3
( ) ( ) ( ) 2a b c b c a c a b
+ +
+ + +
(đpcm) 0.25
Bài 5
(1.0)
Ta có an+1= 1 +2 +3 +…+ n + n + 1
an+ an+1 = 2(1+ 2 + 3 +…+ n) + n + 1
= 2.
( 1)
2
n n +
+n+1 = n2 +2n+1=(n+1)2 là m t s chính ộ ố
ph ngươ
0.5
0.5
--------------------------------- H T -----------------------------------Ế