ƯỜ

Ệ Ơ

Ề

Ỏ Ấ

ƯỜ

TR

NG THPT TRI U S N 3

I C P TR

NG

Ổ

T  : TOÁN

ể ờ

Ọ 6 – 2017 ớ :  150 phút  (không k  th i gian giao

Ọ Đ  THI CH N H C SINH GI Ọ NĂM H C 201 Môn thi: Toán – L p 10 – THPT ờ Th i gian làm bài đ )ề

2

=

có đ  th  (

ồ ị P)

x

+ x

2

2

ậ

ả

ẽ

= +

x m

y

ươ

ạ

ể

ng trình

c t ắ (P) t

i hai đi m phân bi

ệ A, B sao

t

ẳ .

82

Câu 1. (4,0 điểm) Cho hàm s  ố y ế a) L p b ng bi n thiên và v  (P). b)Tìm m đ  ể đ ườ ng th ng (d) có ph = OB+ 2 2 OA cho  Câu 2. (7,5 điểm)

+ 2

-

+ x

x

2

3 2

>

.

ả ấ

ươ

a) Gi

i b t ph

ng trình

1

-

3

ả

ươ

b) Gi

i ph

ng trình

.

1 2 + - x

2 3

3 - + 2 x 1 - = x 6

4

x 7 5 2

-

xy

y

y

x

y

x

2

1

1

c) Gi

ả ệ ươ i h  ph

ng trình

.

y

x

y

x

6.3

2.3

3

7

2

7

ể ệ ấ

ươ

ệ

Câu 3. (4,5 điểm)   ấ ả a) Tìm t

t c  các giá tr  c a

ị ủ m đ  h  b t ph

ng trình sau có nghi m

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x

x

3

+ - 1

1 0

2

2

2

+

+

+ +

x

m x x

(

2)

4 1

ạ

ặ

ẳ

ọ ộ ủ

ườ

ủ

ể

ể

ạ

b) Trong m t ph ng t a đ  Oxy, cho hình thang ABCD vuông t hình chi u vuông góc c a đi m A lên đ

ọ ng chéo BD và E là trung đi m c a đo n HD.

i A, B và AD = 2BC. G i H là    Giả

(cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

( H -

ươ

ườ

ỉ

ế )1;3

AE x : 4

C

, ph

ng trình đ

ẳ ng th ng

y+ + =  và  3 0

ọ ộ . Tìm t a đ  các đ nh

s  ử

5 2

� � ; 4 � � � �

ủ

A, B và D c a hình thang ABCD.

Câu 4. (2,0 điểm)

ứ

Ch ng minh r ng

ằ :

.

4

0

= 0

1 sin10

3 cos10

Câu 5. (2,0 điểm)

ố ự ươ

ỏ

ằ

1

Cho ba s  th c d

ng a, b, c th a mãn

+ + = . Ch ng minh r ng: ứ

1 a

1 b

1 c

2

2

2

+

+

-

.

a + a bc

b + b ca

c + c ab

+ + a b c 4

́

­­­­­­­­­­­­­­­­­Hêt­­­­­­­­­­­­­­­­­

(cid:0)

ƯỜ

Ệ Ơ

Ẫ

TR

NG THPT TRI U S N 3

Ổ

Ấ NG D N CH M Ỏ Ấ

ƯỚ Ọ

Ọ

T : TOÁN

H THI CH N H C SINH GI

I  C P TR

ƯỜ G N

ướ

ấ

Câu

ẫ H ng d n ch m

ẽ

1.a Ks và v  (P) đúng  1.b

ể

ộ

ươ

Hoành đ  giao đi m c a

ủ  d và (P) là nghi m ph

2

Điể m 2,0 2,0

ệ + = + x 2

ng trình: + - 2 x 3

0,25 = - - � x m x x m 2 2 0 (1)

ệ

ệ (cid:0) t

(cid:0)

ạ ắ ể Đ  d c t (P) t > D = - m 9 4(2

ệ ể t A, B  i hai đi m phân bi > - + > � � m m 4 1 0 ) 0

(1) có hai nghi m phân bi 1/ 4

-

(*) +

ề

ệ

ể

ớ

ọ V i đi u ki n (*), g i hai giao đi m là

, trong đó  1

2

1

1

2

2

1,0 + ) ; ( ( ; ,x x là các nghi m ệ

.

2

2

2

2

+ A x x m B x x m ), = = - 2 3, x 1 x 2 x x 1 2

ị ủ c a (1). Theo đ nh lý Viet ta có:  (

+ + = +

)

m )

(

2

2

2 x 1 )

Ta có:  (

2 x 2 (

(cid:0) 82 82 + x m 1 0,5 + + + = + = 2 - OA OB+ ) + + x m 2 )

) +

(

2 x 2

2 x 1

ế

ệ

ố

ượ

ị ầ

ề Đ i chi u đi u ki n (*) ta đ

c m = 4 là giá tr  c n tìm.

2.a

� m 2 2 2 82 � m 41 = ( m x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 + + x x m x 2 1 1 2 = (cid:0) m 4 - - - (cid:0) � � + m + 2 m m 9 2(2 = + 2 m m ) 3 41 5 = 36 0 = - (cid:0) 0,25 m 9

ĐKXĐ:

2

2,0 - (cid:0) - x x ��� 2 1

ớ

Ta có:

v i m i

ﾡ , nên

ọ x (cid:0)

2

- - - - + = - 2 x x 3 1 2 1 1 (2 + (cid:0) x 1) < 3 1 0 1,0

BPT

2

2

+ + 2 + 2 - � x + < - x - + 2 x x x + x 2 1 2 1 1 3 2

- + < x x 1 - + + < � � x � 3 2 - + + x x + 2 x x x x 3 - + + < 2 x 1 1 1 2 + x 3 2 1 1 2

2

2

> (cid:0) x > > (cid:0) 0 - + 1 13 > (cid:0) � � � � x 0 - + 1 13 - + 1 13 < 1,0s 2 0 - + < x x + - > 2 x 1 4 1 0 (cid:0) x >� x x � � x � x � � x 3 � (cid:0) 2 2

ệ

ậ

ậ

V y BPT có t p nghi m

2.b

- + 1 13 = +(cid:0) S ; 2 � � � � � � � �

7 / 3

3

3

ĐKXĐ:  Đ t: ặ

- 2,0 1,0

x (cid:0) - = 6

x = +� x t t 6

3

ở PT tr  thành:

2

(cid:0) - (cid:0) t (cid:0) + + = + (cid:0) � t 2 3( 6) 7 t 5 4 4 / 5 + 3 = (cid:0) t 4(3 25) + (5 t 4)

3

2

2

(cid:0) - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) t t 4 / 5 4 / 5 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - - - - (cid:0) (cid:0) t t t 12 t 25 + t 40 = 84 0 t 2)(12 = 42) 0 (

=

- (cid:0) t (cid:0) 4 / 5 =(cid:0) t 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) + (cid:0) 1 1 = 1,0 (cid:0) =� 2 t t (cid:0) = t (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2017 24

V i ớ

t

14

2

=� x +

2017 24

V i ớ

3 �   � � �

+ 1 = � t x = + 6 2017 24 2017 24 � 1 � � �

ậ

ươ

ệ

V y ph

ậ ng trình có t p nghi m là:

3 � � � �

2.c

+ = S 2017 24 � 1 + � � � � � � � � � 14; 6 � � �

ề

ệ

Đi u ki n:

(*)

ủ

ệ

ả

ươ

Vì x = 0 và  y = 1 không ph i là nghi m c a ph

ng trình nên

2,0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) y 6 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 x 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y 2 3 07

1,0

(cid:0) (cid:0) 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - + pt xy y y x 1 1 1 � 1 - + 1 0 (cid:0) (cid:0) y y x x 1 y 1 - + 1 � � (x y ) y � � � = � � x �

ệ

ề

(do đi u ki n (*))

- + = � x y � = + y x 1 0 1

Thay vào PT (2) ta đ

(3)    ĐK:

ượ 3 5 c:

(cid:0) (cid:0)x 5 - + x 3 5 - = x 4 + x 2 7 4 5

(3)

= - - + - - - - S , ; x) x ) � ( 7 3 5 (x 3 = x 5 4 0 3 1 ; 2 2 1 2 � � � � � � 3 � �� � � �� 2 � �� �

2 x+x )

- � ( 4 5 0 1,0 1 - + - + x) x 3 5 x ( 7 3 - + x 5 4 � � � � � = � � �

2 5

ệ ươ

ế

ấ

ố

ớ

Đ i chi u v i ĐK th y h  ph

ệ ( ng trình có nghi m:

(cid:0) = x (cid:0) - (cid:0) � x = x+ 4 0 = x =� y =� y (cid:0) 1 4 2 5

) x y = ;

(4;5),(1;2)

3.a

2,0

ĐK:

. Khi đó bpt:

x (cid:0)

-

2

2

+

1 3 + x

+ � � � � � �� x

x

x

x

(1)

3

1)

3

0

1

2

2

2

2

+ 1 +

x +

1,0 - (cid:0) (cid:0)

BPT

�

�

x

x x

� (3) m

(

2)

0 + + 2 4

2 x x (

4)

3

2

- -

2

(2) =

ượ

Đ t ặ

c bpt:

(4).

t

x x

t

m

- + (cid:0) t 3

x 1 1 ( + + + � m x x 4 1 + �� � � Ta đ t � � 4 0; 5

1,0 -

ể

ệ

ở Bài toán tr  thành tìm

m đ  (4) có nghi m

t � � 0; 5 � �

(cid:0)

2

=

ể

ệ

Xét hàm s  ố

trên đo n ạ

f

t

- + t

t ( )

3

0; 5� � � �. Đ  bpt (1) có nghi m thì

� � � ۳

m

m

m

m f t ax ( )

8

5

5 8

� � 0; 5 � �

3.b

- - - -

2,0

1,0

ặ

CE: 2x ­ 8y + 27 = 0. Mà

, m t khác E là trung

Do đó:  CE

AE

= - ^ (cid:0) �� E AE CE E 3 � � ;3 � � 2 � �

( D -

)2;3

ủ

ể

đi m c a HD nên

. Khi đó BD: y ­ 3 = 0, suy ra AH: x + 1 = 0 nên A(­1; 1).

Suy ra AB: x ­ 2y +3=0.   Do đó: B(3; 3). KL: A(­1; 1), B(3; 3) và D(­2; 3)

^

ế ọ

ư

ừ

ậ CE

AE

ứ L u ý:N u h c không ch ng minh  mà th a nh n

thì cho 1,0 đi m.ể

C

B

H

K

I

E

4

1,0

D

A

2,0

Đ t ặ

0

0

D

0

0

- P = 1 sin10 3 cos10

0

0

Ta có:

0

0 sin10 cos10

0

- 1,0 2 cos10 sin10 - cos10 3 sin10 3 2 � 1 � 2 � � � � = = P

0

0

0 10 )

0

5

sin 20 1 2 - = = = 4 1,0 4sin 20 0 sin 20 sin 20 2sin(30 1 2

=

+

ế

ố ự ươ

ng a, b, c t

ừ ả  gi

thi

t ta có:

abc

+ ab bc

ca

ớ V i các s  th c d Khi đó: 2

3

3

3

2,0

2

2

= = = a + + + + + a + ab bc abc ca ( a a c a b )( ) 1,0

3

2

(1)

2

2

ươ

ự

T

ng t

:

(2);

(3)1,0

a ấ ẳ a + a a bc ứ ử ụ S  d ng b t đ ng th c AM­GM (côsi) ta có: 3 - - - - 4 4 + + (cid:0) (cid:0) (cid:0) + + + + a a c a b )( ) ( + a c 8 + a b 8 a 3 4 a a c a b )( ) ( a b c 8 a + a bc a b c 8 - - - - (cid:0) (cid:0) b + b ac c + c ab b a c 4 8 c a b 4 8

2

2

2

ế ớ ế ủ

ộ

ượ

C ng v  v i v  c a (1), (2), (3) ta đ

c:

(đpcm)

ứ ả

ấ

ẳ

+ + (cid:0) a + a bc b + b ac c + c ab + + a b c 4

D u đ ng th c x y ra khi

a = = = b c . 1 3