UBND THÀNH PHỐ HẢI DƯƠNG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT LỚP 9-LẦN 1
NĂM HỌC 2024 – 2025
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
(Đề gồm 02 trang)
Câu 1 (1,5 điểm)
1. Biểu đồ dưới đây biểu diễn kết quả một bài kiểm tra của lớp 9A.
a) Có bao nhiêu giá trị khác nhau của mẫu dữ liệu trên, đó là những giá trị nào?
b) Lập bảng tần số cho dữ liệu được biểu diễn bởi biểu đồ.
2. Một hộp chứa 4 tấm thẻ cùng loại được đánh số 1; 4; 7; 9. Bạn Hùng và bạn Dũng
lần lượt mỗi người lấy ngẫu nhiên ra 1 tấm thẻ từ hộp. Tính xác suất của biến cố A:
“Tổng các số ghi trên 2 tấm thẻ mà hai bạn lấy được là số lẻ”.
Câu 2 (2,0 điểm)
1. Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a)
2
1 1 1
1 3 1 3
19
x
xx
x
+=+
+-
-
b)
25
38
xy
xy
+=
− = −
2. Rút gọn biểu thức:
3 2 9 3 9
P : 1 9
2 3 6
x x x x
x
x x x x
− + − −
= + − −
−
− + + −
(với
0; 4; 9x x x
)
Câu 3 (2,0 điểm)
1. Bác Tuấn chia số tiền 700 triệu đồng của mình cho hai khoản đầu tư. Lãi
suất cho khoản đầu tư thứ nhất và thứ hai lần lượt là
5,5%
;
6%
một năm. Sau một
năm tổng số tiền lãi thu được là 40,5 triệu đồng. Tính số tiền bác Tuấn đầu tư cho
mỗi khoản.
2. a) Một người đi bộ trên quãng đường AB dài 18 km. Lúc đầu người đó đi
với tốc độ 5 km/h, về sau đi với tốc độ 4 km/h. Tính độ dài ngắn nhất có thể của
đoạn đường người đó đi với vận tốc 5 km/h để hoàn thành cả quãng đường AB trong
khoảng thời gian không nhiều hơn 4 giờ.
b) Cho phương trình
− + =
212 4 0xx
có hai nghiệm là
.
Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức
+
=+
22
12
12
xx
T
xx
.
ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 4 (1,0 điểm)
Tính khoảng cách giữa hai chiếc thuyền ở vị trí A và B được minh họa như
hình dưới đây. Biết
=0
15BKA
,
=0
50AKI
,
⊥KI AB
,
=380IK m
. (Kết quả làm
tròn đến mét)
Câu 5 (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến
AB và AC với đường tròn (O) (B và C là các tiếp điểm).
a) Chứng minh: Bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc đường tròn.
b) Kẻ đường kính BD của đường tròn (O), gọi H là giao điểm của AO và BC.
Tia AD cắt đường tròn (O) tại điểm E (E khác D) và cắt BC tại F.
Chứng minh: AH.AO = AE.AD
c) Chứng minh rằng:
2 1 1
AF AE AD
=+
Câu 6 (0,5 điểm)
Một rạp chiếu phim có 120 ghế, giá vé hiện tại là 100 nghìn đồng mỗi vé. Với
giá vé này, tất cả các ghế đều được bán hết cho mỗi suất chiếu. Ban quản lý rạp phim
đang xem xét việc tăng giá vé để tối ưu hóa doanh thu. Sau khi thử nghiệm, rạp phim
nhận thấy cứ mỗi lần tăng giá thêm 5 nghìn đồng thì số ghế bị bỏ trống sẽ tăng thêm
là 4. Hỏi mức giá vé mới là bao nhiêu để rạp phim đạt doanh thu lớn nhất?
----- Hết -----
SBD: .................. Họ và tên thí sinh: ....................................................................................
Giám thị 1: ............................................... Giám thị 2: .........................................................
UBND THÀNH PHỐ HẢI DƯƠNG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ KHẢO SÁT LỚP 9 - LẦN 1
MÔN TOÁN
NĂM HỌC 2024 – 2025
(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)
Câu
Phần
Nội dung
Điểm
1
(1,5 điểm)
1.a
Có 6 giá trị khác nhau của mẫu dữ liệu trên
Những giá trị đó là: 4; 5; 7; 8; 9; 10.
0,25
0,25
1.b
Bảng tần số:
Điểm
4
5
7
8
9
10
Tần số
2
10
15
8
7
3
0,5
2
Vì 4 tấm thẻ là cùng loại nên các thẻ có cùng khả năng được
chọn. Số cách lấy có thể có là: (1; 4), (1; 7), (1; 9), (4; 1), (4; 7),
(4; 9), (7; 1), (7; 4), (7; 9), (9; 1), (9; 4); (9; 7).
Do đó có 12 cách chọn.
0,25
Có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố A là:
(1; 4), (4; 1), (7; 4), (4; 7), (4; 9), (9; 4)
Xác suất biến cố A:
61
() 12 2
==PA
0,25
2
(2,0 điểm)
1.a
2
1 1 1
1 3 1 3
19
x
xx
x
+=+
+-
-
ĐKXĐ:
11
;
33
xx
¹ - ¹
( )( ) ( )( ) ( )( )
1 1 3 1 3
1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3
x x x
x x x x x x
+ - +
=+
+ - + - + -
1 1 3 1 3x x x+ = + + -
0,25
12x+=
1 ( / )x t m=
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:
1x=
0,25
1.b
Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 3, giữ nguyên
phương trình thứ hai, ta được:
6 3 15
38
xy
xy
+=
− = −
Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 7x = 7 hay
x = 1
0,25
Thế x = 1 vào phương trình thứ nhất của hệ đã cho ta được
2.1 + y = 5, suy ra y = 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x; y) = (1;3)
0,25
2
3 2 9 3 9
P : 1 9
2 3 6
x x x x
x
x x x x
− + − −
= + − −
−
− + + −
0,25
( )( )
3 2 9 3 9
P : 1 9
23 23
x x x x
x
xx xx


− + − −

= + + −



−
−+ −+

( ) ( ) ( )
( )( )
9 4 9 9 3 9
P:
9
23
x x x xx
x
xx
− + − + − − − +
=−
−+
0,25
( )( ) ( )( )
( )
33
4:
2 3 3
xx
x
P
x x x x
−+
−
=− + −
0,25
2x
Px
+
=
. Vậy
2x
Px
+
=
(với
0; 4; 9x x x
)
0,25
3
(2,0 điểm)
1
2. Gọi
x
(triệu đồng) là số tiền đầu tư vào khoản thứ nhất.
Gọi
y
(triệu đồng) là số tiền đầu tư vào khoản thứ hai.
Điều kiện:
0 < , 700xy
Bác Tuấn chia 700 triệu đồng thành hai khoản đầu tư nên
( )
700 1 xy+=
0,25
Tiền lãi của khoản đầu tư thứ nhất:
5,5%x =
0,055x
(triệu đồng)
Tiền lãi của khoản đầu tư thứ hai:
6%y =
0,06y
(triệu đồng)
Ta có
( )
0,055 0,06 40,5 2 xy+=
0,25
Giải hệ phương trình: được x = 300; y = 400 (thỏa mãn bài toán)
0,25
Số tiền đầu tư vào khoản thứ nhất là 300 triệu đồng
Số tiền đầu tư vào khoản thứ hai là 400 triệu đồng
0,25
2a
Gọi quãng đường người đó đi với vận tốc 5 km/h là x (km)
(
0 18x
)
Quãng đường người đó đi với vận tốc 4 km/h là:
( )
18 x km−
Thời gian người đó đi với vận tốc 5 km/h là:
( )
5
xh
Thời gian người đó đi với vận tốc 4 km/h là:
( )
18
4
xh
−
0,25
Vì người đó hoàn thành cả quãng đường AB trong khoảng thời
gian không nhiều hơn 4 giờ nên ta có:
18 4
54
90 80
10
xx
x
x
−
+
−
Vậy độ dài ngắn nhất có thể của đoạn đường người đó đi với vận
tốc 5 km/h là 10 km.
0,25
2b
Xét phương trình:
− + =
212 4 0xx
Ta có
= − − =
2
' ( 6) 1.4 32 0
nên phương trình có hai nghiệm
phân biệt
12
,xx
Theo định lí Viète ta có:
=
+ =

12
12
12
12 0 0, 0
40
xx
xx
xx
Ta có:
( )
( )
( )

+−

+
+


= = =

+ + +
+

2
2
2
222
22 1 2 1 2
12
212
2
1 2 1 2 1 2
12
2
2
x x x x
xx
xx
T
x x x x x x
xx
(Nếu học sinh không chỉ ra

12
0, 0xx
không trừ điểm)
0,25
( )
−
==
+
2
2
212 2.4 1156
12 2 4
T
Nhận xét
+
22
12
0xx
và
+
12
0xx
với mọi
12
,0xx
suy ra
0T
= = =
21156 34TT
Vây
=34T
.
0,25
4
(1,0 điểm)
Xét tam giác
AIK
vuông tại I ta có:
0
tan .tan 380.tan 50
AI
AKI AI IK AKI
IK
= = =
0,25
Xét tam giác
BIK
vuông tại I ta có:
( )
tan .tan 380.tan 15 50
BI
BKI BI IK BKI
IK
= = = +
0,25
Ta có
( ) ( )
0
380.tan 15 50 380.tan50 362AB AI BI AB BI AI m+ = = − = + −
Vậy khoảng cách giữa chúng là
362m
0,5
5
a
Vẽ hình đúng đến câu a
0,25