PHÒNG GD & ĐT DUY XUYÊN Đ KH O SÁT H C SINH GI I NĂM H C 2007 -Ề Ả Ọ Ỏ Ọ
2008
Đ CHÍNH TH CỀ Ứ MÔN: TOÁN 7
Th i gian làm bài: 120 phútờ
Bài 1: (1,5đ)
a/ Rút g n: ọ
2 9 5 3 3
2 8 8 3
5 .6 .10 6 .2 .15
5 .6 .10 2.6 .10
+
−
b/ Bi t 1ế4 + 24 + 34 + ... + 94 + 104 = 25333
Tính t ng S = 2ổ4 + 44 + 64 + ... + 184 + 204
Bài 2: (2,0đ)
Cho t l th c ỉ ệ ứ
2 2
22 14
x y x y
+ −
=
a/ Tính t s ỉ ố
x
y
b/ Tìm x, y bi t xế2 + y2 = 82
Bài 3: (3,0đ)
a/ Cho M =
2 2
2
31
x y
xx
−
++
N = (x + 1)2 + (y -
2
)2 + 2008
Tính giá tr c a M t i x, y th a mãn N đ t giá tr nh nh tị ủ ạ ỏ ạ ị ỏ ấ
b/ Cho A = 2x4y2 – 7x3y5 ; B =
1
2
−
x4y2 + 2x3y5 ; C = 5x3y5
Ch ng t r ng trong ba bi u th c A, B, C có ít nh t m t bi u th c luôn có giáứ ỏ ằ ể ứ ấ ộ ể ứ
tr không âm v i m i x, y.ị ớ ọ
c/ Tìm x ∈ N bi t 2ếx+1 + 2x+4 + 2x+5 = 26.52
Bài 4: (2,5đ)
Cho ∆ABC cân t i A (AB > AC). M là trung đi m AC. Đ ng th ng vuông gócạ ể ườ ẳ
v i AC t i M c t BC t i P. Trên tia đ i tia AP l y đi m Q sao cho AQ = BP.ớ ạ ắ ạ ố ấ ể
a/ Ch ng minh r ng:ứ ằ
+/
ﾷ
ﾷ
APC BAC=
+/ PC = QC
b/ ∆ABC c n thêm đi u ki n gì đ CQ ầ ề ệ ể ⊥ CP
Bài 5: (1,0đ)
Cho ∆ABC có
ﾷ
A
= 300. D ng bên ngoài tam giác đ u BCD.ự ề
Ch ng minh: ADứ2 = AB2 + AC2
*=*=*=*=*= H t =*=*=*=*=*ế
PHÒNG GD & ĐT DUY XUYÊN Đ KH O SÁT H C SINH GI I NĂM H C 2008 -Ề Ả Ọ Ỏ Ọ
2009
Đ CHÍNH TH CỀ Ứ MÔN: TOÁN 7
Th i gian làm bài: 120 phútờ
Bài 1: (1,5đ)
Th c hi n phép tính sau m t cách h p lí:ự ệ ộ ợ
a/
b/
3 3 3
0,375 0,3 1,5 1
11 12 4
5 5 5 5
0,625 0,5 2,5
11 12 3 4
− + + + −
+
− + − − + −
Bài 2: (3,0đ)
a/ Cho hai đa th c P(x) = xứ2 + 2mx + m2 và Q(x) = x2 – (2m + 1)x + m2.
Tìm m bi t P(3) = Q(-2)ế
b/ Tìm giá tr l n nh t c a M = 2009 - ị ớ ấ ủ
7x−
- (2m + 4)2008
c/ Tìm x bi t ế
2 4 5x x− + − =
Bài 3: (2,5đ)
a/ Cho a + b + c = 2009 và
1 1 1 1
7a b b c c a
+ + =
+ + +
Tính S =
a b c
b c a c a b
+ +
+ + +
b/ T ng các lũy th a b c ba c a 3 s là -1009. Bi t t s c a s th nh t v i sổ ừ ậ ủ ố ế ỉ ố ủ ố ứ ấ ớ ố
th hai là ứ
2
3
, gi a s th nh t v i s th ba là ữ ố ứ ấ ớ ố ứ
4
9
. Tìm 3 s đó.ố
Bài 4: (2,0đ)
Cho ∆ABC có
ﾷ
A
< 900. Trên n a m t ph ng b AC không ch a B v tia Axữ ặ ẳ ờ ứ ẽ
vuông góc v i AC và l y trên tia đó đi m E sao cho AE = AC. Trên n a m t ph ng bớ ấ ể ử ặ ẳ ờ
AB không ch a C v tia Ay vuông góc v i AB và l y trên đó đi m D sao cho AD =ứ ẽ ớ ấ ể
AB.
a/ Ch ng minh DC = BE và DC ứ⊥ BE.
b/ G i N là trung đi m c a DE. Trên tia đ i c a tia NA l y đi m M sao cho NAọ ể ủ ố ủ ấ ể
= NM. Ch ng minh AB = ME và ứ∆ABC = ∆EMA
Bài 5: (1,0đ)
Cho ∆ABC vuông t i A, m t đ ng th ng d c t hai c nh AB và AC l n l tạ ộ ườ ẳ ắ ạ ầ ượ
t i D và E. Ch ng minh r ng CDạ ứ ằ 2 – CB2 = ED2 – EB2.
*=*=*=*=*= H t =*=*=*=*=*ế
ĐÁP ÁN & BI U ĐI MỂ Ể
1/
1,0đ
12 5 6 2 10 3 5 2 12 5 12 4 10 3 10 4
2 6 4 5 3 9 3 12 6 12 5 9 3 9 3 3
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7
(2 .3) 8 .3 (125.7) 5 .14 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7
− − − −
− = −
+ + + +
12 4 10 3 12 4 10 3
12 5 9 3 3 12 5 9 3
2 .3 .(3 1) 5 .7 .(1 7) 2 .3 .2 5 .7 .( 6) 1 10 7
2 .3 .(3 1) 5 .7 .(1 2 ) 2 .3 .4 5 .7 .9 6 3 2
− − − −
= − = − = − =
+ +
0,25đ
0,75đ
2a/
0,5đ (x – 1)3 = -8 ⇒ x – 1 = -2
⇒ x = -1. V y x = -1ậ
0,25đ
0,25đ
2b/
0,5đ
9 7 5 3x x− = −
. ĐK
3
5
x
⇒
9 7 5 3
9 7 3 5
x x
x x
− = −
− = −
12 12 1
2 6 3
x x
x x
= =�
� �
= =
(TMĐK) v y x = 1 ho c x = 3ậ ặ
0,25đ
0,25đ
2c/
0,5đ x - 3
x
= 0. ĐK x ≥ 0 ⇒
0
( 3) 0 9
x
x x x
=
− = =
(TMĐK) 0,5đ
2d/
0,5đ 12x = 15y = 20z ⇒
48 4 20; 16; 12
5 4 3 12 12
x y z x y z x y z
+ +
= = = = = = = =�
0,5đ
3a/
0,75đ Vì a ∈ Z+ ⇒ 4a ≡ 1 (mod 3) ⇒ 4a + 2 ≡ 0 (mod 3)
Mà 4a + 2 ≡ 0 (mod 2) ⇒ 4a + 2
M
6
Khi đó ta có 4a + a + b = 4a + 2 + a + 1 + b + 2007 – 2010
M
6
V y v i a, b ậ ớ ∈ Z+ sao cho a + 1 và b + 2007
M
6 thì 4a + a + b
M
6
0,25đ
0,25đ
0,25đ
3b/
0,75đ T 6xừ2 + 5y2 = 74 ⇒ 6x2 ≤ 74 ⇒ x2 ≤ 74/6 mà x ∈ Z ⇒ x∈{0; 1; 4; 9}
M t khác ta có xặ2 + 1 = 75 – 5x2 – 5y2
M
5 ⇒ x2 = 4 ho c xặ2 = 9
N u xế2 = 4 ⇒ y2 = 10 (lo i vì y ạ∈ Z)
N u xế2 = 9 ⇒ y2 = 4 ⇒ (x, y) ∈ {(3, 2); (3; -2); (-3; 2); (-3; -2)}
0,25đ
0,25đ
0,25đ
4a/
1,0đ
a c a c c a
b d b d d b
+ −
= = =
+ −
⇒
. .
a c a c a c
b d b d b d
+ −
=
+ −
⇒
2 2
2 2
( ). ( ).
( ). ( ).
a c a c a c a ac c ac
b d b d b d b bd d bd
+ − + −
= =�
+ − + −
⇒ đpcm
0,5đ
0,5đ
4b/
1,0đ Ta có
;
x x x y y y
x y z t x y z x y x y z t x y t x y
< < < <
+ + + + + + + + + + + +
;
z z z t t t
x y z t y z t z t x y z t x z t z t
< < < <
+ + + + + + + + + + + +
⇒
x y z t x y z t
M
x y z t x y x y z t z t
� �
+ + + � �
< < + + +
� � � �
+ + + + + + +
� �
� �
Hay 1 < M < 2. V y M có giá tr không ph i là s t nhiênậ ị ả ố ự
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
4c/
1,0đ
Ta có AB + BM = AM = AN = AC – NC
⇒ AB + BM = AC – BM ⇒ 2BM = AC – AB ⇒ BM = (b – c):2
AM = AB + BM ⇒ AM = (b + c):2
0,5đ
0,5đ
5/
1,0đ Qua M k HK // BC (H ẻ∈ AB; K ∈ CD)
MA2 = MH2 + HA2
MC2 = MK2 + KC2
K
H
M
D
C
B
A
⇒ MA2 + MC2 = MH2 + HA2 + MK2 + KC2
MB2 = MH2 + HB2
MD2 = MK2 + DK2
⇒ MB2 + MD2 = MH2 + HB2 + MK2 + DK2
Ta có AH = DK; HB = KC
⇒ MA2 + MC2 = MB2 + MD2
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
PHÒNG GD & ĐT DUY XUYÊN Đ KH O SÁT H C SINH GI I NĂM H C 2009 -Ề Ả Ọ Ỏ Ọ
2010
Đ CHÍNH TH CỀ Ứ MÔN: TOÁN 7
Th i gian làm bài: 120 phútờ
Bài 1: (1,0đ) Th c hi n phép tính sau:ự ệ
( )
( )
12 5 6 2 10 3 5 2
6 3 9 3
2 4 5
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49
125.7 5 .14
2 .3 8 .3
− −
−+
+
Bài 2: (2,0đ) Tìm các s x, y, z bi t.ố ế
a/ (x – 1)3 = -8 b/
9 7 5 3x x
− = −
c/ x - 3
x
= 0 d/ 12x = 15y = 20z và x + y + z = 48
Bài 3: (1,5đ)
a/ V i a, b là các s nguyên d ng sao cho a + 1 và b + 2007 chia h t cho 6.ớ ố ươ ế
Ch ng minh r ng: 4ứ ằ a + a + b chia h t cho 6.ế
b/ Tìm các s nguyên x, y th a mãn: 6xố ỏ 2 + 5y2 = 74
Bài 4: (2,0đ)
a/ Cho
a c
b d
=
. Ch ng minh r ng: ứ ằ
2 2
2 2
a ac b bd
c ac d bd
+ +
=
− −
b/ Cho x, y, z, t ∈ N. Ch ng minh r ng: ứ ằ
M =
x y z t
x y z x y t y z t z t x
+ + +
+ + + + + + + +
có giá tr không ph i là s t nhiên.ị ả ố ự
Bài 5: (3,0đ) Cho ∆ABC có góc A nh n. V phía ngoài ọ ề ∆ABC v ẽ∆BAD vuông cân
t i A, ạ∆CAE vuông cân t i A. Ch ng minh:ạ ứ
a/ DC = BE; DC ⊥ BE
b/ BD2 + CE2 = BC2 + DE2
c/ Đ ng th ng qua A vuông góc v i DE c t BC t i K. Ch ng minh K là trungườ ẳ ớ ắ ạ ứ
đi m c a BC.ể ủ
Bài 6: (0,5đ) Cho ∆ABC nh n v i ọ ớ
ﾷ
BAC
= 600. Ch ng minh r ng:ứ ằ
BC2 = AB2 + AC2 – AB.AC
*=*=*=*=*= H t =*=*=*=*=*ế
ĐÁP ÁN & BI U ĐI MỂ Ể
1/
1,0đ
12 5 6 2 10 3 5 2 12 5 12 4 10 3 10 4
2 6 4 5 3 9 3 12 6 12 5 9 3 9 3 3
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7
(2 .3) 8 .3 (125.7) 5 .14 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7
− − − −
− = −
+ + + +
12 4 10 3 12 4 10 3
12 5 9 3 3 12 5 9 3
2 .3 .(3 1) 5 .7 .(1 7) 2 .3 .2 5 .7 .( 6) 1 10 7
2 .3 .(3 1) 5 .7 .(1 2 ) 2 .3 .4 5 .7 .9 6 3 2
− − − −
= − = − = − =
+ +
0,25đ
0,75đ
2a/
0,5đ (x – 1)3 = -8 ⇒ x – 1 = -2
⇒ x = -1. V y x = -1ậ
0,25đ
0,25đ
2b/
0,5đ
9 7 5 3x x− = −
. ĐK
3
5
x
⇒
9 7 5 3
9 7 3 5
x x
x x
− = −
− = −
12 12 1
2 6 3
x x
x x
= =�
� �
= =
(TMĐK) v y x = 1 ho c x = 3ậ ặ
0,25đ
0,25đ
2c/
0,5đ x - 3
x
= 0. ĐK x ≥ 0 ⇒
0
( 3) 0 9
x
x x x
=
− = =
(TMĐK) 0,5đ
2d/
0,5đ 12x = 15y = 20z ⇒
48 4 20; 16; 12
5 4 3 12 12
x y z x y z x y z
+ +
= = = = = = = =�
0,5đ
3a/
0,75đ Vì a ∈ Z+ ⇒ 4a ≡ 1 (mod 3) ⇒ 4a + 2 ≡ 0 (mod 3)
Mà 4a + 2 ≡ 0 (mod 2) ⇒ 4a + 2
M
6
Khi đó ta có 4a + a + b = 4a + 2 + a + 1 + b + 2007 – 2010
M
6
V y v i a, b ậ ớ ∈ Z+ sao cho a + 1 và b + 2007
M
6 thì 4a + a + b
M
6
0,25đ
0,25đ
0,25đ
3b/
0,75đ T 6xừ2 + 5y2 = 74 ⇒ 6x2 ≤ 74 ⇒ x2 ≤ 74/6 mà x ∈ Z ⇒ x∈{0; 1; 4; 9}
M t khác ta có xặ2 + 1 = 75 – 5x2 – 5y2
M
5 ⇒ x2 = 4 ho c xặ2 = 9
N u xế2 = 4 ⇒ y2 = 10 (lo i vì y ạ∈ Z)
N u xế2 = 9 ⇒ y2 = 4 ⇒ (x, y) ∈ {(3, 2); (3; -2); (-3; 2); (-3; -2)}
0,25đ
0,25đ
0,25đ
4a/
1,0đ
a c a c c a
b d b d d b
+ −
= = =
+ −
⇒
. .
a c a c a c
b d b d b d
+ −
=
+ −
⇒
2 2
2 2
( ). ( ).
( ). ( ).
a c a c a c a ac c ac
b d b d b d b bd d bd
+ − + −
= =�
+ − + −
⇒ đpcm
0,5đ
0,5đ
4b/
1,0đ Ta có
;
x x x y y y
x y z t x y z x y x y z t x y t x y
< < < <
+ + + + + + + + + + + +
;
z z z t t t
x y z t y z t z t x y z t x z t z t
< < < <
+ + + + + + + + + + + +
⇒
x y z t x y z t
M
x y z t x y x y z t z t
� �
+ + + � �
< < + + +
� � � �
+ + + + + + +
� �
� �
Hay 1 < M < 2. V y M có giá tr không ph i là s t nhiênậ ị ả ố ự
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
5a/
1,0đ CM đ c ượ ∆ABE = ∆ADC (c.g.c) ⇒ DC = BE
CM đ c DC ượ ⊥ BE
0,5đ
0,5đ
5b/
1,0đ
Vi t đ c CEế ượ 2 = ME2 + MC2; DB2 = MD2 + MB2 ; DE2 = MD2 + ME2;
BC2 = MB2 + MC2
⇒ BD2 + CE2 = MD2 + MB2 + ME2 + MC2;
0,5đ