PHÒNG GD& ĐT YÊN LẠC
TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU
ĐỀ KSCL HỌC SINH GIỎI LỚP 8 LẦN 1
NĂM HỌC 2020 – 2021
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1:(1.5 điểm)Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)
4
x 4
b) x4 + 2020x2 + 2019x + 2020.
Câu 2 : (1.5 điểm) Cho a – b = 5 và a.b = 2. Tính :
a ) A = a3 – b3
b) B = 3(a4 + b4) + 2(a5 – b5)
Câu 3: (2 điểm)Tìm số tự nhiên n để:
a ) A=n3-n2+n-1 là số nguyên tố.
b ) B= n5-n+2 là số chính phương. (
;2n N n
)
Câu 4: (1 điểm)
a) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :
3
cba
c
bca
b
acb
a
b)Cho a > b > 0 so sánh 2 số x , y với :
x =
2
1
1
a
aa

; y =
2
1
1
b
bb

Câu 5: (1,5 điểm)
a)Tính tổng: S = 31 – 21 + 32 – 22 + 33 – 23 + … + 32019 – 22019.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015
Câu 6 : (2,5 điểm) Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ hai đường thẳng vuông góc
với nhau lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S.
a) Chứng minh
AQR và
APS là các tam giác cân.
b) QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS. Chứng minh tứ giác
AMHN là hình chữ nhật.
c) Chứng minh P là trực tâm
SQR.
d) Chứng minh MN là đường trung trực của AC.
e) Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng.
PHÒNG GD- ĐT YÊN LẠC
TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN 8 .
NĂM HỌC 2020 - 2021
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
(1,5đ)
a )x4 + 4 = (x4 + 4x2 + 4) - 4x2 = ( x2+2)2- (2x)2
= (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x)
0,5
b) x4 + 2020x2 + 2019x + 2020 =
42
x x 2020x 2020x 2020
0.5
=
22
x x 1 x x 1 2020 x x 1
=
22
x x 1 x x 2020
0,5
Câu 2
(1.5đ)
a) A = (a – b)(a2 + ab + b2) = 5[(a – b)2 + 3ab] = 5(25 + 3.2) = 155
0,5
b)
a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 = [(a – b)2 + 2ab]2 – 2a2b2
= (25 + 2.2)2 – 2.22
= 833
a5 – b5 = (a2 + b2)(a3 – b3) + a2b3 – a3b2
= [(a – b)2 + 2ab] . (a – b)(a2 + ab + b2) + a2b2(b – a)
= [(a – b)2 + 2ab] . (a – b) [(a – b)2 + 3ab] + a2b2(b – a)
= (25 + 4) . 5. (25 + 6) – 4.5
=4475
Vậy B = 3. 833 + 2 . 4475 = 11449
0.25
0,5
0,25
Câu 3
(2đ)
a) p = n3 - n2 + n - 1= (n2 + 1)(n - 1)
0.25
+)Nếu n = 0; 1 không thỏa mãn đề bài
+)Nếu n = 2 thỏa mãn đề bài vì p = (22 + 1)(2 - 1) = 5
+)Nếu n > 3 không thỏa mãn đề bài vì khi đó p có từ 3 ước trở lên là
1; n – 1> 1 và n2 + 1 > n – 1> 1
0.5
- Vậy n = 2 thìp = n3 - n2 + n - 1 là số nguyên tố
0.25
b) B=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2
=n(n-1)(n+1)
54
2n
+2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-1)(n+1)+2
0.5
mà n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)
5 (tích của 5số tự nhiên liên tiếp)
và 5 n(n-1)(n+1)
5 Vậy B chia 5 dư 2
0.25
Do đó số B có tận cùng là 2 hoặc 7nên B không phải số chính phương
Vậy không có giá trị nào của n để B là số chính phương
0.25
Câu 4
(1đ)
a) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0
Từ đó suy ra a=
2
;
2
;
2
yx
c
zx
b
zy
;
0,25
=>A=
)()()(
2
1
222 y
z
z
y
x
z
z
x
y
x
x
y
z
yx
y
zx
x
zy
Từ đó suy ra A
)222(
2
1
hay A
3
0.25
b)Ta có x,y > 0 và
22
2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1
11
a a a
a
x a a y
a a a b b

 
Vì a> b > 0 nên
22
11
ab
và
11
ab
. Vậy x < y.
0,5
Câu 5
(1,5 đ)
. a)S = 31 – 21 + 32 – 22 + 33 – 23 + … + 32019 – 22019.
= (31 + 32 + 33 + … + 32019) – (21 + 22 + 23 + …+ 22019)
Đặt A = 31 + 32 + 33 + … + 32019, B = 21 + 22 + 23 + …+ 22019
A = 31 + 32 + 33 + … + 32018 + 32019
3A = 32 + 33 + 34 + … + 32019 + 32020
3A – A = 32020 - 31
A =
2
332020
B = 21 + 22 + 23 + …+ 22018 + 22019
2B = 22 + 23 + 24 + … + 22019 + 22020
2B – B = 22020 - 21
B = 22020 – 2
Vậy S =
2
123
22
2
33 20212020
2020
2020
b )A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015
= y2 + 4xy - 2y + 13x2 - 16x + 2015
= y2 + 2y(2x - 1) + (2x -1)2 + 9x2 - 12 x + 2015
= (y + 2x - 1)2 + (3x - 2)2 + 2010
Chứng tỏ A
2010, dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi (x =
3
2
; y =
3
1
)
Vậy min A = 2010 khi (x =
3
2
; y =
3
1
)
0.25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Hình vẽ.
Vẽ đúng hình, cân đối đẹp.
a)
ADQ =
ABR vì chúng là hai tam giác vuông (2 góc có cạnh t.ư
vuông góc) và DA = BD (cạnh hình vuông). Suy ra AQ=AR, nên
AQR là tam giác vuông cân. Chứng minh tương tự ta có:
ABP =
ADS
do đó AP =AS và
APS là tam giác cân tại A.
0,5
b) AM và AN là đường trung tuyến của tam giác vuông cân AQR và
APS nên AN
SP và AM
RQ.
Mặt khác :
PAN PAM
= 450 nên góc MAN vuông. Vậy tứ giác AHMN
có ba góc vuông, nên nó là hình chữ nhật.
c) Theo giả thiết: QA
RS, RC
SQ nên QA và RC là hai đường cao
của
SQR. Vậy P là trực tâm của
SQR.
d) Xét tam giác vuông cân AQR có MA là trung tuyến nên AM =
2
1
QR
MA = MC, nghĩa là M cách đều A và C.
Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân ASP và tam giác vuông
SCP, ta có NA = NC, nghĩa là N cách đều A và C. Hay MN là trung
trực của AC
e) Vì ABCD là hình vuông nên B và D cũng cách đều A và C. Nói cách
khác, bốn điểm M, N, B, D cùng cách đều A và C nên chúng phải nằm
trên đường trung trực của AC, nghĩa là chúng thẳng hàng.
Chú ý:
- Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai cơ bản thì không chấm bài hình.
0,5
0,5
0,25đ
0,25đ
0,5đ