Câu 1(3,0 ). :5 5 2
2cos .sin 2sin .cos sin 4 .x x x x x
Câu 2 (2,0 ).
2
2 6.
3
xx x
x
Câu 3 (4,0 ). Cho
(0;1)a
và ( )
n
uxác :
1
3
3
1
1
( ) : 1
n
n n
u
uu au a *
, .
n
a) ( )
n
v31
n n
v u ( )
n
v
nhân
b)
a
3 3 3
1 2
lim( ... ) 4
n
u u u n .
Câu 4 (3.0 ). 25
ó 6 5
,
Toán Anh.
Câu 5 (6.0 ). Cho ABCD.A’B’C’D’ I
AB, E DD’ sao cho ' ,(0 1)AI D E x x .
IE
'A C .
b) Tìm
x
'
AC và
DI
0
,M N
, ' '.
AB A D
K
( )CMN
' '
B C '
.
' '
B K
B C
Câu 6 (2.0 ).
, ,a b c
2 2 2
3 0a b c b
.
2 2 2
1 4 8
1.
1 2 3a b c
------------- -------------
c s d ng tài li i thích gì thêm.
Hvà tên thí sinh: ………………………....................................................….SBD: ...............................
– 2019
Môn: TOÁN - 11
:150 phút
1
TRƯỜNG THPT KIM LI£N
ĐÁP ÁN ĐỀ OLYMPIC MÔN TOÁN LỚP 11
NĂM HỌC 2018 – 2019
C¢U
NỘI DUNG
ĐIỂM
1
(3 điểm)
5 5 2
2 2 2 2 2
22
2cos .sin 2sin .cos sin 4
2cos .sin (cos sin )(cos sin ) sin 4
1
sin 2 .cos2 sin 4 sin 4 sin 4
2
x x x x x
x x x x x x x
x x x x x

1,5
44
sin 4 0
4 2 , .
16 24 2
sin 4 25
5
4224 2
6
xk
xk
x
x k x k k
x
xk
xk



1,5
2
(2 điểm)
Điều kiện xác định:
0; 9.xx
2
22
2 6 2(3 ) 2.
3 3 3 3
x x x x
x x x x
x x x x



1,0
226
38 2 7.
3
1
3
x
xx
xx
xxx
x


1,0
3
(4,0 điểm)
a) Ta có

3 3 3 3
11
1 1 1
n n n n
u au a u a u
. Suy ra
1.
nn
v av
1,0
Như vậy dãy số
n
v
là cấp số nhân với công bội a nên nó là cấp số nhân lùi vô hạn.
1,0
b) Ta được
12
21
... 1
n
n
a
v v v a
3 3 3
12
21
... 1
n
n
a
u u u n a
3 3 3
12
lim ... 4
n
u u u n

21
lim 4
1
n
a
a
1,0
Vì
01a
nên
21 2 2 1
lim 4 .
1 1 1 2
n
aa
a a a
1,0
4
(3,0 điểm)
T là phép thử ‘Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh trong số 25 học sinh’. Ta có :
3
25.C
Gọi A là biến cố : 3 học sinh được chọn luôn có học sinh dự thi môn Toán và học sinh dự thi
môn Anh. Ta có các trường hợp sau thuận lợi cho biến cố A :
0,5
Có 1 học sinh chọn môn Toán, 2 học sinh chọn môn Anh có :
12
65
.CC
khả năng
Có 2 học sinh chọn môn Toán, 1 học sinh chọn môn Anh có :
21
65
.CC
khả năng
Có 1 học sinh chọn môn Toán, 1 học sinh chọn môn Anh, 1 học sinh chọn môn khác
(Văn, Tin, Sinh học, Lịch sử, Vật Lí, Hóa, Địa lý) có :
1 1 1
6 5 14
.C C C
khả năng.
2,0
1 2 2 1 1 1 1
6 5 6 5 6 5 14
..
AC C C C C C C
Vậy xác suất của biến cố A là
555 111
( ) .
2300 460
A
PA
0,5
2
5
(6,0 điểm)
Đặt
' ' ; ' ' ; ' .A B a A D b A A c
a) Ta có:
'.A C a b c
Lại có:
IE IA AD DE
(1 ) .xa b x c
Xét:
2 2 2
' . . (1 )
(1 ) 1 (1 ) 0.
A C IE a b c xa b x c
xa b x c x x
Suy ra
'.A C IE
F
N
M
A'
A
B'
B
D'
D
C'
C
K
M'
I
E
3.0
b) Ta có:
0
2
. ' ( )( ') 1
cos60 . ' . ' 1 . 3
DI AC DA AI AD AB AA x
DI AC DI AC x

.
Suy ra:
2
2
118 1 0 4 15.
2
1 . 3
xx x x
x

1,5
c) Gọi M’ là trung điểm cạnh A’B’.
Trong
( ' ' ' ') :A B C D
kẻ đường thẳng đi qua
N
và song song với
''CM
cắt đường thẳng
''BC
tại
.K
Khi đó
K
là giao điểm của mặt phẳng
()CMN
với đường thẳng
' '.BC
Áp dụng định lí Ta-lét ta tính được:
'5
.
' ' 2
BK
BC
1,5
6
(2 điểm)
Đặt
2 2 2
1 4 8
1 2 3
Pa b c
.
Ta thấy:
2 2 2
2 2 2 2 4 2 6 1 2 1 0a b c a b c a b c
, theo giả thiết
thì
2 2 2 3a b c b
. Suy ra
3 2 4 2 6 0b a b c
hay
2 2 10 16a b c
.
0,5
Với hai số
,0xy
ta có:
22
2 2 2 2 2
2
2( )( ) 8 .
( ) 4
x y xy x y x y x y
x y xy


Do đó:
2
22
1 1 8 (1)
xy xy

Áp dụng (1) ta có:
2 2 2
1 4 8
12 2
2
ab b
a






;
2 2 2
1 1 8
3
25
22
c
bb
a a c

.
0,5
2
2 2 2 2
8 8 8 16
8.
3 2 2 10
25
22
Pc a b c
bb
a a c
.
Theo giả thiết và chứng minh trên thì
0 2 2 10 16a b c
,
1P
.
0,5
Khi
1, 2, 1a b c
thì
1P
.
0,5
Học sinh làm theo cách khác, nếu đúng vẫn được đủ điểm tối đa như đáp án qui định.
……………….HÕt………………...