®Ò thi ¤-lim -pic huyÖn
M«n To¸n Líp 6
N¨m häc 2006-2007
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bµi 1. T×m ch÷ sè x ®Ó:
a) 137 + x3 chia hÕt cho 13.
b) x137x137 chia hÕt cho 13.
Bµi 2. a) So s¸nh ph©n sè:
301
15 Víi
499
25
b) So s¸nh tæng S =
2 3 2007
1 2 3 2007
... ...
2 2 2 2 2
n
n
víi 2. ( n
N*)
Bµi 3. Víi gi¸ trÞ nµo cña sè tù nhiªn a th×:
a)
1
a
4
19a8
cã gi¸ trÞ nguyªn
b)
23
a
4
17a5
cã gi¸ trÞ lín nhÊt.
Bµi 4. T×m ch÷ sè tËn cïng cña sè 62006, 72007
Bµi 5. Trong mét cuéc thi cã 50 c©u hái. Mçi c©u tr¶ lêi ®óng ®îc 20 ®iÓm, cßn tr¶
lêi sai bÞ trõ 15 ®iÓm. Mét häc sinh ®îc tÊt c¶ 650 ®iÓm. Hái b¹n ®ã tr¶ lêi ®îc mÊy
c©u ®óng ?
Híng dÉn chÊm to¸n 6
Bµi 1. T×m ch÷ sè x ®Ó:
a) 137 + x3 chia hÕt cho 13.
A = 137 + x3 = 137 + 30 + x = 12. 13 + (11 + x) => A
13 Khi 11 + x
13
V× x lµ ch÷ sè tõ 0 - > 9 => x = 2
b) x137x137 chia hÕt cho 13.
10001.x7)1010.(13
x710.1310.x710.13x137x137B
26
246
10001 kh«ng chia hÕt cho 13 => B
13 Khi x7
13 => x = 8
Bµi 2. a) So s¸nh ph©n sè:
301
15 Víi
499
25
499
25
500
25
20
1
300
15
301
15 . VËy
301
15 <
499
25
b) So s¸nh tæng S =
2 3 2007
1 2 3 2007
... ...
2 2 2 2 2
n
n
víi 2. ( n
N*)
Víi
n
2 ta cã: n1nn
2
2n
2
1n
2
n
. Tõ ®ã ta cã:
S = 2
2
2009
2)
2
2009
2
2008
(.....)
2
5
2
4
()
2
4
2
3
(
2
1
200720072006322 . VËy S < 2
Bµi 3. Víi gi¸ trÞ nµo cña sè tù nhiªn a th×:
a)
1
a
4
19a8
cã gi¸ trÞ nguyªn
1
a
4
17
2
1
a
4
172a8
1
a
4
19a8
N
§Ó N nguyªn th× 4a + 1 lµ íc sè cña 17 => a = 0, a = 4
b)
23
a
4
17a5
cã gi¸ trÞ lín nhÊt.
5 17 20 68 5(4 23) 47 5 47
4 23 4(4 23) 4(4 23) 4 4(4 23)
a a a
a a a a
Nh vËy bµi to¸n ®a vÒ t×m sè tù nhiªn a ®Ó 4a – 23 lµ sè tù nhiªn nhá nhÊt.
VËy a = 6 =>
23
a
4
17a5
= 13
Bµi 4. T×m ch÷ sè tËn cïng cña sè 62006, 72007
Ta cã: 62 = 36 ≡ 6 (mod10), vËy 6n ≡ 6 (mod10)
sè nguyªn d¬ng n
=> 62006 ≡ 6 (mod10) => ch÷ sè tËn cïng cña 62006lµ 6
74 = 2401 ≡ 1 (mod10), mµ 72007 = 74.501.73
(74)501 ≡ 1 (mod10) => ch÷ sè tËn cïng cña 72004 lµ 1,
Mµ ch÷ sè tËn cïng cña 73 lµ 3 => ch÷ sè tËn cïng cña 72007 lµ 3
Bµi 5. NÕu b¹n ®ã tr¶ lêi ®îc 50 c©u th× tæng sè ®iÓm lµ 50 x 20 = 1.000 (®iÓm)
Nhng b¹n chØ ®îc 650 ®iÓm cßn thiÕu 1.000 – 650 = 350 (®iÓm). ThiÕu 350 ®iÓm v×
trong sè 50 c©u b¹n ®· tr¶ lêi sai mét sè c©u. Gi÷a c©u tr¶ lêi ®óng vµ tr¶ lêi sai chªnh
lÖch nhau 20 + 15 = 35(®iÓm). Do ®ã c©u tr¶ lêi sai cña b¹n lµ 350:35 =10 (c©u)
VËy sè c©u b¹n ®· tr¶ lêi ®óng lµ 50 – 10 = 40 (c©u)