Typesetting math: 95%
Đ thi Olympic toán sinh viên toàn qu c 2012
ố
ề Toán cao c p ấ
Tác gi
: ả BAN BIÊN T P Ậ
Th t
, 11 Tháng 4 2012 13:17
ứ ư
Kì thi Olympic Toán Sinh viên 2012
Thi ngày: 11/04/2012
Th i gian làm bài: 180 phút. ờ
MÔN I SĐẠ Ố
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x 1 =2(4x 1 +3x 2 +2x 3 +x 4 ) x 2 =3(x 1 +4x 2 +3x 3 +2x 4 ) x 3 =4(2x 1 +x 2 +4x 3 +3x 4 ) x 4 =5(3x
Câu 1. Gi i h ph ng trình tuy n tính. ả ệ ươ ế
A
k>0
Câu 2. ma tr n vuông là linh n u M t ộ ậ đượ c g i ọ l y ũ ế t n ồ t i ạ
0
r ng ma tr n tam giác trên có ng chéo chính toàn là ma tr n l y linh và các ma tr n này l p thành m t không gian con a) Ch ng t ứ ỏ ằ ậ đườ ậ ũ ậ ậ ộ
dimV 0
các ma tr n vuông c p n trên tr ng s th c.Tính . ậ ấ ườ ố ự không gian M n (R)
dimV
b) Gi là m t không gian con nào ó c a c a nó u là ma tr n l y linh.Ch ng minh r ng ầ ử ủ ộ đề ậ ũ ứ ằ ả ử V s đ ủ M n (R) mà các ph n t
det(A)
là ma tr n vuông c p có các ph n t ng l . Ch ng minh r ng ậ ầ ử là các s chính ph ố ươ ẻ ứ ằ chia h t cho ế Câu 3. Cho A ấ n≥2
A 101 =0
(A+B) 100 =0
.Ch ng minh r ng . là hai ma tr n th a mãn ậ ỏ ứ ằ và AB=2A+3B Câu 4. Cho A,B∈M 100 (R)
sinx,sin2x,sin3x,sin|x−π|,sin|x−2π|,sin|x−3π|
Câu 5. Ch ng minh r ng các hàm s : ố ứ ằ
c l p tuy n tính trong không gian các hàm liên t c trên tr ng s th c. độ ậ ế ườ ố ự ụ C(−∞,+∞)
Câu 6.
Thí sinh ch n m t trong hai câu sau: ọ ộ
a 0
k
là s nguyên cho tr ng 6a. Cho a th c đ v i h s nguyên và ớ ệ ố ố ướ c.V i m i s nguyên d ọ ố ớ ươ ứ P(x) t đặ a k+1 =P(a k ,
ho c $|a_m|<||a_{m+1}| để ặ ồ ạ ố m t n t i s
|det(A)|≤64
là ma tr n vuông c p có các ph n t . ậ ầ ử là 1 ho c -1.Ch ng minh r ng ứ ặ ằ 6b.Cho A ấ 5
MÔN GI I TÍCH Ả
a n+1 =n+1 n a n −2 n ,a 1 =α,n=1,2,3,...
th a mãn i u ki n: ỏ đ ề ệ Câu 1. Cho dãy s ố (a n )
h i t . ộ ụ Tìm α để (a n )
Q(x)=(2012x 2 +1)P(x)P ′ (x)+2012x{[P(x)] 2 +[P ′ (x)] 2 }
là a th c b c ứ đ v i h s th c và a th c ớ ệ ố ự đ cho b i h th c ở ệ ứ Câu 2. Cho P(x) ứ Q(x) ậ n⩾1
P(x)=0
n
[1 2 ,+∞)
Ch ng minh r ng n u ph ng trình t trong thì ph ng trình ứ ế ằ ươ có úng đ nghi m th c phân bi ự ệ ệ ươ
2n−1
t. nghi m th c phân bi ự ệ ệ
∫ −1 1 dx (2012 x +1)(1+x 2 )
Câu 3. Tính tích phân
f(x+y 2012 )=1 2 [f(x 2013 )+f(y 2014 )],∀x,y∈R
th a mãn: ỏ Câu 4. Tìm các hàm s ố f:R→R
f(x)+f(2012−x)=0,∀x∈[0,2012]
Câu 5. Gi s hàm s liên t c trên o n i u ki n ả ử ụ và th a mãn ỏ đ ề ệ ố f đ ạ [0,2012]
∫ 0 2012 f(x)dx =0
Ch ng minh ứ
(x−2012)f(x)=2012∫ 0 2012−x f(u)du
và ph ng trình ươ
có nghi m trong kho ng . ệ ả \left( {0,2012} \right)(0,2012)
Câu 6. Thí sinh ch n m t trong hai câu sau: ọ ộ
kh vi liên t c hai l n trên . Gi s và \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = 0} ụ ả ầ 6a. Cho hàm s ố f(x)f(x) \mathbb{R}R ả ử f\left( 1 \right) = 0f(1)=0
∫ 0 1 f(x)dx=0
. Ch ng minh r ng v i m i , ta có ứ ằ ớ ọ \alpha \in \left( {0,1} \right)α ∈(0,1)
∣ ∣ ∣ ∣ ∫ 0 α f(x)dx∣ ∣ ∣ ∣ ⩽2 81 max 0⩽x⩽1 ∣ ∣ f ′′ (x)∣ ∣
\left| {\int\limits_0^\alpha {f\left( x \right)dx} } \right| \leqslant \frac{2}{{81}}\mathop {\max }\limits_{0 \leqslant x \leqslant 1} \left| {f''\left( x \right)} \right|
6b. Cho f:\left[ {0,1} \right] \to \mathbb{R} là hàm lõm (hay còn g i là l i lên phía trên), kh vi liên t c th a mãn f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right) = 0 ọ ồ ụ ả ỏ
Ch ng minh r ng ứ ằ
\sqrt {1 + 4\mathop {\max }\limits_{0 \leqslant x \leqslant 1} {f^2}\left( x \right)} \leqslant \int\limits_0^1 {\sqrt {1 + {{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}} } dx \leqslant
1 + 2\mathop {\max }\limits_{0 \leqslant x \leqslant 1} f\left( x \right)
thi này. M i các b n th o lu n v thi t i: BBT xin trân tr ng c m n b n Nguy n Sanh Thành ã g i cho chúng tôi ễ đ ử ọ ơ ả ạ đề ề đề ờ ả ậ ạ ạ
http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?showtopic=70988&
Tweet
Share
Copyright © Di n àn Toán h c ọ ễ đ
Nh ng bài vi
t khác c a cùng tác gi
ữ
ế
ủ
ả Ban Biên T pậ
•
•
(16 Tháng 3 2013) H c nh th nào? ư ế ọ
•
thi HSG l p 12 TP. H Chí Minh n m h c 2012 ... (14 Tháng 3 2013) Đề ă ọ ớ ồ
•
"R t sai l m n u ch ầ ế ấ ươ ng trình h c quá d " ọ ễ (13 Tháng 3 2013)
•
thi HSG l p 11 TP à N ng n m h c 2012 - 2013 (12 Tháng 3 2013) Đề Đ ẵ ă ọ ớ
Gi i th ng Fields, nh ng i u ch a bi t ả ưở ữ đ ề ư ế (09 Tháng 3 2013)
