Đề số 18
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I: (2 điểm) Cho hàm số
2 3
2
x
y
x
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường
tiệm cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm
toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ
nhất.
Câu II (2 điểm)
1) Giải phương trình: 2 2
1 sin sin cos sin 2cos
2 2 4 2
x x x
x x
2) Giải bất phương trình: 2
2 1
2
1
log (4 4 1) 2 2 ( 2)log 2
x x x x x
Câu III (1 điểm) Tính tích phân: 2
1
ln 3 ln
1 ln
ex
x x
Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a. BC =
2
a
.
3
SA a
,
0
30
SAB SAC
Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Câu V (1 điểm) Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn : a + b + c =
3
4
. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức 3 3 3
111
3 3 3
P
a b b c c a
.
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VIa (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng
1
:2 5 0
d x y . d2: 3x + 6y – 7 = 0. Lập phương trình đường thẳng đi qua
điểm P( 2; –1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra
một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2.
2) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A( 1; –1; 2), B( 1;
3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; –1; 2) và mặt phẳng (P) có phương
trình:
2 0
x y z . Gọi A’ là hình chiếu của A lên mặt phẳng Oxy. Gọi ( S)
là mặt cầu đi qua 4 điểm A
, B, C, D. Xác định toạ độ tâm và bán kính của
đường tròn (C) là giao của (P) và (S).
Câu VIIa (1 điểm) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
2
4
y x x
và
2
y x
.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VIb (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho Hypebol (H) có phương
trình: 2 2
1
16 9
x y . Viết phương trình chính tắc của elip (E) có tiêu điểm trùng
với tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H).
2) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho
: 2 5 0
P x y z và
đường thẳng 3
( ): 1 3
2
x
d y z , điểm A( –2; 3; 4). Gọi
là đường thẳng
nằm trên (P) đi qua giao điểm của (d) và (P) đồng thời vuông góc với d. Tìm
trên
điểm M sao cho khoảng cách AM ngắn nhất.
Câu VIIb (1 điểm): Giải hệ phương trình 3 1 2 3
2
2 2 3.2 (1)
3 1 1 (2)
x y y x
x xy x
Hướng dẫn Đề số 18
Câu I: 2) Ta có: 2x,
2x 3x2
;xM 0
0
0
0
,
2
0
02x 1
)x('y
Phương trình tiếp tuyến với ( C) tại M :
2x 3x2
)xx(
2x 1
y: 0
0
0
2
0
Toạ độ giao điểm A, B của () và hai tiệm cận là:
2;2x2B;
2x 2x2
;2A 0
0
0
Ta có: 00
2 2 2
2 2
A B
M
x
x x
x x
, M
0
0BA y
2x 3x2
2yy
M là trung điểm
AB.
Mặt khác I(2; 2) và IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp IAB có
diện tích:
S = 2
2 2 2
0
0 0 2
0 0
2 3 1
( 2) 2 ( 2) 2
2 ( 2)
x
IM x x
x x
Dấu “=” xảy ra khi
3x 1x
)2x( 1
)2x( 0
0
2
0
2
0 M(1; 1) và M(3; 3)
Câu II: 1) PT 2
sin sin 1 2sin 2sin 1 0
2 2 2
x x x
x 4
x k
x k
x k
2) BPT
01)x21(logx 2
1
2
x 2
1
x
4
1 hoặc x < 0
Câu III: 2
1 1
ln 3 ln
1 ln
e e
x
I dx x xdx
x x =
2(2 2)
3
+ 3
2 1
3
e = 3e2225 3
Câu IV: Dùng định lí côsin tính được:
a
SB
, SC = a.
Gọi M là trung điểm của SA. Hai tam giác SAB và SAC cân nên MB SA,
MC SA. Suy ra SA (MBC).
Ta có MBCMBCMBCMBC.AMBC.SABC.S S.SA
3
1
S.SA
3
1
S.MA
3
1
VVV
Hai tam giác SAB và SAC bằng nhau. Do đó MB = MC MBC cân tại
M. Gọi N là trung điểm của BC MN BC. Tương tự MN SA.
16
a3
23a
4
a
aAMBNABAMANMN 2
2
2
2222222
43a
MN .
Do đó: 16
a
2
a
.
43a
.3a
6
1
BC.MN
2
1
.SA
3
1
V3
ABC.S .
Câu V: Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có
3
3
1 1 1 3 1 1 1 9
( ) 3 9
x y z xyz
x y z x y z x y z
xyz (*)
Áp dụng (*) ta có 3 3 3 3 3 3
1 1 1 9
3 3 3 3 3 3
P
a b b c c a a b b c c a
Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có :
3
3
3
3 1 1 1
3 1.1 3 2
3 3
3 1 1 1
3 1.1 3 2
3 3
3 1 1 1
3 1.1 3 2
3 3
a b
a b a b
b c
b c b c
c a
c a c a
Suy ra:
3 3 3 1
3 3 3 4 6
3
a b b c c a a b c 1 3
4. 6 3
3 4
Do đó
3
P. Dấu = xảy ra 3
1
4
4
3 3 3 1

a b c abc
a b b c c a
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi
1
4
abc .
Câu VI.a: 1) d1 VTCP 1
(2; 1)
a; d2 VTCP 2
(3;6)
a
Ta có: 1 2
. 2.3 1.6 0
a a nên
1 2
d d
và d1 cắt d2 tại một điểm I khác P. Gọi d
là đường thẳng đi qua P( 2; -1) có phương trình:
: ( 2) ( 1) 0 2 0
d A x B y Ax By A B