ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012
Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 15 )
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số:
3
3y x x
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm trên đường thẳng y = – x các điểm kẻ được đúng 2 tiếp tuyến tới đồ
thị (C).
Câu II (2 điểm):
1) Giải phương trình.:
3sin2 2sin 2
sin2 .cos
x x
xx
2) Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
( 1) 4( 1) 1
x
x x x m
x
Câu III (1 điểm): Tính tích phân I=
2
2sin 3
0
.sin .cos .
x
e x x dx.
Câu IV (1 điểm): Cho hình nón đỉnh S, đường tròn đáy có tâm O và đường kính là
AB = 2R. Gọi M là điểm thuộc đường tròn đáy và
2
ASB
,
2
ASM
. Tính thể
tích khối tứ diện SAOM theo R, và .
Câu V (1 điểm): Cho:
2 2 2 1abc
. Chứng minh:
2(1 ) 0 abc a b c ab ac bc
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y +
1)2 = 25 và điểm M(7; 3). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M cắt (C) tại
hai điểm A, B phân biệt sao cho MA = 3MB.
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0); B(0;2;0);
C(0;0;–2). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng (ABC), tìm tọa
độ điểm H.
Câu VIIa (1 điểm) Giải phương trình:
B. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện
tích bằng 4. Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường
thẳng y = x. Tìm tọa độ các đỉnh C và D.
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
ABC
với tọa độ đỉnh C(3; 2;
3) và phương trình đường cao AH, phương trình đường phân giác trong BD lần
lượt là:
12 3 3
:1 1 2

x y z
d
,
21 4 3
:1 2 1

x y z
d
.
Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC của
ABC
và tính diện tích của
ABC
.
Câu VII.b (1 điểm) Giải phương trình:
2008 2007 1
x x 
.
Hướng dẫn Đề số 15
Câu I: 2) A (2; –2) và B(–2;2)
Câu II: 1) PT
2 1 2 0
00
x x x
xx
( cos )(sin sin )
sin , cos

2
3
xk
2) Đặt
( 1) 1
x
tx x

. PT có nghiệm khi
240t t m
có nghiệm, suy ra
4m
.
Câu III: Đặt
2xtsin
1
0
1(1 )
2

t
I e t dt
=
e
2
1
Câu IV: Gọi OH là đường cao của
OAMD
, ta có:
.. sin
.sin sin
sin sin




SO OAcotg R cotg
AH SA R
OA R
SA
2 2 2 2
sin sin
sin

R
OH OA AH
.
Vậy:
322
.3
1 cos sin
. . . sin sin
3 3sin
 
S AOM
R
V SO AH OH
.
Câu V: Từ gt
21a
1 + a 0. Tương tự, 1 + b 0, 1 + c 0
(1 )(1 )(1 ) 0abc
10a b c ab ac bc abc
. (a)
Mặt khác
2 2 2 2
1(1 ) 0
2
a b c a b c ab ac bc a b c
. (b)
Cộng (a) và (b) đpcm
Câu VI.a: 1)
/( ) 27 0
MC
P
M nằm ngoài (C). (C) có tâm I(1;–1) và R = 5.
Mặt khác:
2
/( ) . 3 3 3
MC
P MAMB MB MB BH
22
4 [ ,( )] IH R BH d M d
Ta có: pt(d): a(x – 7) + b(y – 3) = 0 (a2 + b2 > 0).
22
0
64
[ ,( )] 4 4 12
5


a
ab
d M d ab
ab
.
Vậy (d): y – 3 = 0 hoặc (d): 12x – 5y – 69 = 0.
2) Phương trình mp(ABC): 2x + y – z – 2 = 0.
2 1 1
3 3 3
H;;



Câu VII.a: Đặt
2
logtx
. PT
2(7 ) 12 4 0t x t x
t = 4; t =3 – x x = 16;
x = 2
Câu VI.b: 1) Ta có:
1;2 5AB AB
. Phương trình AB:
2 2 0xy
.
( ): ; I d y x I t t
. I là trung điểm của AC và BD nên:
(2 1;2 ), (2 ;2 2)C t t D t t
Mặt khác:
.4
ABCD
S AB CH
(CH: chiều cao)
4
5
CH
.
Ngoài ra:
4 5 8 8 2
; , ;
|6 4| 4 3 3 3 3 3
;55 0 1;0 , 0; 2

t C D
t
d C AB CH
t C D
Vậy
5 8 8 2
; , ;
3 3 3 3
CD
hoặc
1;0 , 0; 2CD
2) Gọi mp(P) qua C và vuông góc với AH
1
( ) ( ): 2 1 0 P d P x y z
2
( ) (1;4;3) B P d B
phương trình
: 1 2 ; 4 2 ; 3 BC x t y t z
Gọi mp(Q) qua C, vuông góc với d2, (Q) cắt d2 và AB tại K và M. Ta có:
( ): 2 2 0 (2;2;4) (1;2;5) Q x y z K M
(K là trung điểm của CM).
1 4 3
:0 2 2
x y z
ptAB
, do
11
(1;2;5) , 2 3
2


ABC
A AB d A S AB AC
.
Câu VII.b: PT
2008 2007 1 0
x
f x x( )
với x
(–
; +
)
2
2008 2008 2007 2008 2008 0
xx
f (x) f x x .ln ; ( ) ln ,
f
( x ) luôn luôn đồng biến.
Vì f (x) liên tục và
2007
xx
f x f xlim ( ) ; lim ( )
 


x0 để f
' ( x0 ) = 0
Từ BBT của f(x)
f(x) = 0 không có quá 2 nghiệm.
Vậy PT có 2 nghiệm là x = 0; x = 1