Đ THI TH ĐI H CỀ Ử Ạ Ọ NĂM 2014.
Môn thi: TOÁN
Th i gian làm bài:ờ 180 phút
Đ S 10-BBỀ Ố
A.PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7 đi m):Ầ Ấ Ả ể
Câu I (2 đi m): Cho hàm s ể ố
3 2 2 3
3 3( 1)y x mx m x m m= − + − − +
(1)
1.Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1) ng v i m=1ả ự ế ẽ ồ ị ủ ố ứ ớ
2.Tìm m đ hàm s (1) có c c tr đng th i kho ng cách t đi m c c đi c a đ th hàm s đnể ố ự ị ồ ờ ả ừ ể ự ạ ủ ồ ị ố ế
góc t a đ O b ng ọ ộ ằ
2
l n kho ng cách t đi m c c ti u c a đ th hàm s đn góc t a đ O.ầ ả ừ ể ự ể ủ ồ ị ố ế ọ ộ
Câu II (2 đi m):ể
1. Gi i ph ng trình : ả ươ
2
2 os3x.cosx+ 3(1 sin2x)=2 3 os (2 )
4
c c x
π
+ +
2. Gi i ph ng trình : ả ươ
2 2
1 2 2 1 2 2 2
2
log (5 2 ) log (5 2 ).log (5 2 ) log (2 5) log (2 1).log (5 2 )
x
x x x x x x
+
− + − − = − + + −
Câu III (1 đi m): Tính tích phân : ể
6
0
tan( )
4
os2x
x
I dx
c
π
π
−
=
Câu IV (1 đi m): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông c nh a , SA vuông góc v i đáy ể ạ ớ
và SA=a .G i M,N l n l t là trung đi m c a SB và SD;I là giao đi m c a SD và m t ph ngọ ầ ượ ể ủ ể ủ ặ ẳ
(AMN). Ch ng minh SD vuông góc v i AI và tính th tích kh i chóp MBAI.ứ ớ ể ố
Câu V (1 đi m): Cho x,y,z là ba s th c d ng có t ng b ng 3.Tìm giá tr nh nh t c a bi u th cể ố ự ươ ổ ằ ị ỏ ấ ủ ể ứ
2 2 2
3( ) 2P x y z xyz= + + −
.
B. PH N T CH N (3 đi m): Ầ Ự Ọ ể Thí sinh ch đc ch n m t trong hai phàn (ph n 1 ho c 2)ỉ ượ ọ ộ ầ ặ
1.Theo ch ng trình chu n: ươ ẩ
Câu VIa (2 đi m):ể
1. Trong m t ph ng v i h to đ Oxy cho đi m C(2;-5 ) và đng th ng ặ ẳ ớ ệ ạ ộ ể ườ ẳ
: 3 4 4 0x y∆ − + =
.
Tìm trên
∆
hai đi m A và B đi x ng nhau qua I(2;5/2) sao cho di n tích tam giác ABCể ố ứ ệ
b ng15.ằ
2. Trong không gian v i h to đ Oxyz cho m t c u ớ ệ ạ ộ ặ ầ
.
Vi t ph ng trình m t ph ng (P) song song v i giá c a véc t ế ươ ặ ẳ ớ ủ ơ
(1;6;2)v
r
, vuông góc v i m t ớ ặ
ph ngẳ
( ) : 4 11 0x y z
α
+ + − =
và ti p xúc v i (S).ế ớ
Câu VIIa(1 đi m): Tìm h s c a ể ệ ố ủ
4
x
trong khai tri n Niut n c a bi u th c : ể ơ ủ ể ứ
2 10
(1 2 3 )P x x= + +
2.Theo ch ng trình nâng cao:ươ
Câu VIb (2 đi m):ể
1.Trong m t ph ng v i h to đ Oxy cho elíp ặ ẳ ớ ệ ạ ộ
2 2
( ) : 1
9 4
x y
E+ =
và hai đi m A(3;-2) , B(-3;2) . ể
Tìm trên (E) đi m C có hoành đ và tung đ d ng sao cho tam giác ABC có di n tích l n nh t.ể ộ ộ ươ ệ ớ ấ
2.Trong không gian v i h to đ Oxyz cho m t c u ớ ệ ạ ộ ặ ầ
.
Vi t ph ng trình m t ph ng (P) song song v i giá c a véc t ế ươ ặ ẳ ớ ủ ơ
(1;6;2)v
r
, vuông góc v i m t ớ ặ
ph ngẳ
( ) : 4 11 0x y z
α
+ + − =
và ti p xúc v i (S).ế ớ
Câu VIIb (1 đi m):ể
Tìm s nguyên d ng n sao cho tho mãn ố ươ ả
2
0 1 2
2 2 2 121
...
2 3 1 1
n
n
n n n n
C C C C
n n
+ + + + =
+ +
----------Hết ----------
H và tên thí sinh: ………………………………………………; S báo danh: …ọ ố BB01064……..
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐI MỂ
Câu NỘI DUNG Điêm
I
II
2. Ta có
, 2 2
3 6 3( 1)y x mx m= − + −
Đ hàm s có c c tr thì PT ể ố ự ị
,
0y=
có 2 nghi m phân bi tệ ệ
2 2
2 1 0x mx m− + − =�
có 2 nhi m phân ệ
bi tệ
1 0, m∆ = > ∀�
05
C c đi c a đ th hàm s là A(m-1;2-2m) và c c ti u c a đ th ự ạ ủ ồ ị ố ự ể ủ ồ ị
hàm s là ố
B(m+1;-2-2m)
025
Theo gi thi t ta có ả ế
2
3 2 2
2 6 1 0
3 2 2
m
OA OB m m
m
= − +
= + + =� � = − −
V y có 2 giá tr c a m là ậ ị ủ
3 2 2m= − −
và
3 2 2m= − +
.
025
1.
os4x+cos2x+ 3(1 sin 2 ) 3 1 os(4x+ )
2
os4x+ 3 sin 4 os2x+ 3 sin 2 0
PT c x c
c x c x
π
� �
+ = +�� �
� �
+ =�
05
sin(4 ) sin(2 ) 0
6 6
18 3
2sin(3 ). osx=0
6x= 2
x x
x k
x c
k
π π
π π
π
ππ
+ + + =�
= − +
+� � +
V y PT có hai nghi m ậ ệ
2
x k
ππ
= +
và
18 3
x k
π π
= − +
.
05
2. ĐK :
1 5
2 2
0
x
x
−
< <
.
V i ĐK trên PT đã cho t ng đng v iớ ươ ươ ớ
2
22
2 2 2 2
2
log (5 2 )
log (5 2 ) 2log (5 2 ) 2log (5 2 ) log (2 1)
log (2 1)
x
x x x x
x
−
− + = − + − +
+
05
2
2 2
2
1
4
log (2 1) 1 1
log (5 2 ) 2 log (2 1) 2
2
log (5 2 ) 0 2
x
x
x x x x
xx
−
=
+ = −
− = + = = −� � �
− =
=
025
III
IV
K t h p v i ĐK trên PT đã cho có 3 nghi m x=-1/4 , x=1/2 và x=2.ế ợ ớ ệ 025
2
6 6
2
0 0
tan( ) tan 1
4
os2x (t anx+1)
xx
I dx dx
c
π π
π
−+
= = −
� �
025
Đt ặ
2
2
1
t anx dt= (tan 1)
cos
t dx x dx
x
= = +�
0 0
1
63
x t
x t
π
= =�
= =�
05
Suy ra
11
33
20
0
1 1 3
( 1) 1 2
dt
It t
−
= − = =
+ +
.025
Ta có
, ( , )
,( )
AM BC BC SA BC AB
AM SB SA AB
⊥ ⊥ ⊥
⊥ =
AM SC
⊥�
(1)
T ng t ta có ươ ự
AN SC
⊥
(2)
T (1) và (2) suy ra ừ
AI SC⊥
05
V IH song song v i BC c t SB t i H. Khi đó IH vuông góc v i (AMB)ẽ ớ ắ ạ ớ
Suy ra
1.
3
ABMI ABM
V S IH=
Ta có
2
4
ABM
a
S=
2 2
2 2 2 2 2
. 1 1 1
2 3 3 3
IH SI SI SC SA a IH BC a
BC SC SC SA AC a a
= = = = = = =�
+ +
V y ậ
2 3
1
3 4 3 36
ABMI
a a a
V= =
05
V
VIa
VIIa
VIb
Ta c ó:
[ ]
2
3 ( ) 2( ) 2
3 9 2( ) 2
27 6 ( ) 2 ( 3)
P x y z xy yz zx xyz
xy yz zx xyz
x y z yz x
� �
= + + − + + −
� �
= − + + −
= − + − +
025
2
3 2
( )
27 6 (3 ) ( 3)
2
1( 15 27 27)
2
y z
x x x
x x x
+
− − − +
= − + − +
025
Xét hàm s ố
3 2
( ) 15 27 27f x x x x= − + − +
, v i 0<x<3ớ
, 2
1
( ) 3 30 27 0 9
x
f x x x x
=
= − + − = =
x
−
0 1 3
+
y’ + 0 -
y
14
T b ng bi n thiên suy ra MinP=7 ừ ả ế
1x y z= = =�
.
05
1. G i ọ
3 4 16 3
( ; ) (4 ; )
4 4
a a
A a B a
+ −
−�
. Khi đó di n tích tam giác ABC ệ
là
1. ( ) 3
2
ABC
S AB d C AB= ∆ =
.
05
Theo gi thi t ta có ả ế
2
2
4
6 3
5 (4 2 ) 25 0
2
a
a
AB a a
=
−
� �
= − + =� �
� � =
� �
V y hai đi m c n tìm là A(0;1) và B(4;4).ậ ể ầ
05
2. Ta có m t c u (S) có tâm I(1;-3;2) và bán kính R=4ặ ầ
Véc t pháp tuy n c a ơ ế ủ
( )
α
là
(1;4;1)n
r
025
Vì
( ) ( )P
α
⊥
và song song v i giá c a ớ ủ
v
r
nên nh n véc t ậ ơ
(2; 1; 2)
p
n n v= = −�
uur r r
làm vtpt. Do đó (P):2x-y+2z+m=0 025
Vì (P) ti p xúc v i (S) nên ế ớ
( ( )) 4d I P =
21
( ( )) 4 3
m
d I P m
= −
= =
025
V y có hai m t ph ng : 2x-y+2z+3=0 và 2x-y+2z-21=0.ậ ặ ẳ 025
Ta có
10 10
2 10 2
10 10
0 0 0
(1 2 3 ) (2 3 ) ( 2 3 )
k
k k k i k i i k i
k
k k i
P x x C x x C C x
− +
= = =
= + + = + =
� ��
05
Theo gi thi t ta có ả ế
40 1 2
0 10 432
,
k i i i i
i k k k k
i k N
+ =
= = =
� � �
� � � � � �
� � � �
= = =
� � �
025
V y h s c a ậ ệ ố ủ
4
x
là:
4 4 3 1 2 2 2 2
10 10 3 10 2
2 2 3 3 8085C C C C C+ + =
.025
VIIb
1. Ta có PT đng th ng AB:2x+3y=0ườ ẳ
G i C(x;y) v i x>0,y>0.Khi đó ta cóọ ớ
2 2
1
9 4
x y
+ =
và di n tích tam giác ệ
ABC là
1 85 85
. ( ) 2 3 3
2 13 3 4
2 13
ABC
x y
S AB d C AB x y= = + = +
05
2 2
85 170
3 2 3
13 9 4 13
x y
� �
+ =
� �
� �
D u b ng x y ra khi ấ ằ ả
2 2
2
13
9 4 2
2
3 2
x y
x
x y y
+ =
=
� �
� �
� �
==
. V y ậ
3 2
( ; 2)
2
C
.
05
Xét khai tri n ể
0 1 2 2
(1 ) ...
n n n
n n n n
x C C x C x C x+ = + + + +
L y tích phân 2 v cân t 0 đn 2 , ta đc:ấ ế ừ ế ượ
1 2 3 1
0 1 3
3 1 2 2 2
2 ...
1 2 3 1
n n
n
n n n n
C C C C
n n
+ +
−= + + + +
+ +
05
2 1 1
0 1 2
1
2 2 2 3 1 121 3 1
...
2 3 1 2( 1) 1 2( 1)
3 243 4
n n n
n
n n n n
n
C C C C
n n n n
n
+ +
+
− −
+ + + + = =�
+ + + +
= =� �
V y n=4.ậ05