THI TH(cid:219) (cid:30)(cid:132)I H¯C N(cid:139)M 2015

(cid:30)(cid:151) S¨ 19

**********

M(cid:230)n: To¡n. Th(cid:237)i gian: 180 ph(cid:243)t

C¥u 1 (2,0 (cid:31)i”m). Cho h(cid:160)m sŁ y = x3 + (2m − 1)x2 − m + 1 (1), trong (cid:31)(cid:226) m l(cid:160) tham sŁ th(cid:252)c.

a) Kh£o s¡t s(cid:252) bi‚n thi¶n v(cid:160) v‡ (cid:31)(cid:231) th(cid:224) cıa h(cid:160)m sŁ (1) khi m = −1.

b) T…m m (cid:31)” (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng d : y = 2mx − m + 1 c›t (cid:31)(cid:231) th(cid:224) h(cid:160)m sŁ (1) t⁄i 3 (cid:31)i”m ph¥n bi»t c(cid:226) ho(cid:160)nh (cid:31)º

l(cid:238)n h(cid:236)n −2.

C¥u 2 (1,0 (cid:31)i”m).

3 = 2 cos x (cid:0)√ √

a) Gi£i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh sin 2x +

3 cos x + 1(cid:1) (x ∈ R).

b) T…m t“p hæp c¡c (cid:31)i”m M bi”u di„n sŁ phøc z bi‚t 2|z − i| = |z − z + 2i|.

√

2x − 1 = 1 + log8(x + 1)3 (x ∈ R).

 

C¥u 3 (0,5 (cid:31)i”m). Gi£i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh 2 log4(3x + 1) + log√ 2 y2 + 3 y

3x2 + 1 x

(x, y ∈ R).

C¥u 4 (1,0 (cid:31)i”m). Gi£i h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh

+ (cid:18)

= 13 (cid:19)2

1 +

(x2 + y2)

= 17



1 xy

C¥u 5 (1,0 (cid:31)i”m). Cho (H) l(cid:160) h…nh phflng gi(cid:238)i h⁄n b(cid:240)i c¡c (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng (P ) : y = x2 − 2x + 3 v(cid:160) d : y = x + 3.

T‰nh di»n t‰ch h…nh phflng (H) v(cid:160) th” t‰ch v“t th” trÆn xoay sinh ra khi quay h…nh (H) quanh tr(cid:246)c Ox.

C¥u 6 (1,0 (cid:31)i”m). Trong m(cid:176)t phflng v(cid:238)i h» t(cid:229)a (cid:31)º Oxy, cho tam gi¡c ABC nºi ti‚p (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng

k‰nh AD, (cid:31)i”m D(4; −2), (cid:31)i”m M (3; −1) l(cid:160) trung (cid:31)i”m c⁄nh BC, (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng chøa (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng cao k· tł (cid:31)¿nh

B (cid:31)i qua E(−1; −3), (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng chøa c⁄nh AC (cid:31)i qua F (1; 3). T…m t(cid:229)a (cid:31)º c¡c (cid:31)¿nh cıa tam gi¡c ABC.

C¥u 7 (1,0 (cid:31)i”m). H…nh l«ng tr(cid:246) tam gi¡c ABC.A(cid:48)B(cid:48)C (cid:48) c(cid:226) (cid:31)¡y (ABC) l(cid:160) tam gi¡c (cid:31)•u t¥m H c⁄nh a, A(cid:48)H

vu(cid:230)ng g(cid:226)c v(cid:238)i m(cid:176)t (cid:31)¡y, AA(cid:48) t⁄o v(cid:238)i m(cid:176)t (cid:31)¡y mºt g(cid:226)c 600. T‰nh theo a th” t‰ch khŁi l«ng tr(cid:246) ABC.A(cid:48)B(cid:48)C (cid:48)

v(cid:160) kho£ng c¡ch giœa hai (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng CC (cid:48), AB(cid:48).

C¥u 8 (1,0 (cid:31)i”m). Trong kh(cid:230)ng gian v(cid:238)i h» t(cid:229)a (cid:31)º Oxyz, cho m(cid:176)t phflng (P ) : 2x + y + 2z − 14 = 0, (cid:31)i”m

=

=

.

A(5; −1; 3) v(cid:160) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng d :

x − 3 2

y + 1 1

z − 2 1

a) Vi‚t ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh m(cid:176)t phflng (Q) qua (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng d v(cid:160) vu(cid:230)ng g(cid:226)c v(cid:238)i m(cid:176)t phflng (P ).

b) Vi‚t ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh m(cid:176)t cƒu (S) c(cid:226) t¥m thuºc d, qua (cid:31)i”m A v(cid:160) ti‚p x(cid:243)c v(cid:238)i m(cid:176)t phflng (P ).

C¥u 9 (0,5 (cid:31)i”m). C(cid:226) 5 tem th(cid:247) kh¡c nhau v(cid:160) 6 b… th(cid:247) c(cid:244)ng kh¡c nhau. Ng(cid:247)(cid:237)i ta muŁn ch(cid:229)n ra 3 tem th(cid:247)

v(cid:160) 3 b… th(cid:247) r(cid:231)i d¡n 3 tem th(cid:247) §y l¶n 3 b… th(cid:247) (cid:31)¢ ch(cid:229)n. H(cid:228)i c(cid:226) bao nhi•u c¡ch th(cid:252)c hi»n nh(cid:247) v“y.

C¥u 10 (1 (cid:31)i”m). Cho a, b, c l(cid:160) c¡c sŁ th(cid:252)c d(cid:247)(cid:236)ng th(cid:228)a m¢n a + b + c = 6 v(cid:160) a2 + b2 + c2 = 14. T…m gi¡

tr(cid:224) l(cid:238)n nh§t cıa bi”u thøc P =

.

4a + b c

Nguy„n D(cid:247) Th¡i, TTBDKT Cao Th›ng, 11 (cid:30)Łng (cid:30)a, TP Hu‚. D(cid:30): 0905998369

(cid:30)(cid:129)P (cid:129)N (cid:30)(cid:151) THI TH(cid:219) S¨ 19

C¥u 1. Cho h(cid:160)m sŁ y = x3 + (2m − 1)x2 − m + 1 (1), trong (cid:31)(cid:226) m l(cid:160) tham sŁ th(cid:252)c.

a) Kh£o s¡t s(cid:252) bi‚n thi¶n v(cid:160) v‡ (cid:31)(cid:231) th(cid:224) cıa h(cid:160)m sŁ (1) khi m = −1.

b) T…m m (cid:31)” (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng d : y = 2mx − m + 1 c›t (cid:31)(cid:231) th(cid:224) h(cid:160)m sŁ (1) t⁄i 3 (cid:31)i”m ph¥n bi»t c(cid:226) ho(cid:160)nh (cid:31)º l(cid:238)n h(cid:236)n −2.

Ph¥n t‰ch-L(cid:237)i gi£i.

a) V(cid:238)i m = −1 ta c(cid:226) y = x3 − 3x2 + 2.

• T“p x¡c (cid:31)(cid:224)nh: R. • Ta c(cid:226)

y(cid:48) = 3x2 − 6x, y(cid:48) = 0 ⇔ x ∈ {0; 2} .

x→±∞

(cid:19) (cid:18) + • y = lim x3 1 − = ±∞. lim x→±∞ 3 x 3 x2

• B£ng bi‚n thi¶n:

x −∞ +∞ 0 2

+ − + y(cid:48) 0 0

+∞+∞ 22

y

−∞−∞ −2−2

y

2

x

O

2

−2

• H(cid:160)m sŁ (cid:31)(cid:231)ng bi‚n tr¶n c¡c kho£ng (−∞; 0) v(cid:160) (2; +∞). • H(cid:160)m sŁ ngh(cid:224)ch bi‚n tr¶n (0; 2). • (cid:30)(cid:231) th(cid:224) h(cid:160)m sŁ (cid:31)⁄t c(cid:252)c (cid:31)⁄i t⁄i (0; 2) v(cid:160) (cid:31)⁄t c(cid:252)c ti”u t⁄i (2; −2). • (cid:30)(cid:231) th(cid:224):

1

b) • Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh ho(cid:160)nh (cid:31)º giao (cid:31)i”m cıa d v(cid:238)i (C) l(cid:160)

x3 + (2m − 1)x2 − m + 1 = 2mx − m + 1

⇔x3 + (2m − 1)x2 − 2mx = 0 ⇔ x(x − 1)(x + 2m) = 0 

0 1 ⇔  x = x = x = −2m.

• Do (cid:31)(cid:226) d c›t (cid:31)(cid:231) th(cid:224) (C) t⁄i 3 (cid:31)i”m ph¥n bi»t c(cid:226) ho(cid:160)nh (cid:31)º l(cid:238)n h(cid:236)n −2

m (cid:54)= 0     ⇔ ⇔ m (cid:54)= − 1 2  −2m (cid:54)= 0 −2m (cid:54)= 1 −2m > −2  m < 1.

(cid:27) (cid:26) ; 0 − . V“y m ∈ (−∞; 1) \ 1 2

C¥u 2.

√ 3 = 2 cos x (cid:0)√ a) Gi£i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh sin 2x + 3 cos x + 1(cid:1) (x ∈ R).

b) T…m t“p hæp c¡c (cid:31)i”m M bi”u di„n sŁ phøc z bi‚t 2|z − i| = |z − z + 2i|.

Ph¥n t‰ch-L(cid:237)i gi£i.

a) Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (cid:31)¢ cho t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i

√ √ √ sin 2x + 3 = 2 √ 3 cos2 x + 2 cos x ⇔ sin 2x − (cid:17) (cid:16) 3 (cid:0)2 cos2 x − 1(cid:1) = 2 cos x (cid:17) 2x − = sin − x sin 2x − ⇔ π 3 (cid:16) π 2 3 2 1 2  2x − = − x + k2π ⇔ , k ∈ Z  2x − = + x + k2π

 + k x = ⇔ , k ∈ Z   cos 2x = 2 cos x ⇔ sin π 2 π 2 2π 3 + k2π x = π 3 π 3 5π 18 5π 6

+ k ; + k2π V“y t“p nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh l(cid:160) S = . (cid:27) (cid:12) (cid:12) k ∈ Z (cid:12) (cid:26) 5π 18 2π 3 5π 6

b) (cid:30)(cid:176)t z = x + yi, x, y ∈ R. Ta c(cid:226) M (x, y) v(cid:160)

2|z − i| = |z − z + 2i| ⇔ 2|x + (y − 1)i| = |2(y + 1)i| (cid:112) (cid:112) 4(y + 1)2 ⇔ 4x2 + 4y2 − 8y + 4 = 4y2 + 8y + 4 ⇔2

x2. ⇔y = x2 + (y − 1)2 = 1 4

x2. V“y t“p hæp c¡c (cid:31)i”m M l(cid:160) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng Parabol (P ) : y = 1 4

2

√ C¥u 3. Gi£i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh 2 log4(3x + 1) + log√ 2x − 1 = 1 + log8(x + 1)3 (x ∈ R).

2

Ph¥n t‰ch-L(cid:237)i gi£i.

(cid:30)i•u ki»n: x > .

1 2 Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh tr(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i

log2(3x + 1) + log2(2x − 1) = log2 2 + log2(x + 1)

⇔6x2 − 3x − 3 = 0 ⇔ (lo⁄i) ⇔ log2(3x + 1)(2x − 1) = log2 2(x + 1) ⇔ 6x2 − x − 1 = 2x + 2 (cid:34)x = 1 (th(cid:228)a m¢n) 1 − x = 2

V“y nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh l(cid:160) x = 1.

+ = 13 (1) 3x2 + 1 x y2 + 3 y C¥u 4. Gi£i h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (x, y ∈ R). (cid:18) (cid:19)2 (x2 + y2) 1 + = 17 (2)    1 xy

Ph¥n t‰ch-L(cid:237)i gi£i.

(cid:30)i•u ki»n: xy (cid:54)= 0. C¡ch 1: Ta c(cid:226)

(cid:18) (cid:19) (1) ⇔ (3x + y) + = 13 ⇔ (3x + y) 1 + = 13 ⇔ 1 + = . 1 xy 1 xy 13 3x + y 3x + y xy

= Thay 1 + v(cid:160)o (2) ta c(cid:226) 1 xy 13 3x + y

169(x2 + y2) (3x + y)2 = 17 ⇔ 16x2 − 102xy + 152y2 = 0

⇔(x − 4y)(8x − 19y) = 0 ⇔ x = y. (cid:34)x = 4y 19 8

Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 1: x = 4y. Thay x = 4y v(cid:160) (1) ta c(cid:226)

13y + = 13 ⇔ 4y2 − 4y + 1 = 0 ⇔ y = ⇒ x = 2. 13 4y 1 2

Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 2: x = y. Thay x = y v(cid:160) (1) ta c(cid:226) 19 8 19 8 √ √  494 38 − 494 y = ⇒ x = √ 20 √ y + = 13 ⇔ 95y2 − 152y + 40 = 0 ⇔   494 38 + 494 65 8 65 19y y = ⇒ x = 76 − 2 95 76 + 2 95 20

√ √ √ √ (cid:32) (cid:33) (cid:32) (cid:33)(cid:41) V“y t“p nghi»m cıa h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh l(cid:160) (cid:40)(cid:18) (cid:19) 38 − 494 494 38 + 494 494 S = 2; ; ; ; . ; 1 2 20 76 − 2 95 20 76 + 2 95

C¡ch 2: H» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i

(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) x + + y + = 13 (3) (cid:18) 1 y (cid:19)2 y + + = 17 x +   3 (cid:18)  1 y 1 x (cid:19)2 1 x

3

(cid:30)(cid:176)t a = x + , b = y + . Ta c(cid:226) h» (3) tr(cid:240) th(cid:160)nh 1 y 1 x (cid:40) (cid:40) ⇔ 3a + b = 13 a2 + b2 = 17  b = 13 − 3a a2 + (13 − 3a)2 = 17 (cid:40)

(cid:40) ⇔ ⇔ a = b = 13 − 3a 10a2 − 78a + 152 = 0          b =  a = 4 b = 1 19 5 8 5

Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 1: a = 4 v(cid:160) b = 1. Khi (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226) h»

x + = 4 x + = 4     ⇔ y =  y + = 1 x x − 1 x − 1 x 1 y 1 x

     x2 − 4x + 4 = 0 x (cid:54)= 1 ⇔ ⇔ . y =  y = x = 2 1 2  x − 1 x

v(cid:160) b = . Khi (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226) h» Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 2: a = 19 5

= x + = x +     19 5 ⇔ y = y + =   8 5 1 y 1 x 19 5 8 5 √ 5x 8x − 5 8x − 5 5x  38 − x =   494 √ 494 y = 20 76 − 2 95 √ ⇔ ⇔ 38 + x =     40x2 − 152x + 95 = 0  x (cid:54)=  y = 494 √ 5 8 8x − 5 5x           494 y =  20 76 + 2 95

√ √ √ √ (cid:32) (cid:33) (cid:33)(cid:41) (cid:32) V“y t“p nghi»m cıa h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh l(cid:160) (cid:40)(cid:18) (cid:19) 38 − 494 494 494 494 38 + S = 2; ; ; ; ; . 1 2 20 76 − 2 95 20 76 + 2 95

C¥u 5. Cho (H) l(cid:160) h…nh phflng gi(cid:238)i h⁄n b(cid:240)i c¡c (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng (P ) : y = x2 − 2x + 3 v(cid:160) d : y = x + 3. T‰nh di»n t‰ch h…nh phflng (H) v(cid:160) th” t‰ch v“t th” trÆn xoay sinh ra khi quay h…nh (H) quanh tr(cid:246)c Ox.

Ph¥n t‰ch-L(cid:237)i gi£i.

Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh ho(cid:160)nh (cid:31)º giao (cid:31)i”m cıa d v(cid:160) (P ) l(cid:160)

x2 − 2x + 3 = x + 3 ⇔ x2 − 3x = 0 ⇔ (cid:20)x = 0 x = 3.

Do (cid:31)(cid:226) h…nh phflng (H) gi(cid:238)i h⁄n b(cid:240)i c¡c (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng

 x = 0  x = 3 y = x + 3  y = x2 − 2x + 3.

4

• Di»n t‰ch h…nh phflng (H) l(cid:160)

(cid:90) 3 S = (cid:12) dx

0 (cid:12) (cid:90) 3 (cid:12) (cid:12) (cid:12)

0

= = = − . (x2 − 3x)dx (cid:19) (cid:12) 3 (cid:12) (cid:12) 0 (cid:18) x3 3 3x2 2 9 2 (cid:12)(x2 − 2x + 3) − (x + 3)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

• Th” t‰ch v“t th” trÆn xoay sinh ra khi quay (H) quanh Ox l(cid:160)

0 (cid:90) 3

(cid:90) 3 V = π (cid:12) dx

= π (x4 − 4x3 + 9x2 − 18x)dx (cid:12)(x2 − 2x + 3)2 − (x + 3)2(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

0 (cid:18) x5 5

= = π − x4 + 3x3 − 9x2 . (cid:19) (cid:12) 3 (cid:12) (cid:12) 0 162π 5 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

F

A

H

B

M

C

D

E

C¥u 6. Trong m(cid:176)t phflng v(cid:238)i h» t(cid:229)a (cid:31)º Oxy, cho tam gi¡c ABC nºi ti‚p (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng k‰nh AD, (cid:31)i”m D(4; −2), (cid:31)i”m M (3; −1) l(cid:160) trung (cid:31)i”m c⁄nh BC, (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng chøa (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng cao k· tł (cid:31)¿nh B (cid:31)i qua E(−1; −3), (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng chøa c⁄nh AC (cid:31)i qua F (1; 3). T…m t(cid:229)a (cid:31)º c¡c (cid:31)¿nh cıa tam gi¡c ABC.

Ph¥n t‰ch-L(cid:237)i gi£i.

G(cid:229)i H l(cid:160) tr(cid:252)c t¥m tam gi¡c ABC.

• Ta c(cid:226) DC ⊥ AC v(cid:160) BH ⊥ AC n¶n DC (cid:107) BH. T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) DB (cid:107) CH, do (cid:31)(cid:226) BHCD l(cid:160) h…nh b…nh h(cid:160)nh. Suy ra M l(cid:160) trung (cid:31)i”m cıa HD ⇒ H(2; 0).

−→ EH= (3; 3) l(cid:160)m vect(cid:236) ch¿ ph(cid:247)(cid:236)ng n¶n c(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh BH : x − y − 2 = 0. (cid:30)(cid:247)(cid:237)ng thflng AC qua F v(cid:160) vu(cid:230)ng g(cid:226)c v(cid:238)i BH n¶n c(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh AC : x + y − 4 = 0. C ∈ AC ⇒ C(c; 4 − c), B ∈ BH ⇒ B(b; b − 2). M l(cid:160) trung (cid:31)i”m cıa BC n¶n ta c(cid:226)

• (cid:30)(cid:247)(cid:237)ng thflng BH qua H v(cid:160) nh“n

(cid:40)   b + c 2 ⇔ b = 1 c = 5. = −1  = 3 b − c + 2 2

Do (cid:31)(cid:226) B(1; −1), C(5; −1).

• (cid:30)(cid:247)(cid:237)ng thflng AH qua H v(cid:160) vu(cid:230)ng g(cid:226)c v(cid:238)i BC n¶n c(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh AH : x = 2. A l(cid:160) giao (cid:31)i”m cıa AH v(cid:238)i AC n¶n A(2; 2).

V“y A(2; 2), B(1; −1), C(5; −1).

5

A(cid:48)

C(cid:48)

B(cid:48)

T

A

C

H

K

E

B

C¥u 7. H…nh l«ng tr(cid:246) tam gi¡c ABC.A(cid:48)B(cid:48)C(cid:48) c(cid:226) (cid:31)¡y (ABC) l(cid:160) tam gi¡c (cid:31)•u t¥m H c⁄nh a, A(cid:48)H vu(cid:230)ng g(cid:226)c v(cid:238)i m(cid:176)t (cid:31)¡y, AA(cid:48) t⁄o v(cid:238)i m(cid:176)t (cid:31)¡y mºt g(cid:226)c 600. T‰nh theo a th” t‰ch khŁi l«ng tr(cid:246) ABC.A(cid:48)B(cid:48)C(cid:48) v(cid:160) kho£ng c¡ch giœa hai (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng CC(cid:48), AB(cid:48).

Ph¥n t‰ch-L(cid:237)i gi£i.

G(cid:229)i E l(cid:160) trung (cid:31)i”m cıa BC

√ √ √ 3 a a 3 3 AE = • Ta c(cid:226) AE = , AH = , SABC = 2 3 . A(cid:48)H ⊥ (ABC) n¶n AH l(cid:160) h…nh (cid:92)(AA(cid:48), (ABC)) = (cid:92)A(cid:48)AH = 600. N¶n

a2 2 4 3 chi‚u vu(cid:230)ng g(cid:226)c vıa AA(cid:48) l¶n m(cid:176)t (cid:31)¡y (ABC). Do (cid:31)(cid:226) A(cid:48)H = AH · cot (cid:92)A(cid:48)AH = a. V“y √ 3 . VABC.A(cid:48)B(cid:48)C(cid:48) = A(cid:48)H · SABC = a3 4

• G(cid:229)i K, T lƒn l(cid:247)æt l(cid:160) h…nh chi‚u vu(cid:230)ng g(cid:226)c cıa H tr¶n AB, A(cid:48)K. Ta c(cid:226) CC(cid:48) (cid:107) AA(cid:48) n¶n CC(cid:48) (cid:107) (ABB(cid:48)A(cid:48)). Do (cid:31)(cid:226)

d(CC(cid:48), AB(cid:48)) = d(CC(cid:48), (ABB(cid:48)A(cid:48))) = d(C, (ABB(cid:48)A(cid:48))) = 3d(H, (ABB(cid:48)A(cid:48))).

Tł AB ⊥ HK v(cid:160) AB ⊥ A(cid:48)H c(cid:226) AB ⊥ (A(cid:48)HK) ⇒ AB ⊥ HT . M(cid:160) A(cid:48)K ⊥ HT n¶n HT ⊥ (ABB(cid:48)A(cid:48)). Suy ra d(H, (ABB(cid:48)A(cid:48))) = HT. √ a 3 . HT l(cid:160) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng cao cıa tam gi¡c vu(cid:230)ng A(cid:48)HK n¶n Ta c(cid:226) HK = AH sin (cid:92)HAK = 6 √ a 13 √ = HT = = . HA(cid:48) · HK A(cid:48)K 13 HA(cid:48) · HK A(cid:48)H 2 + HK2 √ 13 3a . V“y d(CC(cid:48), AB(cid:48)) = 13

= = A(5; −1; 3) v(cid:160) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng d : . C¥u 8. Trong kh(cid:230)ng gian v(cid:238)i h» t(cid:229)a (cid:31)º Oxyz, cho m(cid:176)t phflng (P ) : 2x + y + 2z − 14 = 0, (cid:31)i”m z − 2 1 x − 3 2 y + 1 1

a) Vi‚t ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh m(cid:176)t phflng (Q) qua (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng d v(cid:160) vu(cid:230)ng g(cid:226)c v(cid:238)i m(cid:176)t phflng (P ).

6

b) Vi‚t ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh m(cid:176)t cƒu (S) c(cid:226) t¥m thuºc d, qua (cid:31)i”m A v(cid:160) ti‚p x(cid:243)c v(cid:238)i m(cid:176)t phflng (P ).

Ph¥n t‰ch-L(cid:237)i gi£i.

−→ u = (2; 1; 1) l(cid:160)m vect(cid:236) ch¿ ph(cid:247)(cid:236)ng. Vect(cid:236) ph¡p −→ n = (2; 1; 2). M(cid:176)t phflng (Q) qua d v(cid:160) vu(cid:230)ng g(cid:226)c v(cid:238)i (P ) n¶n qua

a) (cid:30)(cid:247)(cid:237)ng thflng d qua (cid:31)i”m M (3; −1; 2) v(cid:160) nh“n

tuy‚n cıa m(cid:176)t phflng (P ) l(cid:160) (cid:31)i”m M v(cid:160) c(cid:226) vect(cid:236) ph¡p tuy‚n l(cid:160)

−→ nQ=

(cid:105) −→ n (cid:104)−→ u , = (1; −2; 0).

Do (cid:31)(cid:226) c(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (Q) : x − 2y − 5 = 0.

b) G(cid:229)i I l(cid:160) t¥m cıa m(cid:176)t cƒu (S). I ∈ d ⇒ I(2a + 3; a − 1; a + 2). M(cid:176)t cƒu (S) qua A v(cid:160) ti‚p x(cid:243)c v(cid:238)i (P ) n¶n

(cid:112) (2a − 2)2 + a2 + (a − 1)2 = IA = d(I, (P )) ⇔ |2(2a + 3) + (a − 1) + 2(a + 2) − 14| 3 (cid:112)

6a2 − 10a + 5 = |7a − 5| ⇔ 3 ⇔ 5a2 − 20a + 20 = 0 ⇔ a = 2.

Do (cid:31)(cid:226) I(7; 1; 4) v(cid:160) b¡n k‰nh cıa (S) l(cid:160) R = 3. V“y

(S) : (x − 7)2 + (y − 1)2 + (z − 4)2 = 9.

C¥u 9. C(cid:226) 5 tem th(cid:247) kh¡c nhau v(cid:160) 6 b… th(cid:247) c(cid:244)ng kh¡c nhau. Ng(cid:247)(cid:237)i ta muŁn ch(cid:229)n ra 3 tem th(cid:247) v(cid:160) 3 b… th(cid:247) r(cid:231)i d¡n 3 tem th(cid:247) §y l¶n 3 b… th(cid:247) (cid:31)¢ ch(cid:229)n. H(cid:228)i c(cid:226) bao nhi•u c¡ch th(cid:252)c hi»n nh(cid:247) v“y.

Ph¥n t‰ch-L(cid:237)i gi£i.

C(cid:230)ng vi»c (cid:31)(cid:247)æc ti‚n h(cid:160)nh theo tuƒn t(cid:252) c¡c b(cid:247)(cid:238)c nh(cid:247) sau

5 c¡ch ch(cid:229)n.

• Ch(cid:229)n 3 tem th(cid:247) tł 5 tem th(cid:247), c(cid:226) C3

6 c¡ch ch(cid:229)n.

• Ch(cid:229)n 3 b… th(cid:247) tł 6 b… th(cid:247), c(cid:226) C3

• D¡n 3 tem th(cid:247) l¶n 3 b… th(cid:247) (cid:31)(cid:247)æc ch(cid:229)n c(cid:226) 3! c¡ch d¡n.

5 · C3

6 · 3! = 1200.

V“y sŁ c¡ch th(cid:252)c hi»n l(cid:160) C3

C¥u 10. Cho a, b, c l(cid:160) c¡c sŁ th(cid:252)c d(cid:247)(cid:236)ng th(cid:228)a m¢n a + b + c = 6 v(cid:160) a2 + b2 + c2 = 14. T…m gi¡ tr(cid:224)

. l(cid:238)n nh§t cıa bi”u thøc P = 4a + b c

Ph¥n t‰ch-L(cid:237)i gi£i.

Tł gi£ thi‚t ta c(cid:226) (cid:40)

(cid:40) a + b = 6 − c (a + b)2 − 2ab = 14 − c2 ⇔ a + b = 6 − c ab = c2 − 6c + 11.

Do (cid:31)(cid:226) a, b l(cid:160) hai nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh

X 2 − (6 − c)X + c2 − 6c + 11 = 0 (1)

(cid:30)i•u ki»n (cid:31)” ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (1) c(cid:226) hai nghi»m d(cid:247)(cid:236)ng a, b l(cid:160)

√ √ (cid:35) (cid:34)   3 3 ⇔ c ∈ ; = D. 6 − 2 3 6 + 2 3  S = 6 − c > 0 P = c2 − 6c + 11 > 0 ∆ = (6 − c)2 − 4(c2 − 6c + 11) ≥ 0

7

Ki (cid:31)(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (1) c(cid:226) ha nghi»m

√ √ −3c2 + 12c − 8 −3c2 + 12c − 8 6 − c − 6 − c + . X1 = , X2 = 2 2

Do (cid:31)(cid:226) (a, b) ∈ {(X1; X2); (X2; X1)}. V… X1 ≤ X2 n¶n ta c(cid:226) √ 30 − 5c + 3 = = f (c). P ≤ 4X2 + X1 c −3c2 + 12c − 8 2c √ 5 √ f (cid:48)(c) = − = 0

(cid:112) −3c2 + 12c − 8 + 3c − 4 −3c2 + 12c − 8 c2 −3c2 + 12c − 8 = 4 − 3c ⇔5

  ⇔ 4 3 c ≤ 25(−3c2 + 12c − 8) = 16 − 24c + 9c2

   ⇔ ⇔ c = . 4 3 6 7 c ≤ 84c2 − 324c + 216 

Ta c(cid:226) √ √ √ √ (cid:33) (cid:32) (cid:33) (cid:32) (cid:19) 3 35 + 15 3 3 3 35 − 15 = , f = , f . = f 6 − 2 3 4 (cid:18) 6 7 31 2 6 + 2 3 4

D

Do (cid:31)(cid:226) (cid:19) P ≤ max f (c) = f = . (cid:18) 6 7 31 2

Khi a = , b = , c = th… P = n¶n gi¡ tr(cid:224) l(cid:238)n nh§t cıa P b‹ng . 19 6 17 6 6 6 31 2 31 2

8