Đ THI TH ĐI H CỀ Ử Ạ Ọ NĂM 2014.
Môn thi: TOÁN
Th i gian làm bài:ờ 180 phút
Đ S 2-BBỀ Ố
I. PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINHẦ Ấ Ả (7,0 đi m)ể
Câu I (2,0 đi m)ể Cho hàm s y = ố
1
4
(x2 – m)(x2 + 1) (1) (m là tham s ) ố
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1) khi m = 3.ả ự ế ẽ ồ ị ủ ố
2. Tìm t t c các giá tr c a m đ đ th hàm s (1) c t tr c hoành t i hai đi m phân bi t A và Bấ ả ị ủ ể ồ ị ố ắ ụ ạ ể ệ
sao cho ti p tuy n c a đ th hàm s (1) t i A và B vuông góc v i nhau.ế ế ủ ồ ị ố ạ ớ
Câu II (2,0 đi m)ể
1. Gi i ph ng trình ả ươ
3
sinx - 3cosx - 2 =
cos2x
-
3
sin2x
2. Gi i h ph ng trình ả ệ ươ
2 2
2 2
3 2 1
1
422
+ =
+ −
+ + =
y
x y x
x
x y y
Câu III (1,0 đi m)ể Tính tích phân I =
e
3
1
ln x 1 dx
x
−
.
Câu IV (1,0 đi m)ể
Cho hình chóp S.ABC có AB = BC = a;
?
ABC
=
90
o
. M t ph ng (SAB) và m t ph ng (SAC) cùng vuôngặ ẳ ặ ẳ
góc v i m t ph ng (ABC). Bi t góc gi a hai m t (SAC) và m t ph ng (SBC) b ng ớ ặ ẳ ế ữ ặ ặ ẳ ằ
60
o
. Tính th tích c a kh iể ủ ố
chóp S.ABC theo a.
Câu V (1,0 đi m)ể
Cho a,b,c là ba s th c d ng tu ý tho mãn ố ự ươ ỳ ả a+ b+ c = 2. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: ị ớ ấ ủ ể ứ
2 2 2
ab bc ca
P
c ab a bc b ca
= + +
+ + +
II. PH N RIÊNGẦ (3,0 đi m)ể
Thí sinh ch đc làm m t trong hai ph n (ph n A ho c ph n B)ỉ ượ ộ ầ ầ ặ ầ
A. Theo ch ng trình Chu nươ ẩ
Câu VI.a (2,0 đi m)ể
1.Trong m t ph ng Oxy, cho hai đi m A(3; 0), B(-1; 8) và đng th ng d có ph ng trình x - y -3 =ặ ẳ ể ườ ẳ ươ
0. Vi t ph ng trình đng th ng đi qua B và c t đng th ng d t i đi m C sao cho tam giác ABC cân ế ươ ườ ẳ ắ ườ ẳ ạ ể
t i C.ạ
2. Trong không gian Oxyz, cho đi m M(1; 1; 1), đng th ng d: ể ườ ẳ
và m t ph ng ặ ẳ
(P): x + 3y + z – 1 = 0. Vi t ph ng trình đng th ng đi qua M, c t d và song song (P).ế ươ ườ ẳ ắ
Câu VII.a (1,0 đi m)ể
Tìm t p h p đi m trong m t ph ng ph c bi u di n s ph c z th a mãn đi u ki n ậ ợ ể ặ ẳ ứ ể ễ ố ứ ỏ ề ệ
2 | z i | | z z 2i |− = − +
.
B. Theo ch ng trình Nâng caoươ
Câu VI.b (2,0 đi m)ể
1.Trong m t ph ng Oxy, cho đi m M(1; 1). Vi t ph ng trình đng th ng đi qua M và c t chi u ặ ẳ ể ế ươ ườ ẳ ắ ề
d ng c a tr c Ox, Oy theo th t t i A và B sao cho đ dài đo n AB nh nh t.ươ ủ ụ ứ ự ạ ộ ạ ỏ ấ
2. Trong không gian Oxyz, cho hai đi m A(2; 1; -1), B(-1; 2; 0) và đng th ng ể ườ ẳ
x 1 t
: y 0
z t
= +
∆ =
= −
. Vi t ế
ph ng trình đng th ng d đi qua B, c t ươ ườ ẳ ắ
∆
sao cho kho ng cách t A đn d b ng ả ừ ế ằ
3
.
Câu VI.b (2,0 đi m) ểCho s ph c z = 1 + ố ứ
3
i. Tính z7.
----------H t ----------ế
H và tên thí sinh: ………………………………………………; S báo danh: …ọ ố BB01064……..
---------
Câu N i dungộĐiể
m
PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINHẦ Ấ Ả (7,0 đi m)ể
I
(2,0 đi m)ể
1. (1,0 đi m)ể
V i m = 3, ta có hàm s ớ ố y =
1
4
(x2 – 3)(x2 + 1)
* T p xác đnh: D = ậ ị .
* S bi n thiênự ế
+ Gi i h n: ớ ạ
x x
lim y ; lim y
− +
= + = +
0,25
+ B ng bi n thiênả ế
- y’ = x(x2 – 1) ; y’ = 0
x = 0 ho c x = ặ
1. 0,25
-
Hàm s ngh ch bi n trên các kho ng ố ị ế ả
( ) ( )
; 1 ﾵ 0;1− − v
và đng bi n trên kho ng ồ ế ả
( )
-1;0
và
( )
1;+
.
Hàm s đt c c đi t i ố ạ ự ạ ạ
0=x
và giá tr c c điị ự ạ
( )
3
04
= −y
, hàm s đt c c ti u t i ố ạ ự ể ạ
1= x
và giá tr c c ti uị ự ể
( )
1 1 = −y
.
0,25
- Đ th : ồ ị 0,25
2. (1,0 đi m)ể
Ph ng trình hoành đ giao đi m:ươ ộ ể
1
4
(x2 – m)(x2 + 1) = 0
x2 – m = 0 (2)
Đ th hàm s (1) c t tr c hoành t i hai đi m phân bi t A, B khi và ch khi ph ng trình (2) ồ ị ố ắ ụ ạ ể ệ ỉ ươ
có hai nghi m phân bi t ệ ệ
m > 0.
Khi đó A(-
m
;0), B(
m
;0)
0,25
Ta có y’ =
1
2
x(2x2 +1 –m). Ti p tuy n c a đ th t i A, B có h s góc l n l t là y’(-ế ế ủ ồ ị ạ ệ ố ầ ượ
m
)
=
m
2
-
(m + 1) và y’(
m
) =
m
2
(m + 1)
0,25
Ti p tuy n c a đ th t i A, B vuông góc v i nhau khi và ch khi y’(-ế ế ủ ồ ị ạ ớ ỉ
m
).y’(
m
) = -1 0,25
m
2
-
(m + 1).
m
2
(m + 1) = - 1
m =1. 0,25
II
(2,0 đi m)ể
1. (1,0 đi m) ểGi i ph ng trình ả ươ
3
sinx - 3cosx - 2 =
cos2x
-
3
sin2x (1)
(1)
3
sinx(2cosx + 1) = 2cos2x + 3cosx + 1 0,25
(2cosx + 1)(cosx -
3
sinx + 1) = 0
cosx = -
1
2
ho c cosx -ặ
3
sinx + 1 = 0 (1’) 0,25
TR NG THPT CHUYÊN NGUYÊN T T THÀNHƯỜ Ấ
T : TOÁNỔĐÁP ÁN
Đ THI TH ĐI H C Ề Ử Ạ Ọ S 7.Ố
+
-
0
+
+
-
+
y
0
0
y'
1
-1
+
-
x
0
-3/4
-1
-1
* cosx = -
1
2
x =
2
3
π
+ k2
p
0,25
(1’)
cos(x +
3
π
) = -
1
2
x =
3
π
+ k2
p
ho c x = - ặ
p
+ k2
p
0,25
2. (1,0 đi m) ểGi i h ph ng trình ả ệ ươ
2 2
2 2
3 2 1
1
422
+ =
+ −
+ + =
y
x y x
x
x y y
(I)
Đi u ki n: xề ệ
0, y
0. và x2 + y2 - 1
0.
Đt u = xặ2 + y2 - 1 và v =
x
y
0,25
H ph ng trình (I) tr thành ệ ươ ở
3 2 1
21 4
u v
u v
+ =
= −
2
2 13 21 0
21 4
v v
u v
− + =
= −
9
3
u
v
=
=
ho c ặ
7
7
2
u
v
=
=
+
9
3
u
v
=
=
3
1
x
y
=
=
ho c ặ
3
1
x
y
= −
= −
0,25
7
7
2
u
v
=
=
2
14 53
2
453
x
y
=
=
ho c ặ
2
14 53
2
453
x
y
= −
= −
V y h có nghi m (3;1), (-3;-1), ậ ệ ệ
2 2
14 ;4
53 53
� �
� �
và
2 2
14 ; 4
53 53
� �
- -
� �
0,25
III
(1,0 đi m)ể
Tính tích phân
e
3
1
ln x 1 dx
x
−
I =
e
3
1
dx
x
-
e
3
1
ln xdx
x
( lnx – 1
0,
"
x
[ ]
1;e
)0,25
I1 =
e
3
1
dx
x
=
e
2
1
1
2x
� �
-
� �
= -
2
1
2e
+
1
2
0,25
Đt ặ
3
u lnx
dx
dv x
=
=
2
dx
du x
1
v2x
=
= −
I2 =
e
3
1
ln xdx
x
=
e
2
1
lnx
2x
� �
-
� �
+
1
2
e
3
1
dx
x
= -
2
1
2e
+
1
2
(-
2
1
2e
+
1
2
) =
1
4
-
2
3
4e
V y I = ậ
e
3
1
ln x 1 dx
x
−
=
2
2
e 1
4e
+
0,5
IV
(1,0 đi m)ể
a
a
S
A
B
C
K
H
60
0
Vì (SAB)
⊥
(ABC) và (SAC)
⊥
(ABC) nên SA
⊥
(ABC)
Do đó chi u cao c a kh i chóp S.ABC là h = SAề ủ ố 0,25
G i H là trung đi m c a c nh AC, suy ra BH ọ ể ủ ạ
⊥
AC
Do đó BH
⊥
(SAC)
Trong m t ph ng (SAC) d ng HK ặ ẳ ự
⊥
SC (H
SC), suy ra BK
⊥
SC
Do đó góc gi a (SAC) và (SBC) là ữ
BKH 60=
o
.
0,25
D
BHK vuông t i Hạ
Ta có BK =
?
BH
sinHKB
=
a 2
2
sin60
o
=
a 6
3
.
D
SBC vuông t i B có BK là đng cao, ta có ạ ườ
2
1
BK
=
2
1
SB
+
2
1
BC
2
1
SB
=
2
9
6a
-
2
1
a
=
2
1
2a
SB = a
2
SA = a
0,25
Th tích c a kh i chóp S.ABC: ể ủ ố
SABC
V
=
1
3
SA.
ABC
S
=
1
6
. SA. AB.BC =
3
a
6
.0,25
V
(1,0 đi m)ể
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: ị ớ ấ ủ ể ứ
222
ab bc ca
P
c ab a bc b ca
= + +
+ + +
V iớ a,b,c là ba s th c d ng tho mãn ố ự ươ ả a+ b+ c = 2 , suy ra 0 < a, b, c < 2
2c + ab = 4 – 2(a + b) + ab = (2 - a)(2- b)
Ta có
2
ab
c ab+
= ab
1 1
.
2 a 2 b- -
1 1 1 1
. ( ) ( )
2 2 2 2
ab ab
ab a b b c c a
+ = +
− − + +
0,25
T ng t ươ ự
1( )
2
2
bc bc bc
a b c a
a bc +
+ +
+
và
1( )
2
2
ca ca ca
b a c b
b ca +
+ +
+
0,25
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) 1
2 2
ab ca bc ab bc ca
P a b c
b c b c c a c a a b a b
� �
+ + + + + = + + =
� �
+ + + + + +
� �
0,25
V y giá tr l n nh t c a P b ng 1 khi và chi khi a = b = c =ậ ị ớ ấ ủ ằ
2
3
.0,25
PH N RIÊNGẦ (3,0 đi m)ể
A. Theo ch ng trình Chu nươ ẩ
VI.a
(2,0 đi m)ể
1. (1,0 đi m) ể
G i d’ là đng trung tr c c a đo n th ng AB và I là trung đi m c a đo n th ng AB.ọ ườ ự ủ ạ ẳ ể ủ ạ ẳ
Ta có: I(1; 4),
AB
uuur
= (-4; 8). 0,25
Đng th ng d’ đi qua I và nh n vect ườ ẳ ậ ơ
AB
uuur
= (-4; 8) làm vtpt nên có pt:
-4( x -1) + 8(y – 4) = 0 hay x – 2y + 7 = 0. 0,25
Vì tam giác ABC cân t i C nên C thu c đng th ng d’.Theo yêu c u bài toán, C thu c ạ ộ ườ ẳ ầ ộ
đng th ng d.ườ ẳ
Suy ra, t a đ đi m C là nghi m c a h ph ng trình ọ ộ ể ệ ủ ệ ươ
x 2y 7 0
x y 3 = 0
− + =
− −
0,25
x 13
y 10
=
=
.
V y C(13; 10).ậ
0,25
2. (1,0 đi m) ể