Đề thi thử Đại học năm 2014 môn Toán

Ề

Ử Ạ Ọ NĂM 2014.

Đ THI TH Đ I H C Môn thi: TOÁN

ờ

180 phút

Th i gian làm bài:

Ầ Ấ Ả

Ề Ố Đ S 2BB (7,0 đi m)ể

ố

(x2 – m)(x2 + 1) (1) (m là tham s ) ố

I. PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH

1 4 ẽ ồ ị ủ

Câu I (2,0 đi m)ể Cho hàm s y =

ạ

ể

ệ

ể ồ ị

ị ủ

ố

i hai đi m phân bi

t A và B

t c các giá tr c a m đ đ th hàm s (1) c t tr c hoành t

ả ự ế ố

ấ ả ế ủ ồ ị

ế

ạ

ố

i A và B vuông góc v i nhau.

1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1) khi m = 3. ắ ụ 2. Tìm t ớ

sao cho ti p tuy n c a đ th hàm s (1) t Câu II (2,0 đi m)ể i ph 1. Gi

ươ ả ng trình

3 sinx 3cosx 2 = cos2x 3 sin2x y 2 x

3 2 y

2 y

1 4 x y

(cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình 2. Gi (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ln x 1 3 x

- . Câu III (1,0 đi m)ể Tính tích phân I = (cid:0)

Câu IV (1,0 đi m)ể

ẳ ặ ẳ

ố ự ươ

ả

ỳ

ấ ủ

ứ

ể

ớ ữ ủ ế ặ ặ ẳ ằ ặ t góc gi a hai m t (SAC) và m t ph ng (SBC) b ng Cho hình chóp S.ABC có AB = BC = a; ?ABC = 90o . M t ph ng (SAB) và m t ph ng (SAC) cùng vuông ặ 60o . Tính th tích c a kh i ố ể

ng tu ý tho mãn

ị ớ a+ b+ c = 2. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:

ab + c ab

bc + a bc

ca + b ca 2

ẳ góc v i m t ph ng (ABC). Bi chóp S.ABC theo a. Câu V (1,0 đi m)ể Cho a,b,c là ba s th c d

ể

ặ

ẳ

ắ ườ

ườ

ươ

ẳ

ườ ạ

ể

ng th ng đi qua B và c t đ

ẳ ng trình đ

t ph

ẳ ng th ng d t

ươ ng trình x y 3 = ng th ng d có ph i đi m C sao cho tam giác ABC cân

ộ ầ ặ ầ (3,0 đi m)ể ầ c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c ph n B) ẩ ng trình Chu n

ể

ườ

ẳ

ặ

ẳ ng th ng d:

và m t ph ng

2. Trong không gian Oxyz, cho đi m M(1; 1; 1), đ

Ầ II. PH N RIÊNG ỉ ượ Thí sinh ch đ ươ A. Theo ch Câu VI.a (2,0 đi m)ể 1.Trong m t ph ng Oxy, cho hai đi m A(3; 0), B(1; 8) và đ ế 0. Vi i C.ạ t

x 1 y 1

z 1

ế

ươ

ườ

ẳ

ắ ng th ng đi qua M, c t d và song song (P).

t ph

ng trình đ

ể

ễ ố ứ

ứ

ể

ề

ặ

ẳ

ỏ

- = - + ệ 2 | z i | | z z 2i |

ườ

ế

ặ

ẳ

ề

ắ

ng th ng đi qua M và c t chi u

ng trình đ ạ

ươ t ph ộ

ẳ ấ

ủ

ụ

ỏ

ng trình Nâng cao

(P): x + 3y + z – 1 = 0. Vi Câu VII.a (1,0 đi m)ể ợ ậ Tìm t p h p đi m trong m t ph ng ph c bi u di n s ph c z th a mãn đi u ki n ươ B. Theo ch Câu VI.b (2,0 đi m)ể 1.Trong m t ph ng Oxy, cho đi m M(1; 1). Vi ươ d

i A và B sao cho đ dài đo n AB nh nh t.

ng c a tr c Ox, Oy theo th t

ể ứ ự ạ t

ể

ườ

ẳ ng th ng

. Vi

t ế

2. Trong không gian Oxyz, cho hai đi m A(2; 1; 1), B(1; 2; 0) và đ

= -

= + x 1 t =(cid:0) : y 0 z

ươ

ườ

ẳ

ả

ừ

ế

ằ

ng trình đ

ắ D ng th ng d đi qua B, c t

sao cho kho ng cách t

A đ n d b ng

3 .

(cid:0) (cid:0) D (cid:0) (cid:0)

ố ứ

Cho s ph c z = 1 +

Câu VI.b (2,0 đi m) ể

3 i. Tính z7. ế H t

ọ ố H và tên thí sinh: ………………………………………………; S báo danh: … BB01064……..

ĐÁP ÁN

ƯỜ Ấ TR Ổ NG THPT CHUYÊN NGUYÊN T T THÀNH T : TOÁN Ề Đ THI TH Đ I H C Ử Ạ Ọ S 7.Ố

ộ Câu N i dung Điể m Ầ Ả (7,0 đi m)ể Ấ PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH 1. (1,0 đi m)ể

(x2 – 3)(x2 + 1)

1 4

ớ V i m = 3, ta có hàm s ố y =

= +(cid:0)

ị . ậ ự ế * T p xác đ nh: D = * S bi n thiên

lim y x

; lim y (cid:0) +(cid:0) x

 1.

- (cid:0)

0 0

x y'

-1 0

1 0

+ (cid:0) + (cid:0)

+ (cid:0)

-3/4

-1

ớ ạ + Gi i h n: (cid:0) - (cid:0) 0,25 ả 0,25 ặ x = 0 ho c x = ế + B ng bi n thiên y’ = x(x2 – 1) ; y’ = 0 (cid:0)

(

)

(

0,25 - (cid:0) -

(

) v ; 1 ﾵ 0;1

ị ố ả ế ả ồ và đ ng bi n trên kho ng

) -1;0 và

1;+

. ế Hàm s ngh ch bi n trên các kho ng (

)

= -

) 0

0=x

1= (cid:0)

3 4

= -

ị ự ạ ( y ố ạ ự ể ạ và giá tr c c đ i , hàm s đ t c c ti u t i I (2,0 đi m)ể

1 .

(cid:0) Hàm s đ t c c đ i t ( ố ạ ự ạ ạ i )1 ị ự ể và giá tr c c ti u

0,25 ồ ị Đ th : 2. (1,0 đi m)ể

ộ ươ ể Ph ng trình hoành đ giao đi m: (x2 – m)(x2 + 1) = 0  x2 – m = 0 (2)

1 4 ạ ắ ụ Đ th hàm s (1) c t tr c hoành t i hai đi m phân bi ệ  m > 0. ệ có hai nghi m phân bi t Khi đó A( m ;0), B( m ;0)

0,25 ồ ị ể ố ệ ỉ ươ t A, B khi và ch khi ph ng trình (2)

m )

1 2

ế ủ ồ ị ạ ế ầ ượ Ta có y’ = x(2x2 +1 –m). Ti p tuy n c a đ th t ệ ố i A, B có h s góc l n l t là y’(

0,25

m 2

= (m + 1) (m + 1) và y’( m ) =

m ).y’( m ) = 1



ế ủ ồ ị ạ ế ớ ỉ Ti p tuy n c a đ th t i A, B vuông góc v i nhau khi và ch khi y’( 0,25

(m + 1) = 1  m =1. (m + 1). 0,25

m 2 ươ i ph

3 sinx 3cosx 2 = cos2x 3 sin2x (1)

m 2 1. (1,0 đi m) ể Gi (1) (cid:0)

ả II (2,0 đi m)ể ng trình 3 sinx(2cosx + 1) = 2cos2x + 3cosx + 1

3 sinx + 1 = 0 (1’)

1 2

0,25 0,25 (cid:0) ặ cosx = ho c cosx (2cosx + 1)(cosx 3 sinx + 1) = 0 (cid:0)

1 2

* cosx = + k2 p (cid:0) x =  0,25

p 2 3 (cid:0)

p + k2 p

1 2

ặ (1’) (cid:0) cos(x + ) = x = + k2 p ho c x = 0,25

3 2 y

2 y x

2 y

1 x 4 y

(cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (I) ả ệ ươ i h ph ng trình 2. (1,0 đi m) ể Gi (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ề ệ Đi u ki n: x

2 + y2 1 và v =

(cid:0) 0, y (cid:0) 0. và x2 + y2 1 (cid:0) 0. x y

0,25 ặ Đ t u = x

+ =

= 21 0



22 v = u

+ v 13 v 21 4

v 21 4

7 2

3 2 u v = u = -

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ ươ ở H ph ng trình (I) tr thành  ho c ặ - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0)

= -

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) +  ho c ặ 0,25 (cid:0) (cid:0) (cid:0)

= -

2 53



= -

7 2

2 53

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ho c ặ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0,25 (cid:0) (cid:0)

- ; 4

2 53

�   14  �

�  và   �

�  -   �

�    �

ệ ậ ệ V y h có nghi m (3;1), (3;1),

ln x 1 3 x

- Tính tích phân (cid:0)

I = 0,25 ( lnx – 1 0, " x [

]1;e )

dx 3 x

(cid:0) (cid:0)

1 2

dx 3 x

1 2 2e

ln xdx 3 x � � 1 -    � � 2x

(cid:0) = = + I1 = 0,25 (cid:0)

= u lnx

= -

dx 3 x

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) III (1,0 đi m)ể (cid:0) (cid:0) Đ t ặ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)



1 2

1 4

ln xdx 3 x

dx 3 x

1 2 2e

3 2 4e

dx x 1 2x e � � lnx -    � � 2 2x

0,5 = + = + ( + ) = I2 = (cid:0) (cid:0)

ln x 1 3

2 + e 2 4e

- ậ V y I = = (cid:0)

600

IV (1,0 đi m)ể

(ABC) (ABC) và (SAC) ^ 0,25

^ AC

ọ

o .

BKH 60=

0,25 ^ ự SC (H  SC), suy ra BK ^ SC

(ABC) nên SA ^ Vì (SAB) ^ ủ ố ề Do đó chi u cao c a kh i chóp S.ABC là h = SA ể ủ ạ G i H là trung đi m c a c nh AC, suy ra BH Do đó BH ^ (SAC) ẳ ặ Trong m t ph ng (SAC) d ng HK ữ Do đó góc gi a (SAC) và (SBC) là D BHK vuông t i Hạ

BH ? sinHKB

a 6 3

a 2 2 sin60o

Ta có BK = = = .

D SBC vuông t

1 BK

1 2 SB

1 2 BC



ạ ườ i B có BK là đ ng cao, ta có = + 0,25

1 2 SB

9 2 6a

1 2 a

1 2 2a

= =  SA = a SB = a 2 

SABCV

1 3

1 6

ấ ủ

ị ớ

ứ

ể

Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:

bc + a bc

ab + c ab 2

3a 6 ca + b ca 2

ố ự ươ

ả ng tho mãn

a+ b+ c = 2 , suy ra 0 < a, b, c < 2

V iớ a,b,c là ba s th c d 2c + ab = 4 – 2(a + b) + ab = (2 a)(2 b)

ủ ể ố Th tích c a kh i chóp S.ABC: = . SA. AB.BC = . 0,25 SA. ABCS =



ab .

)

Ta có

= ab

0,25

ab + + c a

1 ( 2 2

1 -

(

)

(

)

ươ

và

ng t

ự

ab ( + b c ca + c b

b 1 2

- - V (1,0 đi m)ể (cid:0) (cid:0) 0,25



+ + a b c

)

(

)

(

= ) 1

(

)

ab c ab+ bc + a bc 2 ab + b c

ca + b c

. 2 a 2 b bc 1 + a b 2 bc + c a

bc + c a ab + c a

a ca + b ca 2 bc + a b

1 2

1 2 ca + b a 1 2

� ( � �

� = � �

(cid:0) 0,25

ca + a b 2 3

ấ ủ ị ớ ậ ằ V y giá tr l n nh t c a P b ng 1 khi và chi khi a = b = c = . 0,25

Ầ (3,0 đi m)ể PH N RIÊNG ươ

A. Theo ch VI.a (2,0 đi m)ể ọ ự ủ ủ ể ạ ẳ ạ ẳ 0,25 = (4; 8).

uuur ơ AB

ườ ậ = (4; 8) làm vtpt nên có pt: 0,25

+ = x 2y 7 0

x y 3 = 0

ộ ườ ẳ ầ ạ ộ ng th ng d’.Theo yêu c u bài toán, C thu c ẩ ng trình Chu n 1. (1,0 đi m) ể ườ G i d’ là đ ng trung tr c c a đo n th ng AB và I là trung đi m c a đo n th ng AB. uuur Ta có: I(1; 4), AB ẳ Đ ng th ng d’ đi qua I và nh n vect 4( x 1) + 8(y – 4) = 0 hay x – 2y + 7 = 0. Vì tam giác ABC cân t i C nên C thu c đ ẳ ườ ng th ng d. đ 0,25 - (cid:0) (cid:0) ọ ộ ể ủ ệ ươ ệ Suy ra, t a đ đi m C là nghi m c a h ph ng trình - - (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) . 0,25 (cid:0)

= x 13 = y 10 V y C(13; 10). 2. (1,0 đi m) ể

ậ

= - +

1 2t

= -

uuuur r

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ố ủ Ph ng trình tham s c a d: . (cid:0) (cid:0) 0,25 ẳ ể ắ ớ ườ ộ - - - - ủ ; vtpt c a (P): . ọ G i d’ là đ ể Đi m N thu c d nên t a đ đi m N có d ng N(1 + 2t; t; t). uuuur MN (2t 2;t 1; ng th ng đi qua M, c t d t ọ ộ ể t 1) ạ i đi m N và song song v i mp(P). ạ r n (1;3;1)

3 = . 2

uuuur = MN (1;

;

)

1 2

5 2

(cid:0) 2t – 2 + 3t – 3 – t – 1 = 0 (cid:0) Vì d’ song song (P) nên MN.n 0= 0,5 - Suy ra .

= + x 1 t

= +

y 1

uuuur ậ MN

= - z 1

1 2 5 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ườ ẳ Đ ng th ng d’ đi qua M và nh n làm vtcp nên có pt . 0,25 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ặ ể ễ ố ứ ứ ể ề ẳ ỏ

. ễ ố ứ ể ọ 0,25 (cid:0) ể - = - + 2|x + (y – 1)i| = |2(y + 1)i| ậ ệ ợ Tìm t p h p đi m trong m t ph ng ph c bi u di n s ph c z th a mãn đi u ki n - = - + 2 | z i | | z z 2i | G i M(x; y) là đi m bi u di n s ph c z = x + yi. Khi đó: 2 | z i | | z z 2i |

= 2

(y 1)

+ (y 1)

�

VII.a (1,0 đi m)ể (cid:0) . - 0,5

2x 4 2x 4

ậ ậ ể ợ V y t p h p đi m M là parapol(P) 0,25

ươ

y x + m n

ắ ụ ứ ự ạ ẳ ớ ng th ng đi qua M và c t tr c Ox, Oy theo th t t i A(m; 0), B(n; 0) v i m> 0, B. Theo ch VI.b (2,0 đi m)ể ng trình Nâng cao 1. (1,0 đi m) ể ườ ọ G i d là đ n > 0. 0,25 ươ ườ ạ ẳ Khi đó ph ng trình đ ng th ng d có d ng

= . 1

Vì d đi qua M nên 0,25

mn 4

1 1 + =� m n

(cid:0) Ta có: , (1).

1 1 + m n 1 mn 2 = OA2 + OB2 = m2 + n2 (cid:0) AB 2 2 ườ

0,25 ạ (cid:0) 2mn, (2) ứ ả , đ ng th c x y ra khi m = n = 1

ươ ẳ ẳ ng th ng d là x + y 1 = 0. 0,25

3 .

uuur

+ -

(2 t;2 2t;4 t).

t),BA (3; 1; 1)

uuur uuur � , BM,BA �

�= �

ừ ế ằ A đ n d b ng ọ ể ạ ẳ ả ạ i M và kho ng cách t t nên t a đ đi m M có d ng M(1 + t; 0; t). 0,25 - - - ọ ộ ể uuur = - - - i có: AB Ta l ừ T (1) và (2), suy ra ậ V y ph ng trình đ 2. (1,0 đi m) ể ắ D ườ ng th ng đi qua B, c t G i d là đ ộ D Đi m M thu c = Ta có: BM (2 t; 2;

d(A,d)

= t 0

�

+ 10t 12 + + 2t 4

3t t =

- . 0,25

uuur BM (2; 2;0)

uuur

- 0,5 ớ . V i t = 0, ta có

= ậ BM (2; 2;0)

- ườ ẳ ươ Đ ng th ng d đi qua B và nh n làm vtcp nên có ph ng trình tham s ố

= - +