Đề thi thử Đại học năm 2015 môn Toán - Đề số 21

THI TH(cid:219) (cid:30)(cid:132)I H¯C N(cid:139)M 2015

(cid:30)(cid:151) S¨ 21

**********

M(cid:230)n: To¡n. Th(cid:237)i gian: 180 ph(cid:243)t

C¥u 1 (2,0 (cid:31)i”m). Cho h(cid:160)m sŁ y = x3 + (2 − m)x2 + 4m (1), trong (cid:31)(cid:226) m l(cid:160) tham sŁ th(cid:252)c.

a) Kh£o s¡t s(cid:252) bi‚n thi¶n v(cid:160) v‡ (cid:31)(cid:231) th(cid:224) (C) cıa h(cid:160)m sŁ (1) khi m = −1.

b) T…m m (cid:31)” (cid:31)(cid:231) th(cid:224) h(cid:160)m sŁ (1) c›t tr(cid:246)c ho(cid:160)nh t⁄i 3 (cid:31)i”m ph¥n bi»t c(cid:226) ho(cid:160)nh (cid:31)º x1, x2, x3 sao cho

3 = 13.

2 + x2

1 + x2 x2

C¥u 2 (1,0 (cid:31)i”m).

a) T…m x ∈ (−π; 2π) bi‚t 3 cos2 x − 2 cos 2x = 3 sin x − 1.

√

b) X¡c (cid:31)(cid:224)nh phƒn th(cid:252)c v(cid:160) phƒn £o cıa sŁ phøc z bi‚t z =

.

( 1 +

2 − i)3 √ 2i

C¥u 3 (0,5 (cid:31)i”m). Gi£i b§t ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh 32x+8 − 4 · 3x+5 + 27 < 0 (x ∈ R).

 

C¥u 4 (1,0 (cid:31)i”m). Gi£i h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh

(x, y ∈ R).

√

x + y +

y3 − x3 − 9 = 3(x2 + y2) + 3(x − y) x2 + 16 + (cid:112)y2 + 16 = 12



C¥u 5 (1,0 (cid:31)i”m). T‰nh t‰ch ph¥n

√

√

(cid:90) 4

x)

√

I =

dx.

x + ln(1 + x x +

1

C¥u 6 (1,0 (cid:31)i”m). Trong m(cid:176)t phflng v(cid:238)i h» t(cid:229)a (cid:31)º Oxy, cho h…nh thang c¥n ABCD ngo⁄i ti‚p (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn (S) : x2 + y2 − 10x − 2y + 1 = 0, AB v(cid:160) CD l(cid:160) c¡c c⁄nh (cid:31)¡y, (cid:31)i”m A(2; 6), (cid:31)i”m B c(cid:226) ho(cid:160)nh (cid:31)º d(cid:247)(cid:236)ng. T…m

t(cid:229)a (cid:31)º c¡c (cid:31)¿nh B, C, D.

√

C¥u 7 (1,0 (cid:31)i”m). H…nh ch(cid:226)p S.ABCD c(cid:226) (cid:31)¡y l(cid:160) h…nh chœ nh“t, AB = a, AD = a

3, tam gi¡c SBC

√

vu(cid:230)ng t⁄i B, tam gi¡c SCD vu(cid:230)ng t⁄i D, SC = a

5. T‰nh theo a th” t‰ch khŁi ch(cid:226)p S.ABCD v(cid:160) kho£ng

c¡ch giœa hai (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng SB, AC.

C¥u 8 (1,0 (cid:31)i”m). Trong kh(cid:230)ng gian v(cid:238)i h» t(cid:229)a (cid:31)º Oxyz, vi‚t ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng ∆ song song v(cid:238)i

=

=

=

=

lƒn

m(cid:176)t phflng (P ) : x + y + 1 = 0 v(cid:160) c›t hai (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng d1 :

, d2 :

x − 1 2

y − 1 1

z 1

x − 1 1

y + 2 2

z 1

l(cid:247)æt t⁄i A, B sao cho AB = 3.

C¥u 9 (0,5 (cid:31)i”m). Mºt (cid:31)ºi t…nh nguy»n c(cid:226) 8 nam v(cid:160) 2 nœ. H(cid:228)i ph£i ch(cid:229)n tł (cid:31)ºi t…nh nguy»n (cid:31)(cid:226) ‰t nh§t

.

2 3

bao nhi¶u ng(cid:247)(cid:237)i (cid:31)” x¡c su§t ch(cid:229)n (cid:31)(cid:247)æc ‰t nh§t 1 nœ l(cid:238)n h(cid:236)n C¥u 10 (1 (cid:31)i”m). Cho x, y, z l(cid:160) c¡c sŁ th(cid:252)c kh(cid:230)ng ¥m th(cid:228)a m¢n x2 + y2 + z2 = 3. T…m gi¡ tr(cid:224) nh(cid:228) nh§t cıa

+

.

P =

xy + yz + zx + 1 x + y + z

16 (cid:112)x2y2 + y2z2 + z2x2 + 1

Nguy„n D(cid:247) Th¡i, TTBDKT Cao Th›ng, 11 (cid:30)Łng (cid:30)a, TP Hu‚, D(cid:30): 0905998369

(cid:30)(cid:129)P (cid:129)N (cid:30)(cid:151) THI TH(cid:219) S¨ 21

C¥u 1. Cho h(cid:160)m sŁ y = x3 + (2 − m)x2 + 4m (1), trong (cid:31)(cid:226) m l(cid:160) tham sŁ th(cid:252)c.

a) Kh£o s¡t s(cid:252) bi‚n thi¶n v(cid:160) v‡ (cid:31)(cid:231) th(cid:224) (C) cıa h(cid:160)m sŁ (1) khi m = −1.

1 + x2 x2

2 + x2

3 = 13.

b) T…m m (cid:31)” (cid:31)(cid:231) th(cid:224) h(cid:160)m sŁ (1) c›t tr(cid:246)c ho(cid:160)nh t⁄i 3 (cid:31)i”m ph¥n bi»t c(cid:226) ho(cid:160)nh (cid:31)º x1, x2, x3 sao cho

Ph¥n t‰ch-L(cid:237)i gi£i.

a) V(cid:238)i m = −1 ta c(cid:226) y = x3 + 3x2 − 4.

• T“p x¡c (cid:31)(cid:224)nh: R.

• Ta c(cid:226) y(cid:48) = 3x2 + 6x, y(cid:48) = 0 ⇔

x→±∞

(cid:18) (cid:20)x = 0 ⇒ y(0) = −4 x = −2 ⇒ y(−2) = 0. (cid:19) • y = lim x3 1 − + = ±∞. lim x→±∞ 3 x 3 x2

• B£ng bi‚n thi¶n:

x −∞ +∞ −2 0

+ − + y(cid:48) 0 0

+∞+∞ 00

y

−∞−∞ −4−4

• H(cid:160)m sŁ (cid:31)(cid:231)ng bi‚n tr¶n c¡c kho£ng (−∞; −2), (0; +∞) v(cid:160) ngh(cid:224)ch bi‚n tr¶n (−2; 0).

• (cid:30)(cid:231) th(cid:224) h(cid:160)m sŁ (cid:31)⁄t c(cid:252)c (cid:31)⁄i t⁄i (−2; 0) v(cid:160) (cid:31)⁄t c(cid:252)c ti”u t⁄i (0; −4).

y

x

1

O

−2

−4

• (cid:30)(cid:231) th(cid:224):

1

b) • Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh ho(cid:160)nh (cid:31)º giao (cid:31)i”m cıa (C) v(cid:238)i l(cid:160)

⇔ x3 + (2 − m)x2 + 4m = 0 ⇔ (x + 2)(x2 − mx + 2m) = 0 (cid:20)x = −2 x2 − mx + 2m = 0 (1).

• Do (cid:31)(cid:226) d c›t (cid:31)(cid:231) th(cid:224) (C) t⁄i 3 (cid:31)i”m ph¥n bi»t c(cid:226) ho(cid:160)nh x1, x2, x3 = −2

⇔(1) c(cid:226) hai nghi»m ph¥n bi»t x1, x2 kh¡c − 2

(cid:40) (cid:34)   ⇔ ⇔ m < 0 m > 8 ∆ = m2 − 8m > 0 4m + 4 (cid:54)= 0  m (cid:54)= −1.

Theo (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) Vi-†t ta c(cid:226) (cid:40)

x1 + x2 = m x1 · x2 = 2m.

1 + x2 x2

2 + x2

3 = 13 ⇔ (x1 + x2)2 − 2x1x2 − 9 = 0

• Ta c(cid:226)

√ √ ⇔m2 − 4m − 9 = 0 ⇔ 13 13. (cid:20)m = 2 + m = 2 −

√ V“y m = 2 − 13.

C¥u 2.

a) T…m x ∈ (−π; 2π) bi‚t 3 cos2 x − 2 cos 2x = 3 sin x − 1.

. b) X¡c (cid:31)(cid:224)nh phƒn th(cid:252)c v(cid:160) phƒn £o cıa sŁ phøc z bi‚t z = √ ( 1 + 2 − i)3 √ 2i

Ph¥n t‰ch-L(cid:237)i gi£i.

a) Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (cid:31)¢ cho t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i

3(1 − sin2 x) − 2(1 − 2 sin2 x) − 3 sin x + 1 = 0

⇔ sin2 x − 3 sin x + 2 = 0 ⇔ (cid:20)sin x = 1 sin x = 2 (lo⁄i)

⇔x = + k2π, k ∈ Z. π 2

. V… x ∈ (−π; 2π) n¶n x = π 2

b) Ta c(cid:226) √ √ √ √ (cid:0)− 2i(cid:1) 2i2 − i3 2 = z = 2 − 5i(cid:1) (cid:0)1 − 3 2 − 6i + 3 √ 1 + 2i √ √ − 2i2 = = −2 − i 2 + 2i − 5i + 5 3 ⇒ z = −2 + i.

V“y phƒn th(cid:252)c cıa z l(cid:160) −2 v(cid:160) phƒn £o cıa z l(cid:160) 1.

C¥u 3. Gi£i b§t ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh 32x+8 − 4 · 3x+5 + 27 < 0 (x ∈ R).

2

Ph¥n t‰ch-L(cid:237)i gi£i.

(cid:30)(cid:176)t t = 3x+4, t > 0. B§t ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh tr(cid:240) th(cid:160)nh

t2 − 12t + 27 < 0 ⇔ 3 < t < 9.

V(cid:238)i t > 3 ta c(cid:226) 3x+4 > 3 ⇔ x + 4 > 1 ⇔ x > −3. V(cid:238)i t < 9 ta c(cid:226) 3x+4 < 9 ⇔ x + 4 < 2 ⇔ x < −2. V“y t“p nghi»m cıa b§t ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh l(cid:160) S = (−2; −3).

(cid:40) √ C¥u 4. Gi£i h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (x, y ∈ R). y3 − x3 − 9 = 3(x2 + y2) + 3(x − y) x2 + 16 + (cid:112)y2 + 16 = 12 x + y +

Ph¥n t‰ch-L(cid:237)i gi£i.

H» (cid:31)¢ cho t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i

(cid:40) √ (y − 1)3 = (x + 1)3 + 7 (x + x2 + 16) + (y + (cid:112)y2 + 16) = 12 (1) (2)

√ t2 + 16, t ∈ R. Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2) tr(cid:240) th(cid:160)nh Tł ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (1) ta c(cid:226) y = 1 + 3(cid:112)(x + 1)3 + 7. Thay v(cid:160)o ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2) v(cid:160) sß d(cid:246)ng Casio ta t…m (cid:31)(cid:247)æc nghi»m x = 0 ⇒ y = 3. X†t f (t) = t +

f (x) + f (y) = 12 (3)

√ t2 = t + |t| ≥ 0, ∀t ∈ R Ta c(cid:226) f (t) > t + √ t2 + 16 √ t + √ √ f (cid:48)(t) = 1 + = = > 0, ∀t ∈ R. t t2 + 16 t2 + 16 f (t) t2 + 16

Do (cid:31)(cid:226) f (t) (cid:31)Łng bi‚n tr¶n R. Tł ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (1) ta nh“n th§y n‚u x t«ng th… y t«ng v(cid:160) ng(cid:247)æc l⁄i. Cºng v(cid:238)i vi»c t…m (cid:31)(cid:247)æc nghi»m cıa h» ta c(cid:226) h(cid:247)(cid:238)ng (cid:31)¡nh gi¡ nh(cid:247) sau. Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 1: x > 0. Tł (1) c(cid:226) y > 3. Ta c(cid:226)

f (x) + f (y) > f (0) + f (3) = 12 (tr¡i v(cid:238)i (3)).

Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 2: x < 0. Tł (1) c(cid:226) y < 3. Ta c(cid:226)

f (x) + f (y) < f (0) + f (3) = 12 (tr¡i v(cid:238)i (3)).

Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 3: x = 0. Tł (1) c(cid:226) y = 3 (th(cid:228)a m¢n (3)).

V“y h» c(cid:226) nghi»m duy nh§t (x, y) = (0; 3).

1

C¥u 5. T‰nh t‰ch ph¥n √ √ (cid:90) 4 x) √ I = dx. x + ln(1 + x x +

Ph¥n t‰ch-L(cid:237)i gi£i.

1

1

Ta c(cid:226) √ (cid:90) 4 (cid:90) 4 √ I = dx + dx = A + B. 1 x + 1 ln(1 + √ √ x( x) x + 1)

2

2

√ x + 1 ⇒ x = (t − 1)2 ⇒ dx = 2(t − 1)dt. (cid:30)Œi c“n: T‰nh A: (cid:30)(cid:176)t t = x t 1 2 4 3 Do (cid:31)(cid:226) (cid:18) (cid:19) (cid:90) 3 (cid:90) 3 A = = 2 1 − . = 2 + 2 ln dt = 2(t − ln t) 2(t − 1)dt t 2 3 1 t (cid:12) 3 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 2

3

ln 2

√ √ T‰nh B: (cid:30)(cid:176)t u = ln(1 + x) ⇒ du = dx. (cid:30)Œi c“n: x t 1 ln 2 4 ln 3 1 x(1 + √ 2 x) Do (cid:31)(cid:226) (cid:90) ln 3 = ln2 3 − ln2 2. B = 2udu = u2 (cid:12) ln 3 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ln 2

V“y I = 2 + 2 ln + ln2 3 − ln2 2. 2 3

C¥u 6. Trong m(cid:176)t phflng v(cid:238)i h» t(cid:229)a (cid:31)º Oxy, cho h…nh thang c¥n ABCD ngo⁄i ti‚p (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn (S) : x2 + y2 − 10x − 2y + 1 = 0, AB v(cid:160) CD l(cid:160) c¡c c⁄nh (cid:31)¡y, (cid:31)i”m A(2; 6), (cid:31)i”m B c(cid:226) ho(cid:160)nh (cid:31)º d(cid:247)(cid:236)ng. T…m t(cid:229)a (cid:31)º c¡c (cid:31)¿nh B, C, D.

A

B

G

F

I

D

C

H

Ph¥n t‰ch-L(cid:237)i gi£i. E

(cid:30)(cid:247)(cid:237)ng trÆn (S) c(cid:226) t¥m I(5; 1) v(cid:160) c(cid:226) b¡n k‰nh R = 5. G(cid:229)i E, F , H, G lƒn l(cid:247)æt l(cid:160) ti‚p (cid:31)i”m cıa (S) v(cid:238)i AB, AD, DC, CB. Ta c(cid:226) E, I, H thflng h(cid:160)ng, E l(cid:160) trung (cid:31)i”m AB v(cid:160) H l(cid:160) trung (cid:31)i”m CD. Tø gi¡c AEIF nºi ti‚p (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn (T ) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng k‰nh AI. Ta c(cid:226)

(cid:19)2 (cid:18) (cid:19)2 (cid:18) + y − = . (T ) : x − 7 2 7 2 17 2

E v(cid:160) F l(cid:160) giao (cid:31)i”m cıa (S) v(cid:238)i (T ) n¶n t(cid:229)a (cid:31)º cıa E, F th(cid:228)a m¢n h»

(cid:26) (cid:19)(cid:27)   x2 + y2 − 10x − 2y + 1 = 0 (cid:18) (cid:18) (cid:19)2 (cid:19)2 ⇔ (x, y) ∈ (5; 6); ; . (cid:18) 10 17 57 17 x − + y − =  7 2 17 2 7 2

(cid:18) (cid:19) (cid:19) − ; ; • Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 1: E , F (5; 6). E l(cid:160) trung (cid:31)i”m AB n¶n B (kh(cid:230)ng th(cid:228)a m¢n 14 17 12 17 (cid:18) 10 17 57 17 v… B c(cid:226) ho(cid:160)nh (cid:31)º d(cid:247)(cid:236)ng).

(cid:19) ; • Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 2: E(5; 6), F (cid:18) 10 17 57 17 (cid:18) ; −4 − . E l(cid:160) trung (cid:31)i”m AB n¶n B(8; 6) (th(cid:228)a m¢n). I l(cid:160) trung (cid:19) . 10 3

; −4 (cid:31)i”m cıa HE n¶n H(5; −4). Ta c(cid:226) DC : y + 4 = 0, AD : 15x − 8y + 18 = 0 n¶n D (cid:19) . H l(cid:160) trung (cid:31)i”m cıa CD n¶n C (cid:18) 40 3

(cid:19) (cid:19) (cid:18) ; −4 − ; −4 , D . V“y B(8; 6), C (cid:18) 40 3 10 3

4

√ √ 3, tam gi¡c SBC vu(cid:230)ng t⁄i 5. T‰nh theo a th” t‰ch khŁi ch(cid:226)p S.ABCD v(cid:160) kho£ng c¡ch C¥u 7. H…nh ch(cid:226)p S.ABCD c(cid:226) (cid:31)¡y l(cid:160) h…nh chœ nh“t, AB = a, AD = a B, tam gi¡c SCD vu(cid:230)ng t⁄i D, SC = a giœa hai (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng SB, AC.

S

T

A

E

D

K

B

C

Ph¥n t‰ch-L(cid:237)i gi£i.

D(cid:252)ng h…nh b…nh h(cid:160)nh ACBE. G(cid:229)i K, T lƒn l(cid:247)æt l(cid:160) h…nh chi‚u vu(cid:230)ng g(cid:226)c cıa A tr¶n BE, SK.

√ √ 3, AC = BD = AB2 + AD2 = 2a. • Ta c(cid:226) SABCD = AB · AD = a2

(cid:40) ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SA (1) BC ⊥ BA BC ⊥ SB

(cid:40) ⇒ DC ⊥ (SAD) ⇒ DC ⊥ SA (2) DC ⊥ DA DC ⊥ SD √ SC2 − AC2 = a. Do v“y

Tł (1) v(cid:160) (2) ta c(cid:226) SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AC. Do (cid:31)(cid:226) SA = √ 3 . VS.ABCD = SABCD · SA = 1 a a3 3

• Ta c(cid:226) AC (cid:107) BE ⇒ AC (cid:107) (SBE). Do (cid:31)(cid:226)

d(AC, SB) = d(AC, (SBE)) = d(A, (SBE)).

Ta c(cid:226) BE ⊥ AK v(cid:160) BE ⊥ SA n¶n BE ⊥ (SAK) ⇒ BE ⊥ AT . M(cid:160) SK ⊥ AT n¶n AT ⊥ (SBE). Th(cid:160)nh thß d(A, (SBE)) = AT. √ Ta c(cid:226) AE = BC = a 3 v(cid:160) tam gi¡c ABE vu(cid:230)ng t⁄i A n¶n √ a . 1 AS2 + 1 AK2 = 1 AS2 + 1 AE2 + 1 AB2 = 7 3a2 ⇒ AT = 21 7 1 AT 2 = √ a . V“y d(AC, SB) = 21 7

5

= = = = phflng (P ) : x + y + 1 = 0 v(cid:160) c›t hai (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng d1 : , d2 : C¥u 8. Trong kh(cid:230)ng gian v(cid:238)i h» t(cid:229)a (cid:31)º Oxyz, vi‚t ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng ∆ song song v(cid:238)i m(cid:176)t z 1 x − 1 2 x − 1 1 y − 1 1 y + 2 2 z 1 lƒn l(cid:247)æt t⁄i A, B sao cho AB = 3.

−→ AB= (b − 2a; 2b − a − 3; b − a). Ta c(cid:226)

Vect(cid:236) ph¡p tuy‚n cıa m(cid:176)t phflng (P ) l(cid:160) Ph¥n t‰ch-L(cid:237)i gi£i. −→ n = (1; 1; 0).

−→ n = 0

(cid:40) (cid:40) AB (cid:107) (P ) ⇔ ⇔ ⇔ (2a + 1) + (a + 1) + 1 (cid:54)= 0 (b − 2a) + (2b − a − 3) = 0 a (cid:54)= −1 b = a + 1. A ∈ d1 ⇒ A(2a + 1; a + 1; a), B ∈ d2 ⇒ B(b + 1; 2b − 2; b), (cid:40)A /∈ (P ) −→ AB ·

−→ AB= (1 − a; a − 1; 1). Do (cid:31)(cid:226)

V(cid:238)i b = a + 1 ta c(cid:226)

AB = 3 ⇔ (a − 1)2 + (a − 1)2 + 1 = 9 ⇔ (cid:20)a = −1 (lo⁄i) = 3 a

−→ AB= (−2; 2; 1) l(cid:160)m vect(cid:236) ch¿ ph(cid:247)(cid:236)ng n¶n c(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh

(cid:30)(cid:247)(cid:237)ng thflng ∆ qua A(7; 4; 3) v(cid:160) nh“n

  ∆ :  x = 7 − 2t y = 4 + 2t z = 3 + t.

. ng(cid:247)(cid:237)i (cid:31)” x¡c su§t ch(cid:229)n (cid:31)(cid:247)æc ‰t nh§t 1 nœ l(cid:238)n h(cid:236)n C¥u 9. Mºt (cid:31)ºi t…nh nguy»n c(cid:226) 8 nam v(cid:160) 2 nœ. H(cid:228)i ph£i ch(cid:229)n tł (cid:31)ºi t…nh nguy»n (cid:31)(cid:226) ‰t nh§t bao nhi¶u 2 3

Ph¥n t‰ch-L(cid:237)i gi£i.

G(cid:229)i n l(cid:160) sŁ ng(cid:247)(cid:237)i cƒn ch(cid:229)n, Ω l(cid:160) kh(cid:230)ng gian m¤u v(cid:160) A l(cid:160) bi‚n cŁ "c(cid:226) ‰t nh§t 1 nœ (cid:31)(cid:247)æc ch(cid:229)n". Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 1: n ≥ 9. V… ch¿ c(cid:226) 8 nam n¶n n‚u ch(cid:229)n ra n ≥ 9 ng(cid:247)(cid:237)i th… c(cid:226) ‰t nh§t 1 nœ (cid:31)(cid:247)æc ch(cid:229)n. Do (cid:31)(cid:226) x¡c su§t ch(cid:229)n (cid:31)(cid:247)æc ‰t nh§t 1 nœ l(cid:160)

P (A) = 1 > (th(cid:228)a m¢n). 2 3

Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 2: 1 ≤ n ≤ 8. T‰nh |Ω|: Ch‰nh l(cid:160) sŁ c¡ch ch(cid:229)n n ng(cid:247)(cid:237)i tł 10 ng(cid:247)(cid:237)i n¶n

|Ω| = Cn 10.

8 . Do (cid:31)(cid:226)

T‰nh |ΩA|: SŁ c¡ch ch(cid:229)n n ng(cid:247)(cid:237)i to(cid:160)n nam l(cid:160) Cn

10 − Cn 8 .

|ΩA| = Cn

10 − Cn 8 Cn 10

Do (cid:31)(cid:226) x¡c su§t cıa bi‚n cŁ A l(cid:160) Cn P (A) = = . |ΩA| |Ω|

Ta c(cid:226)

10 > 3Cn

8 ⇔

P (A) > ⇔ Cn > 3 2 3 10! n!(10 − n)! 8! n!(8 − n)!

⇔30 > (10 − n)(9 − n) ⇔ n2 − 19n + 60 < 0 ⇔4 < n < 15.

Th(cid:160)nh thß n > 4. Do (cid:31)(cid:226) ph£i ch(cid:229)n ‰t nh§t 5 ng(cid:247)(cid:237)i.

6

C¥u 10. Cho x, y, z l(cid:160) c¡c sŁ th(cid:252)c kh(cid:230)ng ¥m th(cid:228)a m¢n x2 + y2 + z2 = 3. T…m gi¡ tr(cid:224) nh(cid:228) nh§t cıa

P = + . xy + yz + zx + 1 x + y + z 16 (cid:112)x2y2 + y2z2 + z2x2 + 1

Ph¥n t‰ch-L(cid:237)i gi£i.

Theo b§t (cid:31)flng thøc Cauchy, ta c(cid:226)

x4 + y4 + z4 + 2(x + y + z) = (x4 + x + x) + (y4 + y + y) + (z4 + z + z)

≥ 3(x2 + y2 + z2) = (x2 + y2 + z2)2

⇒ x + y + z ≥ x2y2 + y2z2 + z2x2.

√ (cid:30)(cid:176)t s = x + y + z, ta c(cid:226) s ∈ [ 3; 3], xy + yz + zx = . s2 − 3 2

V… x2y2 + y2z2 + z2x2 ≤ x + y + z n¶n

√ √ + + P ≥ = = g(s). xy + yz + zx + 1 x + y + z s2 − 1 2s 16 x + y + z + 1 16 s + 1

Ta c(cid:226) + + 3; 3]. g(cid:48)(s) = − 1 2 8 √ (s + 1) s + 1

√ N¶n g(s) ngh(cid:224)ch bi‚n tr¶n [ 3; 3]. Do (cid:31)(cid:226) g(s) ≥ g(3) = . Th(cid:160)nh thß P ≥ . √ 1 2s2 < 0, ∀s ∈ [ 28 3 28 3

D§u b‹ng x£y ra khi x = y = z = 1. V“y GTNN cıa P b‹ng . 28 3

7